Inegalitatea mediilor — Mh ≤ Mg ≤ Ma ≤ Mp: demonstrație, aplicații și exemple rezolvate

Inegalitatea mediilor afirmă că, pentru orice numere reale strict pozitive, media armonică $\le$ media geometrică $\le$ media aritmetică $\le$ media pătratică: $M_h\le M_g\le M_a\le M_p$. Egalitatea are loc, în oricare verigă, dacă și numai dacă toate numerele sunt egale. Cel mai folosit caz este ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$.

Inegalitatea mediilor pentru două numere

Pentru $a,b>0$:

$$min(a,b)\le \frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\le max(a,b)$$

Termenii sunt, în ordine, media armonică, media geometrică, media aritmetică și media pătratică. Exemplu pentru $a=2$, $b=8$: $3,2\le 4\le 5\le \sqrt{34}\approx 5,83$.

Generalizare pentru n numere

Pentru $a_1,a_2,\dots ,a_n>0$:

$$min(a_i)\le \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}\le \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\le \frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\le \sqrt{\frac{a_1^2+\cdots +a_n^2}{n}}\le max(a_i)$$

Fiecare medie „cântărește” altfel numerele: $M_h$ lucrează cu inversele și favorizează valorile mici, $M_g$ combină numerele prin înmulțire, $M_a$ le adună, iar $M_p$ lucrează cu pătratele și amplifică valorile mari. De aceea ordinea din lanț este naturală.

Demonstrație pentru două numere

$M_g\le M_a$. Pornim de la un pătrat, care este mereu nenegativ:

$$(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0⟺a-2\sqrt{ab}+b\ge 0⟺\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$

$M_h\le M_g$. ${\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}\le \sqrt{ab}⟺2\sqrt{ab}\le a+b$, adică exact inegalitatea de mai sus (am împărțit cu $\sqrt{ab}>0$).

$M_a\le M_p$. Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt pozitivi): ${\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{4}}\le {\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}⟺$ $a^2+2ab+b^2\le$ $2a^2+2b^2⟺$ $(a-b{)}^2\ge 0$.

În toate cazurile egalitatea are loc exact când pătratul este zero, adică $a=b$.

Aplicații

• Suma unui număr și a inversului său: $a+{\displaystyle \frac{1}{a}}\ge 2$ pentru $a>0$, cu egalitate pentru $a=1$.
• Produs maxim la sumă fixă: dacă $x+y=s$, atunci $xy\le {\left({\displaystyle \frac{s}{2}}\right)}^2$, maximul fiind atins pentru $x=y={\displaystyle \frac{s}{2}}$. Dintre dreptunghiurile cu același perimetru, pătratul are aria maximă.
• Sumă minimă la produs fix: dacă $xy=P$, atunci $x+y\ge 2\sqrt{P}$, minimul fiind atins pentru $x=y=\sqrt{P}$.
• Inegalități clasice: $a^2+b^2\ge 2ab$, ${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{b}{a}}\ge 2$, $(a+b)({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}})\ge 4$.

Multe dintre aceste inegalități se demonstrează și direct cu formulele de calcul prescurtat, scriind diferența ca pătrat perfect.

Greșeli frecvente

• Aplici inegalitatea pentru numere negative: pentru $x=-1$, $x+\frac{1}{x}=-2<2$. Condiția $x>0$ este esențială.
• Uiți să verifici că egalitatea se poate atinge. Minimul lui $x+\frac{1}{x}$ pe $[2,\mathrm{\infty })$ nu este 2, deoarece $x=1$ nu aparține intervalului.
• Folosești AM–GM fără produs constant: $x+x^2\ge 2\sqrt{x^3}$ este adevărat, dar nu dă un minim numeric.
• Inversezi ordinea mediilor: media geometrică este mai mică decât cea aritmetică, nu mai mare.

Întrebări frecvente

Când devin inegalitățile egalități? Numai când $a_1=a_2=\cdots =a_n$; atunci toate mediile coincid cu valoarea comună a numerelor.

De ce se cere ca numerele să fie pozitive? Media geometrică cere un produs nenegativ sub radical, iar media armonică folosește inversele numerelor; pentru numere de semne diferite lanțul nu mai are sens.

Cum se demonstrează inegalitatea dintre media aritmetică și cea geometrică? Pentru două numere pozitive se pornește de la $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$; desfăcând pătratul obținem $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, adică $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$.

Istoric: Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) — a publicat în 1821 o demonstrație elegantă a inegalității mediilor pentru n numere.