Ecuaţia de gradul al doilea

Forma generală: $a x^{2} + b x + c = 0$

Rezolvare:

Calculăm discriminantul: $Δ = b^{2} - 4 a c$

1. Dacă $Δ > 0$ atunci ecuația are 2 rădăcini distincte reale: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$

2. Dacă $Δ = 0$ atunci ecuația are o rădăcină: $x_{1} {= x}_{2} = \frac{- b}{2 a}$

3. Dacă $Δ < 0$ atunci ecuația nu are rădăcini reale: $x_{1, 2} \notin R$

Relațiile lui Viete:

${S = x}_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$

${P = x}_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Alte relații între rădăcini și coeficienți

$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{S^{2} - 2 P}{P}$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{S}{P}$

$x_{1}^{3} {+ x}_{2}^{3} = S (S^{2} - 3 P)$

Formarea ecuației de gradul al doilea:

$x^{2} - S x + P = 0$

Condiția ca două ecuații să aibă aceleași rădăcini:

Două ecuații au aceleași rădăcini dacă coeficienții sunt proporționali.

${a x}^{2} + b x + c = 0, a {' x}^{2} + b' x + c = 0$ au aceleași rădăcini dacă: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b} = \frac{c}{c'}$

Condiția ca două ecuații să aibă o rădăcină comună:

Ecuațiile de gradul al doilea au o rădăcină comună $x_{0} = \frac{a c' - a' c}{a' b - a b'}$ dacă ${(a c' - a' c)}^{2} = (a b' - a' b) (b c' - b' c)$

Descompunerea trinomului de gradul al doilea în R

Dacă $Δ > 0;$ atunci ${a x}^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Dacă $Δ = 0$ atunci ${a x}^{2} + b x + c = a {(x - x_{1})}^{2}$

Dacă $Δ < 0$ atunci trinomul de gradul al doilea nu se descompune

Ecuaţia de gradul al doilea