Ecuația de gradul întâi (numită și ecuație liniară) este o egalitate de forma \(ax+b=0\), în care \(a\) și \(b\) sunt numere reale cunoscute (coeficienți), iar \(x\) este necunoscuta. A rezolva ecuația înseamnă a găsi toate valorile lui \(x\) pentru care egalitatea este adevărată. Este cel mai simplu tip de ecuație și stă la baza rezolvării problemelor de la Evaluarea Națională.
Forma generală: ax+b=0
Rezolvare:
Dacă atunci
Dacă a=0 și b=0 atunci soluția este întreaga mulțime de definiție.
Dacă a=0 și atunci soluția este mulțimea vidă.
Cele trei cazuri, explicate în cuvinte
Dacă \(a\neq 0\), trecem termenul liber în membrul drept și împărțim prin \(a\): din \(ax=-b\) obținem soluția unică \(x=-\frac{b}{a}\). Dacă \(a=0\) și \(b=0\), ecuația devine \(0=0\), adevărată pentru orice \(x\), deci soluția este întreaga mulțime de definiție. Dacă \(a=0\) și \(b\neq 0\), ecuația devine \(b=0\), o egalitate falsă, deci nu există soluții — mulțimea soluțiilor este vidă.
Întrebări frecvente
De ce nu putem împărți prin \(a\) atunci când \(a=0\)? Împărțirea la zero nu este definită; de aceea cazul \(a=0\) se tratează separat, analizând valoarea lui \(b\).
Cum verificăm soluția obținută? Înlocuim valoarea găsită în ecuația inițială: dacă cei doi membri devin egali, soluția este corectă. De exemplu, pentru \(2x-6=0\), soluția \(x=3\) verifică: \(2\cdot 3-6=0\).