Fișă de lucru perpendicularitate în spațiu clasa a 8-a — teorema celor trei perpendiculare, 17 exerciții

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 8-a despre perpendicularitate în spațiu: dreaptă perpendiculară pe un plan, teorema celor trei perpendiculare, plane perpendiculare și distanța de la un punct la o dreaptă sau la un plan. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — perpendicularitate în spațiu, clasa a 8-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Folosește figura cubului de la exercițiul 3; la celelalte probleme fă un desen.

I. Nivel ușor

  1. Completează: o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte ........ incluse în acel plan.
  2. Adevărat sau fals? a) Dacă \(d\perp\alpha\), atunci \(d\) este perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în \(\alpha\). b) Printr-un punct dat trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat. c) Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele. d) În spațiu, două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele.
  3. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\) din figură, numește muchiile perpendiculare pe planul \((ABC)\) și muchiile perpendiculare pe planul \((BCC')\).ABCDA′B′C′D′
  4. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), arată că \(AA'\perp BD\).
  5. Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia de 4 cm. Calculează distanța de la \(A'\) la planul \((ABC)\) și distanța de la \(A\) la planul \((BCC')\).
  6. Dreapta \(PA\) este perpendiculară pe planul \(\alpha\), \(A\in\alpha\), iar \(B\in\alpha\). Știind că \(PA=6\) cm și \(AB=8\) cm, calculează \(PB\).

II. Nivel mediu

  1. Pătratul \(ABCD\) are latura de 8 cm, iar \(MA\perp(ABC)\), \(MA=6\) cm. Arată că \(MB\perp BC\) și calculează distanța de la \(M\) la dreapta \(BC\).
  2. Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), cu \(AB=15\) cm și \(AC=20\) cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara \(MA\), \(MA=5\) cm. Calculează distanța de la \(M\) la dreapta \(BC\).
  3. Triunghiul echilateral \(ABC\) are latura de 6 cm, iar \(MA\perp(ABC)\), \(MA=3\) cm. Calculează distanța de la \(M\) la dreapta \(BC\).
  4. Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia de 6 cm. Calculează distanța de la \(A'\) la dreapta \(BD\).
  5. Piramida patrulateră regulată \(VABCD\) are latura bazei de 8 cm și înălțimea de 3 cm. Calculează distanța de la \(V\) la planul bazei și distanța de la \(V\) la dreapta \(AB\).
  6. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), demonstrează că \(B'D\perp AC\).

III. Nivel greu

  1. Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia de 6 cm. Calculează distanța de la punctul \(A\) la planul \((A'BD)\).
  2. Paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) are \(AB=20\) cm, \(BC=15\) cm și \(AA'=5\) cm. Calculează distanța de la \(D'\) la dreapta \(AC\).
  3. Triunghiul isoscel \(ABC\) are \(AB=AC=10\) cm și \(BC=12\) cm, iar \(MA\perp(ABC)\), \(MA=8\) cm. Calculează distanța de la \(M\) la \(BC\) și distanța de la \(A\) la planul \((MBC)\).
  4. Pătratul \(ABCD\) are latura de 6 cm, iar \(MA\perp(ABC)\), \(MA=6\) cm. Demonstrează că planele \((MAB)\) și \((MBC)\) sunt perpendiculare și calculează \(MC\).
  5. Piramida triunghiulară regulată \(VABC\) are latura bazei de 12 cm și înălțimea \(VO=6\) cm. Calculează distanța de la centrul bazei \(O\) la planul \((VBC)\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. concurente
  2. a) A; b) A; c) A; d) F
  3. Pe \((ABC)\): \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). Pe \((BCC')\): \(AB\), \(DC\), \(A'B'\), \(D'C'\)
  4. \(AA'\perp(ABC)\) și \(BD\subset(ABC)\), deci \(AA'\perp BD\)
  5. 4 cm (\(A'A\perp(ABC)\)) și 4 cm (\(AB\perp(BCC')\))
  6. \(PB=10\) cm (\(PA\perp AB\), Pitagora)
  7. \(MA\perp(ABC)\), \(AB\perp BC\), deci (T3⊥) \(MB\perp BC\); \(d(M,BC)=MB=10\) cm
  8. \(BC=25\) cm, \(AD=\frac{15\cdot20}{25}=12\) cm (\(AD\perp BC\)); din T3⊥ \(MD\perp BC\), \(MD=\sqrt{25+144}=13\) cm
  9. 6 cm (\(D\) mijlocul lui \(BC\): \(AD=3\sqrt{3}\), \(MD=\sqrt{9+27}=6\))
  10. \(3\sqrt{6}\) cm (\(O=AC\cap BD\): \(AO\perp BD\), T3⊥ dă \(A'O\perp BD\), \(A'O=\sqrt{36+18}\))
  11. 3 cm; 5 cm (apotema: \(\sqrt{3^2+4^2}\))
  12. \(AC\perp BD\) și \(AC\perp BB'\), deci \(AC\perp(BB'D)\); cum \(B'D\subset(BB'D)\), rezultă \(B'D\perp AC\)
  13. \(2\sqrt{3}\) cm: \(BD\perp(AA'O)\); ducem \(AP\perp A'O\), atunci \(AP\perp(A'BD)\) și \(AP=\frac{AA'\cdot AO}{A'O}=\frac{6\cdot3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=2\sqrt{3}\)
  14. 13 cm (\(DE\perp AC\), \(DE=\frac{20\cdot15}{25}=12\); T3⊥: \(D'E\perp AC\), \(D'E=\sqrt{144+25}\))
  15. \(MD=8\sqrt{2}\) cm (\(AD=8\)); \(d(A,(MBC))=\frac{MA\cdot AD}{MD}\) \(=\frac{64}{8\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\) cm
  16. \(BC\perp AB\) și \(BC\perp MA\), deci \(BC\perp(MAB)\); cum \(BC\subset(MBC)\), planele sunt perpendiculare. \(MC=\sqrt{36+72}=6\sqrt{3}\) cm
  17. 3 cm (\(OM=2\sqrt{3}\), apotema \(VM=4\sqrt{3}\), \(d=\frac{VO\cdot OM}{VM}=\frac{6\cdot2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\))

Teorie: Dreaptă perpendiculară pe plan și teorema celor trei perpendiculare · Cubul — formule · Formule clasa a 8-a · Alte fișe: toate fișele de lucru