Teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor — reciproca, cazuri de asemănare, exemple rezolvate

Teorema lui Thales spune că o paralelă dusă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale: în $\mathrm{△}ABC$, dacă $MN\parallel BC$, atunci ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$. Teorema fundamentală a asemănării merge mai departe: $\mathrm{△}AMN\sim \mathrm{△}ABC$, deci și ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$. Mai jos găsești reciproca, linia mijlocie, cazurile de asemănare UU, LUL, LLL, raportul ariilor și teorema bisectoarei.

Teorema lui Thales — enunț și rapoarte

O paralelă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale. Teorema poartă numele lui Thales din Milet, matematicianul grec care, după tradiție, a măsurat înălțimea piramidelor folosind umbrele.

Dacă $M\in AB$, $N\in AC$ și $MN\parallel BC$, atunci oricare dintre proporțiile echivalente de mai jos este adevărată:

Atenție: teorema lui Thales vorbește doar despre segmentele de pe laturile $AB$ și $AC$. Segmentul paralel $MN$ intră în proporție abia prin teorema fundamentală a asemănării.

Reciproca teoremei lui Thales

Dacă $M\in (AB)$, $N\in (AC)$ și

atunci $MN\parallel BC$. Teorema directă „dă” proporția din paralelism, iar reciproca „dă” paralelismul din proporție. Condiția esențială: punctele trebuie să fie amândouă pe laturi (sau amândouă pe prelungirile laturilor, de aceeași parte a lui $A$).

Teorema paralelelor neechidistante

Mai multe drepte paralele $a\parallel b\parallel c$ determină pe două secante oarecare segmente proporționale: dacă prima secantă taie dreptele în $A_1,B_1,C_1$, iar a doua în $A_2,B_2,C_2$, atunci

Caz particular: dacă paralelele determină segmente congruente pe o secantă (paralele echidistante), ele determină segmente congruente pe orice altă secantă.

Linia mijlocie în triunghi și în trapez

În triunghi, linia mijlocie unește mijloacele a două laturi; ea este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei:

Reciproc, paralela dusă prin mijlocul unei laturi la o altă latură trece prin mijlocul celei de-a treia laturi. Cele trei linii mijlocii împart triunghiul în patru triunghiuri congruente, fiecare asemenea cu triunghiul inițial, cu $k=\frac{1}{2}$.

În trapez (baze $B$ și $b$), linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele, este paralelă cu bazele, iar segmentul determinat pe ea de diagonale (care unește mijloacele diagonalelor) are lungimea egală cu semidiferența bazelor:

Toate proprietățile trapezului sunt pe pagina patrulatere — paralelogram, romb, trapez.

Triunghiuri asemenea — definiție

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile omoloage proporționale. Scriem $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, iar ordinea literelor arată corespondența vârfurilor:

Numărul $k$ este raportul de asemănare. Laturile omoloage se opun unghiurilor congruente. Triunghiurile congruente sunt asemenea cu $k=1$.

Teorema fundamentală a asemănării

O paralelă la o latură a unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu triunghiul dat:

Aceasta este cea mai folosită unealtă din problemele de Evaluare Națională: din paralelism obții direct trei rapoarte egale, inclusiv cel care conține latura paralelă.

Cazurile de asemănare a triunghiurilor

La triunghiurile dreptunghice unghiul drept este deja comun, deci ajunge o pereche de unghiuri ascuțite congruente (cazul UU). Așa se demonstrează teorema înălțimii și teorema catetei.

Raportul perimetrelor și raportul ariilor

Dacă $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu raportul $k$, atunci toate elementele liniare (laturi, înălțimi, mediane, bisectoare, perimetre, raze) sunt în raportul $k$, iar ariile sunt în raportul $k^2$:

Motivul: aria este $\frac{b\cdot h}{2}$ (vezi aria triunghiului), iar atât baza, cât și înălțimea se înmulțesc cu $k$.

Teorema bisectoarei

Dacă $AD$ este bisectoarea unghiului $A$ în $\mathrm{△}ABC$, cu $D\in (BC)$, atunci bisectoarea împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate:

Cu notațiile $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ rezultă direct $BD={\displaystyle \frac{a\cdot c}{b+c}}$ și $DC={\displaystyle \frac{a\cdot b}{b+c}}$.

Greșeli frecvente

• Latura paralelă pusă greșit în proporție: ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$, nu ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}$; raportul ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}$ compară două bucăți ale aceleiași laturi.
• Laturi omoloage nepotrivite: scrie întâi corespondența vârfurilor ($A\to A^{\prime }$, $B\to B^{\prime }$, $C\to C^{\prime }$) și citește laturile în aceeași ordine.
• Raportul ariilor egal cu $k$: ariile sunt în raportul $k^2$; pentru $k=2$, aria este de 4 ori mai mare, nu de 2 ori.
• LUL cu unghi care nu e cuprins: unghiul congruent trebuie să fie între cele două laturi proporționale.
• Teorema bisectoarei inversată: ${\displaystyle \frac{DB}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$ — segmentul de lângă $B$ corespunde laturii $AB$.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării? Thales afirmă doar că segmentele determinate de paralelă pe celelalte două laturi sunt proporționale. Teorema fundamentală afirmă mai mult: triunghiul mic este asemenea cu cel mare, deci și latura paralelă intră în proporție, $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$.

Când se folosește reciproca teoremei lui Thales? Când trebuie să demonstrezi că două drepte sunt paralele: calculezi rapoartele $\frac{AM}{MB}$ și $\frac{AN}{NC}$; dacă sunt egale (iar punctele sunt amândouă pe laturi), atunci $MN\parallel BC$.

De ce raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este k²? Aria triunghiului este jumătate din produsul unei baze cu înălțimea corespunzătoare; ambele se înmulțesc cu $k$, deci aria se înmulțește cu $k\cdot k=k^2$.

Exersează: fișă de lucru printabilă — teorema lui Thales și linia mijlocie, clasa a 7-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — asemănarea triunghiurilor, clasa a 7-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.