Inegalitatea mediilor afirmă că, pentru orice numere reale strict pozitive, cele patru medii clasice se ordonează întotdeauna la fel: media armonică, apoi cea geometrică, apoi cea aritmetică și, în final, cea pătratică, întregul lanț fiind cuprins între cel mai mic și cel mai mare dintre numere. Egalitatea are loc, în oricare verigă, dacă și numai dacă toate numerele sunt egale.
Inegalitatea mediilor. Generalizare
Lanțul \(M_h\le M_g\le M_a\le M_p\), explicat în cuvinte
Fiecare medie „cântărește” altfel numerele: media armonică \(M_h\) favorizează valorile mici (lucrează cu inversele), media geometrică \(M_g\) combină numerele prin înmulțire, media aritmetică \(M_a\) le adună, iar media pătratică \(M_p\) amplifică valorile mari (lucrează cu pătratele). De aceea ordinea din lanț este naturală.
Cazul cel mai des folosit este inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică (AM–GM) pentru două numere pozitive: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), echivalentă cu \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0\). Din ea se deduc rapid numeroase inegalități de concurs și probleme de minim sau de maxim.
Întrebări frecvente
Când devin inegalitățile egalități? Numai când \(a_1=a_2=\dots=a_n\); atunci toate mediile coincid cu valoarea comună a numerelor.
De ce se cere ca numerele să fie pozitive? Media geometrică cere un produs nenegativ sub radical, iar media armonică folosește inversele numerelor; pentru numere de semne diferite lanțul nu mai are sens.