Ecuația de gradul al II-lea (ecuația de gradul 2) este ecuația de forma \(ax^2+bx+c=0\), cu \(a\neq 0\). Rezolvarea ei se bazează pe discriminantul \(\Delta=b^2-4ac\) („delta”), iar relațiile lui Viète leagă rădăcinile de coeficienți fără a mai rezolva ecuația. Este un subiect obligatoriu la Evaluarea Națională și la Bacalaureat și stă la baza studiului funcției de gradul al II-lea.
Forma generală
\[ax^2+bx+c=0,\qquad a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq 0\]
\(a\) este coeficientul termenului de gradul 2, \(b\) coeficientul termenului de gradul 1, iar \(c\) este termenul liber. Dacă \(a=0\), ecuația devine de gradul I.
Discriminantul Δ (delta)
\[\Delta=b^2-4ac\]
Semnul discriminantului decide câte rădăcini reale are ecuația. Cele trei cazuri:
| Cazul | Numărul rădăcinilor reale | Rădăcinile |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | două rădăcini reale distincte | \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta=0\) | o rădăcină reală dublă | \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) | nicio rădăcină reală (\(x_{1,2}\notin\mathbb{R}\)) | în \(\mathbb{C}\): \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) |
Formula rădăcinilor
Pentru \(\Delta\ge 0\):
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Formula redusă. Dacă \(b\) este par, \(b=2b'\), se poate folosi \(\Delta'=b'^2-ac\) și \(x_{1,2}=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}\) — calcule mai mici, același rezultat.
Relațiile lui Viète
Dacă \(x_1,x_2\) sunt rădăcinile ecuației \(ax^2+bx+c=0\), atunci:
\[S=x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\]
Alte relații între rădăcini și coeficienți (se exprimă prin \(S\) și \(P\), folosind formulele de calcul prescurtat):
- \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\)
- \(x_1^3+x_2^3=S^3-3SP=S\,(S^2-3P)\)
- \(x_1^4+x_2^4=(S^2-2P)^2-2P^2\)
- \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{S}{P}\), pentru \(P\neq 0\)
- \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{S^2-2P}{P}\), pentru \(P\neq 0\)
- \((x_1-x_2)^2=S^2-4P=\dfrac{\Delta}{a^2}\), deci \(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\)
Formarea ecuației de gradul al II-lea când se cunosc rădăcinile
Ecuația cu rădăcinile \(x_1\) și \(x_2\) (suma \(S\), produsul \(P\)) este:
\[x^2-Sx+P=0\]
Exemplu: rădăcinile \(2\) și \(5\) dau \(S=7,\ P=10\), deci ecuația \(x^2-7x+10=0\).
Descompunerea trinomului de gradul al II-lea
- Dacă \(\Delta>0\): \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)
- Dacă \(\Delta=0\): \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\)
- Dacă \(\Delta<0\): trinomul nu se descompune în factori de gradul I cu coeficienți reali.
Descompunerea este esențială la simplificarea fracțiilor algebrice și la rezolvarea inecuațiilor de gradul al II-lea.
Ecuații de gradul al II-lea incomplete
- Lipsește termenul liber (\(c=0\)): \(ax^2+bx=0\Rightarrow x(ax+b)=0\Rightarrow x_1=0,\ x_2=-\dfrac{b}{a}\).
- Lipsește termenul de gradul I (\(b=0\)): \(ax^2+c=0\Rightarrow x^2=-\dfrac{c}{a}\). Dacă \(-\dfrac{c}{a}\ge 0\), atunci \(x_{1,2}=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\); altfel ecuația nu are rădăcini reale.
- \(b=c=0\): \(ax^2=0\Rightarrow x_1=x_2=0\).
Ecuațiile incomplete se rezolvă direct, fără discriminant, prin factorizare.
Natura și semnul rădăcinilor (din S și P)
Pentru \(\Delta\ge 0\), semnele rădăcinilor se citesc direct din relațiile lui Viète:
| Condiție | Concluzie |
|---|---|
| \(P<0\) | rădăcini reale de semne contrare (\(\Delta>0\) automat) |
| \(P>0,\ S>0\) | ambele rădăcini strict pozitive |
| \(P>0,\ S<0\) | ambele rădăcini strict negative |
| \(P=0\) | o rădăcină este \(0\), cealaltă este \(S\) |
| \(S=0,\ P<0\) | rădăcini opuse: \(x_2=-x_1\) |
Condiții asupra a două ecuații de gradul al II-lea
Aceleași rădăcini. Ecuațiile \(ax^2+bx+c=0\) și \(a'x^2+b'x+c'=0\) au aceleași rădăcini dacă și numai dacă coeficienții sunt proporționali:
\[\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\]
O rădăcină comună. Cele două ecuații au rădăcina comună \(x_0=\dfrac{ac'-a'c}{a'b-ab'}\) dacă și numai dacă
\[(ac'-a'c)^2=(ab'-a'b)(bc'-b'c)\]
Ecuații reductibile la ecuația de gradul al II-lea
- Ecuația bipătrată \(ax^4+bx^2+c=0\): se notează \(t=x^2\ge 0\), se rezolvă \(at^2+bt+c=0\), apoi \(x=\pm\sqrt{t}\) pentru fiecare \(t\ge 0\).
- Ecuații cu substituție: dacă o expresie se repetă, de exemplu \((x^2+x)^2-5(x^2+x)+6=0\), se notează \(t=x^2+x\) și se obține o ecuație de gradul 2 în \(t\).
- Ecuații reciproce de gradul 4 \(ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0\): se împarte la \(x^2\) și se notează \(t=x+\dfrac{1}{x}\), cu \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\).
- Ecuații iraționale sau exponențiale care, după o substituție (\(t=\sqrt{x}\), \(t=2^x\)), devin ecuații de gradul 2. La final se verifică condițiile de existență.
Întrebări frecvente
Ce este discriminantul și la ce folosește?
Discriminantul \(\Delta=b^2-4ac\) este expresia de sub radical din formula rădăcinilor. Semnul lui spune, înainte de orice calcul, dacă ecuația are două rădăcini reale distincte (\(\Delta>0\)), una dublă (\(\Delta=0\)) sau niciuna (\(\Delta<0\)).
Când are ecuația de gradul 2 o singură soluție?
Când \(\Delta=0\). Atunci \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\) și trinomul este un pătrat perfect: \(ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\). Geometric, parabola este tangentă la axa \(Ox\).
Cum verific rapid soluțiile obținute?
Cu relațiile lui Viète: suma soluțiilor trebuie să fie \(-\dfrac{b}{a}\), iar produsul \(\dfrac{c}{a}\). De exemplu, pentru \(x^2-5x+6=0\), soluțiile \(2\) și \(3\) au suma \(5\) și produsul \(6\) — corect. Pentru antrenament cu grile din subiecte oficiale, folosește evaluare.matepenet.ro.