Formule matematică clasa a 5-a — pe capitole

Q: Cât este orice număr la puterea 0?

Orice număr nenul ridicat la puterea 0 dă 1, de exemplu 7^0=1 . Expresia 0^0 nu are sens și nu apare în exerciții.

În clasa a 5-a matematica are trei capitole mari: numerele naturale (operații, puteri, divizibilitate), fracțiile ordinare și zecimale și elementele de geometrie și unitățile de măsură. Mai jos ai, pe fiecare capitol, regulile și formulele de bază, cu linkuri spre paginile în care sunt explicate pe larg și spre calculatoare cu care îți poți verifica tema.

Capitolele urmează programa școlară de matematică pentru gimnaziu aprobată în 2017 (OMEN 3393/2017), în vigoare și în anul școlar 2026–2027.

1. Numere naturale

Înveți să faci operații cu numere naturale, să respecți ordinea operațiilor (întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, la final adunările și scăderile) și să rezolvi probleme prin metode aritmetice: reducerea la unitate, metoda figurativă, mersul invers, falsa ipoteză.

Factor comun: \( a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c) \).
Împărțirea cu rest: \( a=b\cdot c+r \), cu \( 0\le r\lt b \) (restul este mai mic decât împărțitorul).
Puteri: \( a^m\cdot a^n=a^{m+n} \), \( a^m:a^n=a^{m-n} \) (pentru \( a\ne 0,\ m\ge n \)), \( (a^m)^n=a^{m\cdot n} \).
\( (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \); \( a^1=a \); \( a^0=1 \) pentru \( a\ne 0 \).
Scrierea în baza 10: \( \overline{abc}=100a+10b+c \).
Suma lui Gauss: \( 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \).

→ detalii: puteri — reguli de calcul. Povestea sumei de mai sus: Carl Friedrich Gauss.

2. Divizibilitatea numerelor naturale

Un număr \( a \) divide un număr \( b \) dacă \( b \) se obține înmulțind pe \( a \) cu un număr natural. Criteriile de divizibilitate te scutesc de împărțiri lungi.

\( a\mid b \iff b=a\cdot k \), cu \( k\in\mathbb N \) (\( a \) este divizor al lui \( b \), \( b \) este multiplu al lui \( a \)).
Divizibil cu 2: ultima cifră este pară; cu 5: ultima cifră este 0 sau 5.
Divizibil cu \( 10^n \): ultimele \( n \) cifre sunt 0.
Divizibil cu 3 (respectiv 9): suma cifrelor se divide cu 3 (respectiv 9).
Număr prim: are exact doi divizori, 1 și el însuși (2, 3, 5, 7, 11, …); 1 nu este nici prim, nici compus.

→ detalii: divizibilitate, numere prime și compuse. Cine a demonstrat că numerele prime nu se termină niciodată: Euclid.

3. Fracții ordinare

O fracție \( \dfrac{a}{b} \) (\( b\ne 0 \)) înseamnă \( a \) părți din întregul împărțit în \( b \) părți egale. Fracția este subunitară dacă \( a\lt b \), echiunitară dacă \( a=b \) și supraunitară dacă \( a\gt b \).

Amplificare și simplificare: \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k} \), \( k\ne 0 \).
Același numitor: \( \dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{b}=\dfrac{a\pm c}{b} \); altfel aduci întâi la numitor comun (cel mai mic multiplu comun al numitorilor).
Înmulțire și împărțire: \( \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d} \), \( \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c} \).
Scoaterea întregilor: \( 3\dfrac{2}{5}=\dfrac{3\cdot 5+2}{5}=\dfrac{17}{5} \).
Fracție dintr-un număr: \( \dfrac{a}{b} \) din \( x \) este \( \dfrac{a}{b}\cdot x \); procent: \( p\% \) din \( x \) este \( \dfrac{p}{100}\cdot x \).

→ detalii: fracții — operații, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., procente. Calculatoare: simplificare fracții, procente.

4. Fracții zecimale

Fracțiile zecimale sunt fracțiile cu numitor 10, 100, 1000… scrise cu virgulă. Când împarți două numere naturale poți obține o fracție zecimală finită sau periodică.

\( 2{,}35=\dfrac{235}{100}=\dfrac{47}{20} \).
Periodică simplă: \( 0{,}(3)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3} \), \( 0{,}(ab)=\dfrac{\overline{ab}}{99} \).
Periodică mixtă: \( 0{,}a(b)=\dfrac{\overline{ab}-a}{90} \); de exemplu \( 0{,}1(6)=\dfrac{16-1}{90}=\dfrac{1}{6} \).
Media aritmetică: \( m_a=\dfrac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} \).

→ detalii: media aritmetică.

5. Elemente de geometrie și unități de măsură

Începi geometria cu punctul, dreapta, segmentul și unghiul, măsurat cu raportorul (\( 1^\circ=60' \)). Calculezi perimetre, arii de pătrate și dreptunghiuri și volume de cuburi și paralelipipede.

Pătrat de latură \( \ell \): \( P=4\ell \), \( A=\ell^2 \). Dreptunghi: \( P=2(L+\ell) \), \( A=L\cdot \ell \).
Cub: \( V=\ell^3 \). Paralelipiped dreptunghic: \( V=L\cdot \ell\cdot h \).
\( 1\ \text{m}=10\ \text{dm}=100\ \text{cm} \); \( 1\ \text{m}^2=100\ \text{dm}^2 \); \( 1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3 \).
\( 1\ \text{dm}^3=1\ \text{L} \) (un litru); \( 1\ \text{ha}=10\,000\ \text{m}^2 \).
Unghi drept \( 90^\circ \), ascuțit \( \lt 90^\circ \), obtuz între \( 90^\circ \) și \( 180^\circ \), alungit \( 180^\circ \).

→ detalii: elemente de geometrie, transformări de unități de măsură, cubul, paralelipipedul dreptunghic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — ordinea operațiilor. \( 2^3+4\cdot(15-3^2):2=8+4\cdot 6:2=8+12=20 \). Calculezi întâi puterile, apoi paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta și abia la final adunarea.

Exemplul 2 — adunarea fracțiilor. \( \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12} \). Numitorul comun 12 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 3 și 4.

Exemplul 3 — fracție dintr-un număr. Un elev a citit \( \dfrac{3}{5} \) dintr-o carte de 240 de pagini, adică \( \dfrac{3}{5}\cdot 240=144 \) de pagini. Mai are de citit \( 240-144=96 \) de pagini.

Exemplul 4 — volum și capacitate. Un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 5 dm, 3 dm și 4 dm. Volumul lui este \( 5\cdot 3\cdot 4=60\ \text{dm}^3 \), deci în el încap 60 de litri de apă.

Greșeli frecvente

\( 2^3 \) nu înseamnă \( 2\cdot 3=6 \), ci \( 2\cdot 2\cdot 2=8 \).
Fracțiile nu se adună „numărător cu numărător și numitor cu numitor”: \( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \), nu \( \dfrac{2}{5} \).
La transformarea unităților de arie pasul este 100, iar la cele de volum 1000, nu 10 ca la lungimi.
Restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul: \( 17=5\cdot 3+2 \), deci câtul este 3 și restul 2.

Un sfat de învățare: scrie fiecare regulă pe o fișă, cu un exemplu numeric lângă ea, și rezolvă zilnic câteva exerciții scurte. Formulele din clasa a 5-a se folosesc în toți anii următori, așa că merită să le știi sigur încă de acum.

Ce intră la examen

În clasa a 5-a nu există examen național la matematică, însă tot ce înveți acum intră la Evaluarea Națională de la finalul clasei a 8-a, care cuprinde materia claselor V–VIII. Fracțiile, puterile și procentele apar aproape la fiecare subiect I.

Întrebări frecvente

Ce formule trebuie să știu pe de rost în clasa a 5-a? Regulile de calcul cu puteri, criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9 și 10, operațiile cu fracții, transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare și formulele pentru perimetrul și aria pătratului și dreptunghiului, plus volumul cubului și al paralelipipedului.

Cât este orice număr la puterea 0? Orice număr nenul ridicat la puterea 0 dă 1, de exemplu \( 7^0=1 \). Expresia \( 0^0 \) nu are sens și nu apare în exerciții.

Cum transform o fracție zecimală periodică în fracție ordinară? La numărător scrii numărul format din cifrele de după virgulă minus partea neperiodică, iar la numitor câte un 9 pentru fiecare cifră din perioadă și câte un 0 pentru fiecare cifră neperiodică: \( 0{,}1(6)=\dfrac{16-1}{90}=\dfrac{1}{6} \).