Inecuații de gradul 1, gradul 2 și cu modul

Q: Ce se întâmplă dacă în inecuația de gradul al II-lea avem $ \Delta = 0 $?

Expresia se anulează într-un singur punct x_0 = -(b)/(2a) și are semnul lui a în rest; de exemplu x² - 4x + 4 ≤ 0 are soluția unică x = 2 , iar x² - 4x + 4 0 are soluția ℝ \2\ .

Q: Cum rezolv o inecuație cu modul?

Dacă modulul este comparat cu un număr pozitiv r , folosești |E| r -r E r și |E| r E -r sau E r . În cazuri mai complicate explicitezi modulul pe intervale, după semnul expresiei din interior.

Formule

O inecuație este o inegalitate care conține o necunoscută; a o rezolva înseamnă a găsi mulțimea tuturor valorilor care o verifică, de obicei un interval sau o reuniune de intervale. Regula esențială: la înmulțirea sau împărțirea ambilor membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă, de exemplu $- 2 x > 6 ⟺ x < - 3$ .

Proprietățile inegalităților

Operația	Efect asupra sensului
$a < b \Rightarrow a + c < b + c$ (orice $c$ )	se păstrează
$a < b, c > 0 \Rightarrow a c < b c$	se păstrează
$a < b, c < 0 \Rightarrow a c > b c$	se schimbă
$0 < a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$	se schimbă (numere de același semn)
$0 \leq a < b \Rightarrow a^{2} < b^{2}$	se păstrează (doar pentru numere nenegative)

Inecuații de gradul I

Pentru $a x + b > 0$ izolăm necunoscuta ca la ecuații:

a > 0 : x > - \frac{b}{a}; a < 0 : x < - \frac{b}{a}; a = 0 : soluție R dacă b > 0, \emptyset dacă b \leq 0.

De exemplu, $- 2 x + 6 > 0 \Rightarrow - 2 x > - 6 \Rightarrow x < 3$ , soluția fiind $x \in (- \infty, 3)$ . Soluția se scrie ca interval — notațiile sunt explicate la Intervale de numere reale. Funcția $f (x) = a x + b$ are semn contrar lui $a$ la stânga rădăcinii $- \frac{b}{a}$ și semnul lui $a$ la dreapta ei. Pentru ecuația atașată vezi Ecuația de gradul I.

Sisteme de inecuații și inecuații duble

Rezolvăm fiecare inecuație separat, apoi intersectăm mulțimile soluțiilor. O inecuație dublă $m < a x + b < n$ se rezolvă aplicând aceeași operație tuturor celor trei membri (cu schimbarea ambelor sensuri dacă împărțim la un număr negativ). La clasa a VIII-a se cere des mulțimea soluțiilor naturale sau întregi: le alegem pe cele din intervalul obținut.

Inecuații de gradul al II-lea — semnul trinomului

Pentru $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ) calculăm $Δ = b^{2} - 4 a c$ și rădăcinile $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ , cu $x_{1} < x_{2}$ . Semnul funcției de gradul al II-lea:

$Δ$	Semnul lui $a x^{2} + b x + c$
$Δ > 0$	semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn contrar lui $a$ între rădăcini, zero în $x_{1}, x_{2}$
$Δ = 0$	semnul lui $a$ pe $R ∖ {x_{0}}$ , zero în $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
$Δ < 0$	semnul lui $a$ pe tot $R$

Pentru $a > 0$ și $Δ > 0$ : $a x^{2} + b x + c \leq 0 ⟺ x \in [x_{1}, x_{2}]$ , iar $a x^{2} + b x + c > 0 ⟺$ $x \in (- \infty, x_{1}) \cup$ $(x_{2}, \infty)$ . Dacă $a < 0$ , putem înmulți inecuația cu $- 1$ (schimbând sensul). Rădăcinile se află ca la ecuația de gradul al II-lea.

Inecuații cu modul

Modulul $| x - a |$ este distanța de la $x$ la $a$ . Pentru $r > 0$ :

| x - a | < r ⟺ a - r < x < a + r, | x - a | > r ⟺ x < a - r sau x > a + r .

Aceleași reguli se aplică oricărei expresii $E (x)$ : $| E | \leq r ⟺ - r \leq E \leq r$ . Cazuri speciale: $| E | < r$ cu $r \leq 0$ nu are soluții; $| E | > r$ cu $r < 0$ este adevărată pe tot domeniul; $| E | \leq 0 ⟺ E = 0$ . Pentru $| f (x) | < | g (x) |$ putem ridica la pătrat: $f^{2} < g^{2}$ .

Inecuații raționale (cu fracții)

Pentru $\frac{f (x)}{g (x)} \geq 0$ aducem totul într-un singur membru, aflăm zerourile numărătorului și ale numitorului și facem tabelul de semn. Valorile care anulează numitorul se exclud întotdeauna (paranteză rotundă). Nu înmulțim cu numitorul, pentru că nu îi cunoaștem semnul.

Inecuații exponențiale și logaritmice

Pentru bază $a > 1$ funcțiile $a^{x}$ și $\log_{a} x$ sunt crescătoare (sensul se păstrează); pentru $0 < a < 1$ sunt descrescătoare (sensul se schimbă): $a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) > g (x)$ dacă $a > 1$ . La logaritmi se pun întâi condițiile de existență. Detalii în Ecuații și inecuații exponențiale și Logaritmi.

Greșeli frecvente

Păstrarea sensului după împărțirea la un coeficient negativ.
Scrierea soluției unei inecuații de gradul II ca $x < x_{1}, x < x_{2}$ în loc de interval sau reuniune de intervale.
Includerea în soluție a valorilor care anulează numitorul unei fracții.
Înmulțirea inecuației cu o expresie care conține $x$ (al cărei semn nu se cunoaște).
La $| x - a | > r$ , scrierea greșită „ $- r > x - a > r$ ” — corect este o reuniune: $x - a < - r$ sau $x - a > r$ .

Întrebări frecvente

Când folosesc interval închis și când interval deschis? Capătul intervalului se include (paranteză pătrată) când inegalitatea este nestrictă, $\leq$ sau $\geq$ ; pentru $<$ sau $>$ , capetele nu fac parte din soluție. La $\pm \infty$ paranteza este întotdeauna rotundă.

Ce se întâmplă dacă în inecuația de gradul al II-lea avem $Δ = 0$ ? Expresia se anulează într-un singur punct $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ și are semnul lui $a$ în rest; de exemplu $x^{2} - 4 x + 4 \leq 0$ are soluția unică $x = 2$ , iar $x^{2} - 4 x + 4 > 0$ are soluția $R ∖ {2}$ .

Cum rezolv o inecuație cu modul? Dacă modulul este comparat cu un număr pozitiv $r$ , folosești $| E | < r ⟺ - r < E < r$ și $| E | > r ⟺ E < - r$ sau $E > r$ . În cazuri mai complicate explicitezi modulul pe intervale, după semnul expresiei din interior.

Verifică-te: 3 întrebări

Când înmulțești ambii membri ai unei inegalități cu un număr negativ:

sensul inegalității se păstrează
sensul inegalității se schimbă
inegalitatea devine egalitate

Mulțimea soluțiilor inecuației $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ este:

$(1, 4)$
$(- \infty, 1) \cup (4, \infty)$
$[1, 4]$

Rezolvă inecuația $- 2 x > 6$ .

$x > - 3$
$x > 3$
$x < - 3$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — inecuație de gradul I

Rezolvați $3 (x - 2) - 5 \geq 7 x + 1$ .

Rezolvare: $3 x - 11 \geq 7 x + 1 \Rightarrow - 4 x \geq 12$ . Împărțim la $- 4$ și schimbăm sensul: $x \leq - 3$ . Soluția: $x \in (- \infty, - 3]$ .

Exemplul 2 — sistem de inecuații (clasa a VIII-a)

Aflați soluțiile întregi ale sistemului ${\begin{cases} 2 x - 1 < 5 \\ 3 x + 4 \geq 1 \end{cases}$ .

Rezolvare: Prima: $2 x < 6 \Rightarrow x < 3$ . A doua: $3 x \geq - 3 \Rightarrow x \geq - 1$ . Intersecția: $x \in [- 1, 3)$ . Soluțiile întregi: ${- 1, 0, 1, 2}$ .

Exemplul 3 — inecuație de gradul II (model Evaluare Națională)

Rezolvați în $R$ inecuația $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ .

Rezolvare: $Δ = 25 - 24 = 1 > 0$ , rădăcinile $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{2}$ , adică $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ . Cum $a = 1 > 0$ , expresia este negativă între rădăcini. Soluția: $x \in [2, 3]$ . Verificare: pentru $x = 2, 5$ : $6, 25 - 12, 5 + 6 = - 0, 25 \leq 0$ ✓.

Exemplul 4 — coeficient dominant negativ

Rezolvați $- x^{2} + x + 6 > 0$ .

Rezolvare: Înmulțim cu $- 1$ și schimbăm sensul: $x^{2} - x - 6 < 0$ . Rădăcinile: $- 2$ și $3$ ; expresia este negativă între ele. Soluția: $x \in (- 2, 3)$ .

Exemplul 5 — inecuații cu modul

Rezolvați a) $| 2 x - 3 | \leq 5$ ; b) $| x + 1 | > 2$ .

Rezolvare: a) $- 5 \leq 2 x - 3 \leq 5 \Rightarrow$ $- 2 \leq 2 x \leq 8 \Rightarrow x \in [- 1, 4]$ . b) $x + 1 < - 2$ sau $x + 1 > 2$ , adică $x < - 3$ sau $x > 1$ : $x \in (- \infty, - 3) \cup (1, \infty)$ .

Exemplul 6 — inecuație rațională cu tabel de semn

Rezolvați $\frac{x - 1}{x + 2} \leq 0$ .

Rezolvare: Zerouri: numărătorul în $x = 1$ , numitorul în $x = - 2$ (exclus).

$x$	$(- \infty, - 2)$	$- 2$	$(- 2, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
$x - 1$	−	−	−	0	+
$x + 2$	−	0	+	+	+
fracția	+	nedefinită	−	0	+

Soluția: $x \in (- 2, 1]$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Rezolvați $5 x - 3 > 2 x + 9$ .
Rezolvați $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \leq 1$ .
Rezolvați sistemul ${\begin{cases} x - 2 \leq 2 x + 1 \\ 4 x - 5 < 3 \end{cases}$ .
Rezolvați $x^{2} - 9 \geq 0$ .
Rezolvați $2 x^{2} - x - 1 < 0$ .
Rezolvați $x^{2} - 6 x + 9 > 0$ și $x^{2} + 2 x + 5 > 0$ .
Rezolvați $| x - 4 | < 3$ și $| 3 x + 1 | \geq 5$ .
Rezolvați $\frac{2 x - 6}{x + 1} > 0$ .
Rezolvați $2^{x - 1} > 8$ .

Răspunsuri

1. $x \in (4, \infty)$ . 2. $3 (x + 1) - 2 (x - 2) \leq 6 \Rightarrow x \leq - 1$ , $x \in (- \infty, - 1]$ . 3. $x \geq - 3$ și $x < 2$ : $[- 3, 2)$ . 4. $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$ . 5. Rădăcini $- \frac{1}{2}$ și 1: $(- \frac{1}{2}, 1)$ . 6. $(x - 3)^{2} > 0 \Rightarrow R ∖ {3}$ ; $Δ = - 16 < 0, a > 0 \Rightarrow R$ . 7. $(1, 7)$ ; $(- \infty, - 2] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$ . 8. $(- \infty, - 1) \cup (3, \infty)$ . 9. $x - 1 > 3 \Rightarrow x \in (4, \infty)$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Inecuații de gradul I și II, cu modul și raționale — reguli, tabel de semn, exemple rezolvate