O inecuație este o inegalitate care conține o necunoscută, iar a o rezolva înseamnă a găsi mulțimea tuturor valorilor care o verifică. Spre deosebire de ecuații, soluția unei inecuații este de obicei un interval sau o reuniune de intervale, nu un număr izolat.
Inecuații de gradul I
O inecuație de forma \( ax + b > 0 \) se rezolvă izolând necunoscuta, ca la ecuații, cu o singură regulă suplimentară esențială: dacă înmulțim sau împărțim ambii membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă. De exemplu, din \( -2x + 6 > 0 \) obținem \( -2x > -6 \), apoi împărțim la \( -2 \) și inversăm semnul: \( x < 3 \), deci soluția este intervalul \( (-\infty, 3) \).
Inecuații de gradul al II-lea
Pentru \( ax^2 + bx + c \ge 0 \) folosim semnul funcției de gradul al II-lea. Calculăm discriminantul \( \Delta = b^2 - 4ac \) și rădăcinile \( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). Regula tabelului de semn: expresia are semnul lui \( a \) în afara rădăcinilor și semn contrar lui \( a \) între rădăcini. Dacă \( \Delta < 0 \), expresia are peste tot semnul lui \( a \). Concret, pentru \( a > 0 \) și \( \Delta > 0 \), soluția inecuației \( ax^2+bx+c \le 0 \) este intervalul închis \( [x_1, x_2] \).
Inecuații cu modul
Modulul \( |x| \) reprezintă distanța de la \( x \) la 0, iar inecuațiile cu modul se transformă în inecuații fără modul astfel: pentru \( a > 0 \), \( |x| < a \) este echivalent cu \( -a < x < a \), iar \( |x| > a \) este echivalent cu \( x < -a \) sau \( x > a \). Aceleași reguli se aplică și expresiilor: \( |x - 2| \le 3 \) devine \( -3 \le x - 2 \le 3 \), adică \( x \in [-1, 5] \).
Întrebări frecvente
Când folosesc interval închis și când interval deschis? Capătul intervalului se include (paranteză pătrată) atunci când inegalitatea este nestrictă, adică \( \le \) sau \( \ge \); pentru inegalități stricte \( < \) sau \( > \), capetele nu fac parte din soluție.
Ce se întâmplă dacă în inecuația de gradul al II-lea avem \( \Delta = 0 \)? Expresia se anulează într-un singur punct \( x_0 = -\dfrac{b}{2a} \) și are semnul lui \( a \) în rest; de exemplu \( x^2 - 4x + 4 \le 0 \) are soluția unică \( x = 2 \).