Teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor sunt instrumentele principale prin care calculăm lungimi „inaccesibile” folosind proporții. Ideea comună este aceeași: o paralelă dusă într-un triunghi păstrează rapoartele dintre segmente, iar triunghiurile asemenea au laturile proporționale.
Teorema lui Thales
O dreaptă paralelă cu una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale. În triunghiul \( ABC \), dacă \( MN \parallel BC \), cu \( M \in AB \) și \( N \in AC \), atunci \( \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC} \). Proporția se poate scrie și față de laturile întregi: \( \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \).
Reciproca teoremei lui Thales
Reciproca ne permite să demonstrăm paralelismul: dacă o dreaptă determină pe laturile \( AB \) și \( AC \) ale triunghiului segmente proporționale, adică \( \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC} \), atunci dreapta \( MN \) este paralelă cu \( BC \). Așadar, teorema directă „dă” proporția din paralelism, iar reciproca „dă” paralelismul din proporție.
Triunghiuri asemenea și cazurile de asemănare
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile omoloage proporționale; scriem \( \triangle ABC \sim \triangle MNP \) și \( \dfrac{AB}{MN} = \dfrac{BC}{NP} = \dfrac{AC}{MP} = k \), unde \( k \) este raportul de asemănare. Cazurile de asemănare sunt: UU — două perechi de unghiuri respectiv congruente; LUL — două perechi de laturi proporționale și unghiurile dintre ele congruente; LLL — toate cele trei perechi de laturi proporționale. Teorema fundamentală a asemănării leagă cele două noțiuni: o paralelă la o latură a triunghiului formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel inițial.
Raportul de asemănare și consecințe
Dacă raportul de asemănare este \( k \), atunci toate elementele liniare (laturi, înălțimi, mediane, perimetre) sunt în raportul \( k \), iar raportul ariilor este \( k^2 \): \( \dfrac{\mathcal{A}_{ABC}}{\mathcal{A}_{MNP}} = k^2 \).
Întrebări frecvente
Care este diferența dintre teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării? Thales afirmă doar proporționalitatea segmentelor determinate pe laturi, în timp ce teorema fundamentală afirmă mai mult: triunghiul mic format de paralelă este asemenea cu triunghiul mare, deci și latura paralelă intră în proporție.
Cum aleg corect laturile omoloage? Laturile omoloage se opun unghiurilor congruente; scrie mai întâi corespondența vârfurilor din relația de asemănare și citește laturile în aceeași ordine.