Fișă de lucru poziții relative ale dreptelor și planelor, paralelism clasa a 8-a — 17 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 8-a despre pozițiile relative ale dreptelor și planelor: determinarea planului, drepte coplanare și necoplanare, dreaptă paralelă cu un plan și plane paralele. Exercițiile urcă de la ușor la greu, iar răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — poziții relative ale dreptelor și planelor, paralelism, clasa a 8-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. La exercițiile cu cub folosește figura cubului \(ABCDA'B'C'D'\) de la exercițiul 4.

I. Nivel ușor

  1. Câte plane determină: a) trei puncte necoliniare; b) o dreaptă și un punct exterior ei; c) două drepte concurente?
  2. Adevărat sau fals? a) Două drepte care nu au niciun punct comun sunt paralele. b) Două drepte paralele sunt coplanare. c) Trei puncte sunt întotdeauna coplanare. d) Patru puncte sunt întotdeauna coplanare.
  3. Completează: o dreaptă poate fi inclusă într-un plan, poate avea un singur punct comun cu planul (dreapta este ........ planului) sau poate să nu aibă niciun punct comun cu planul (dreapta este ........ cu planul).
  4. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\) din figură, precizează poziția relativă a dreptelor: a) \(AB\) și \(C'D'\); b) \(AB\) și \(CC'\); c) \(AA'\) și \(BC\); d) \(AC\) și \(BD\).ABCDA′B′C′D′
  5. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), numește toate muchiile paralele cu dreapta \(AA'\) și toate muchiile necoplanare cu ea.
  6. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), precizează poziția dreptei \(AB\) față de planele \((A'B'C')\), \((BCC')\) și \((DCC')\).

II. Nivel mediu

  1. Câte plane sunt determinate de patru puncte necoplanare? Justifică.
  2. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), demonstrează că dreapta \(A'C'\) este paralelă cu planul \((ABC)\).
  3. În tetraedrul \(ABCD\), punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(AB\), respectiv \(AC\). Arată că \(MN\parallel(BCD)\) și calculează \(MN\), dacă \(BC=14\) cm.
  4. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), demonstrează că planele \((A'BD)\) și \((CB'D')\) sunt paralele.
  5. În tetraedrul \(ABCD\), punctele \(M\), \(N\), \(P\) sunt mijloacele muchiilor \(AB\), \(AC\), \(AD\). Arată că \((MNP)\parallel(BCD)\) și află raportul ariilor triunghiurilor \(MNP\) și \(BCD\).
  6. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), fie \(O\) intersecția diagonalelor \(AC\) și \(BD\), iar \(O'\) intersecția diagonalelor \(A'C'\) și \(B'D'\). Determină dreapta de intersecție a planelor \((AA'C)\) și \((BB'D)\).

III. Nivel greu

  1. Piramida \(VABC\) este secționată cu un plan paralel cu baza, care intersectează muchiile \(VA\), \(VB\), \(VC\) în \(M\), \(N\), \(P\), astfel încât \(\frac{VM}{VA}=\frac{1}{3}\). Știind că \(AB=12\) cm și aria triunghiului \(ABC\) este 72 cm², calculează \(MN\) și aria triunghiului \(MNP\).
  2. Piramida patrulateră regulată \(VABCD\) are baza pătratul \(ABCD\). Determină dreapta de intersecție a planelor \((VAB)\) și \((VCD)\).
  3. Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia de 6 cm, iar \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(AB\), respectiv \(BC\). Arată că \(MN\parallel(A'C'D')\) și calculează lungimea segmentului \(MN\).
  4. Adevărat sau fals? a) Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, ea este paralelă cu orice dreaptă din acel plan. b) Dacă două plane sunt paralele, orice dreaptă inclusă într-unul este paralelă cu celălalt. c) Două drepte paralele cu același plan sunt paralele între ele. d) Două plane distincte paralele cu un al treilea plan sunt paralele între ele.
  5. În tetraedrul \(ABCD\), \(G_1\) și \(G_2\) sunt centrele de greutate ale triunghiurilor \(ABC\), respectiv \(ABD\). Arată că \(G_1G_2\parallel CD\) și \(G_1G_2=\frac{CD}{3}\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. Câte un singur plan în fiecare caz.
  2. a) F (pot fi necoplanare); b) A; c) A; d) F
  3. secantă; paralelă
  4. a) paralele (\(AB\parallel DC\parallel D'C'\)); b) necoplanare; c) necoplanare; d) concurente
  5. Paralele: \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). Necoplanare: \(BC\), \(CD\), \(B'C'\), \(C'D'\)
  6. \(AB\parallel(A'B'C')\); \(AB\) intersectează \((BCC')\) în \(B\) (secantă); \(AB\parallel(DCC')\), deoarece \(AB\parallel DC\)
  7. 4 plane — câte unul pentru fiecare grup de trei puncte (patru puncte necoplanare sunt oricare trei necoliniare)
  8. \(AA'C'C\) este dreptunghi, deci \(A'C'\parallel AC\); cum \(AC\subset(ABC)\) și \(A'C'\not\subset(ABC)\), rezultă \(A'C'\parallel(ABC)\)
  9. \(MN\) este linie mijlocie în \(\triangle ABC\), deci \(MN\parallel BC\subset(BCD)\); \(MN=7\) cm
  10. \(BB'D'D\) e dreptunghi, deci \(BD\parallel B'D'\); \(A'BCD'\) e paralelogram, deci \(A'B\parallel D'C\). Două drepte concurente din \((A'BD)\) sunt paralele cu \((CB'D')\), deci planele sunt paralele
  11. \(MN\parallel BC\), \(MP\parallel BD\) (linii mijlocii), deci planele sunt paralele; \(\triangle MNP\sim\triangle BCD\) cu raportul \(\frac{1}{2}\), deci raportul ariilor este \(\frac{1}{4}\)
  12. Dreapta \(OO'\) (ambele puncte aparțin ambelor plane); ea este paralelă cu \(AA'\)
  13. \(MN=4\) cm; \(\mathcal{A}_{MNP}=\frac{72}{9}=8\) cm² (\(\triangle MNP\sim\triangle ABC\), raport \(\frac{1}{3}\))
  14. Dreapta \(d\) care trece prin \(V\) și este paralelă cu \(AB\) (și cu \(CD\)), deoarece \(AB\parallel CD\), \(AB\subset(VAB)\), \(CD\subset(VCD)\)
  15. \(MN\parallel AC\parallel A'C'\subset(A'C'D')\); \(MN=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\) cm
  16. a) F; b) A; c) F; d) A
  17. Fie \(M\) mijlocul lui \(AB\). \(\frac{MG_1}{MC}=\frac{MG_2}{MD}=\frac{1}{3}\), deci (reciproca teoremei lui Thales în \(\triangle MCD\)) \(G_1G_2\parallel CD\) și \(G_1G_2=\frac{CD}{3}\); rezultă și \(G_1G_2\parallel(BCD)\)

Teorie: Dreaptă paralelă cu un plan — teorie · Geometrie în spațiu — formule · Formule clasa a 8-a · Alte fișe: toate fișele de lucru