Fișă de lucru piramida regulată clasa a 8-a — apotemă, înălțime, arii, volum, 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 8-a despre piramida regulată (triunghiulară, patrulateră, hexagonală) și tetraedrul regulat: apotema bazei, apotema piramidei, înălțimea și muchia laterală din triunghiurile dreptunghice, arii, volum, unghiuri și distanțe. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — piramida regulată, clasa a 8-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Notații: \(\ell\) — latura bazei, \(a_b\) — apotema bazei, \(a_p\) — apotema piramidei, \(h\) — înălțimea, \(m\) — muchia laterală. Lasă rezultatele cu radicali, dacă nu se cere altfel.

I. Nivel ușor

  1. În piramida patrulateră regulată \(VABCD\) din figură, \(O\) este centrul bazei, iar \(M\) este mijlocul muchiei \(BC\). Numește: a) înălțimea piramidei; b) apotema piramidei; c) apotema bazei; d) trei triunghiuri dreptunghice care au un vârf în \(V\).VABCDOMhapab
  2. O piramidă regulată are latura bazei \(\ell=12\) cm. Calculează apotema bazei dacă baza este: a) pătrat; b) triunghi echilateral; c) hexagon regulat.
  3. Adevărat sau fals? a) Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele congruente. b) Piciorul înălțimii unei piramide regulate este centrul cercului circumscris bazei. c) Apotema piramidei este mai mică decât apotema bazei. d) Tetraedrul regulat are toate cele 6 muchii congruente.
  4. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 10 cm și înălțimea de 12 cm. Calculează apotema piramidei și aria laterală.
  5. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 16 cm și apotema de 10 cm. Calculează aria laterală, aria totală, înălțimea și volumul.
  6. O piramidă triunghiulară regulată are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 5 cm. Calculează aria bazei și volumul.

II. Nivel mediu

  1. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 10 cm și muchia laterală de 13 cm. Calculează apotema piramidei, aria laterală și aria totală.
  2. Piramida triunghiulară regulată \(VABC\) are \(AB=6\sqrt{3}\) cm și înălțimea \(VO=4\) cm. Calculează apotema bazei, raza cercului circumscris bazei, apotema piramidei, muchia laterală, aria laterală și volumul.
  3. Un tetraedru regulat are muchia de 12 cm. Calculează înălțimea, aria totală și volumul.
  4. O piramidă hexagonală regulată are latura bazei de 4 cm și înălțimea de 6 cm. Calculează aria bazei, volumul, apotema piramidei și aria laterală.
  5. Piramida patrulateră regulată \(VABCD\) are \(AB=6\) cm și muchia laterală \(VA=6\sqrt{2}\) cm. Află măsura unghiului dintre muchia \(VA\) și planul bazei și calculează înălțimea.
  6. Piramida triunghiulară regulată \(VABC\) are \(AB=12\) cm și înălțimea \(VO=2\) cm. Află măsura unghiului dintre o față laterală și planul bazei și calculează aria laterală.

III. Nivel greu

  1. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 10 cm, iar unghiul dintre o față laterală și planul bazei are 60°. Calculează apotema piramidei, înălțimea, aria totală și volumul.
  2. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 24 cm și aria totală de 1200 cm². Calculează apotema, înălțimea și volumul piramidei.
  3. Piramida patrulateră regulată \(VABCD\) are \(AB=18\) cm și înălțimea \(VO=12\) cm. Calculează distanța de la centrul bazei \(O\) la planul \((VBC)\) și distanța de la vârful \(A\) la planul \((VBC)\).
  4. Tetraedrul regulat \(ABCD\) are muchia de 8 cm, iar \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(AB\), respectiv \(CD\). Arată că \(MN\perp AB\) și \(MN\perp CD\) și calculează distanța dintre dreptele \(AB\) și \(CD\).
  5. Acoperișul unui foișor are forma suprafeței laterale a unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei de 8 m și înălțimea de 3 m. Câți metri pătrați de tablă sunt necesari, dacă se adaugă 10% pentru îmbinări și pierderi?
  6. Piramida triunghiulară \(VABC\) are muchiile \(VA\), \(VB\), \(VC\) perpendiculare două câte două și \(VA=VB=VC=6\) cm. Arată că \(VABC\) este piramidă regulată, calculează volumul ei și distanța de la \(V\) la planul \((ABC)\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. a) \(VO\); b) \(VM\); c) \(OM\); d) de exemplu \(\triangle VOM\), \(\triangle VOB\) (drepte în \(O\)) și \(\triangle VMB\) (drept în \(M\))
  2. a) 6 cm (\(\frac{\ell}{2}\)); b) \(2\sqrt{3}\) cm (\(\frac{\ell\sqrt{3}}{6}\)); c) \(6\sqrt{3}\) cm (\(\frac{\ell\sqrt{3}}{2}\))
  3. a) A; b) A; c) F (\(a_p\) este ipotenuză în \(\triangle VOM\), deci \(a_p\gt a_b\)); d) A
  4. \(a_p=13\) cm (\(a_b=5\), \(\sqrt{12^2+5^2}\)); \(\mathcal{A}_l=\frac{4\cdot10\cdot13}{2}=260\) cm²
  5. \(\mathcal{A}_l=320\) cm², \(\mathcal{A}_t=576\) cm², \(h=6\) cm (\(\sqrt{10^2-8^2}\)), \(V=512\) cm³
  6. \(\mathcal{A}_b=9\sqrt{3}\) cm², \(V=15\sqrt{3}\) cm³
  7. \(a_p=12\) cm (\(\sqrt{13^2-5^2}\), în fața laterală), \(\mathcal{A}_l=240\) cm², \(\mathcal{A}_t=340\) cm²
  8. \(a_b=3\) cm, \(R=6\) cm, \(a_p=5\) cm, \(m=2\sqrt{13}\) cm (\(\sqrt{16+36}\)), \(\mathcal{A}_l=45\sqrt{3}\) cm², \(V=36\sqrt{3}\) cm³ (\(\mathcal{A}_b=27\sqrt{3}\))
  9. \(h=\frac{\ell\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{6}\) cm, \(\mathcal{A}_t=\ell^2\sqrt{3}=144\sqrt{3}\) cm², \(V=\frac{\ell^3\sqrt{2}}{12}=144\sqrt{2}\) cm³
  10. \(\mathcal{A}_b=24\sqrt{3}\) cm², \(V=48\sqrt{3}\) cm³, \(a_p=4\sqrt{3}\) cm (\(a_b=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{36+12}\)), \(\mathcal{A}_l=48\sqrt{3}\) cm²
  11. 60° (\(OA=3\sqrt{2}\), \(\cos\angle VAO=\frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\)); \(h=3\sqrt{6}\) cm
  12. 30° (\(a_b=2\sqrt{3}\), \(\operatorname{tg}\angle VMO=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)); \(a_p=4\) cm, \(\mathcal{A}_l=72\) cm²
  13. \(a_p=10\) cm (\(\cos60^\circ=\frac{5}{a_p}\)), \(h=5\sqrt{3}\) cm, \(\mathcal{A}_t=300\) cm², \(V=\frac{500\sqrt{3}}{3}\) cm³
  14. \(\mathcal{A}_l=1200-576=624\), deci \(a_p=13\) cm; \(h=5\) cm (\(\sqrt{13^2-12^2}\)); \(V=960\) cm³
  15. \(a_p=15\) cm; \(d(O,(VBC))=\frac{VO\cdot OM}{VM}=\frac{12\cdot9}{15}=7{,}2\) cm; \(d(A,(VBC))=2\cdot7{,}2=14{,}4\) cm (\(O\) este mijlocul lui \(AC\))
  16. \(MC=MD=4\sqrt{3}\) cm (înălțimi în fețe echilaterale), deci în \(\triangle MCD\) isoscel mediana \(MN\perp CD\); analog \(NA=NB\), deci \(MN\perp AB\). Distanța este \(MN=\sqrt{48-16}=4\sqrt{2}\) cm
  17. 88 m² (\(a_p=5\) m, \(\mathcal{A}_l=80\) m², \(80+8\))
  18. \(AB=BC=CA=6\sqrt{2}\) cm, iar muchiile laterale sunt congruente, deci piramida e regulată; \(V=\frac{6\cdot6\cdot6}{6}=36\) cm³ (baza \(VAB\), înălțimea \(VC\)); \(\mathcal{A}_{ABC}=18\sqrt{3}\) cm², \(d=\frac{3\cdot36}{18\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\) cm

Teorie: Piramida regulată — formule · Geometrie în spațiu · Calculator arie și volum corpuri · Formule clasa a 8-a · Fișă: trunchiul de piramidă · Alte fișe: toate fișele de lucru