Ecuația de gradul I (ax + b = 0) — rezolvare, discuție, exemple rezolvate

Ecuația de gradul I (ecuația liniară) are forma $ax+b=0$, unde $a,b\in \mathbb{R}$ sunt coeficienți cunoscuți, iar $x$ este necunoscuta. Dacă $a\ne 0$, ecuația are soluția unică $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$; dacă $a=0$, ecuația are fie o infinitate de soluții ($b=0$), fie niciuna ($b\ne 0$).

Forma generală și soluția

Orice ecuație în care necunoscuta apare doar la puterea întâi poate fi adusă, prin desfacerea parantezelor și reducerea termenilor asemenea, la forma

Trecem termenul liber în membrul drept (cu semn schimbat) și împărțim prin coeficientul lui $x$:

Mulțimea soluțiilor se scrie $S=\{-\frac{b}{a}\}$.

Discuția după coeficienții a și b

Nu putem împărți prin $a$ când $a=0$, de aceea acest caz se analizează separat, după valoarea lui $b$.

Pașii de rezolvare a ecuațiilor de gradul 1

1. Eliminăm numitorii: înmulțim ambii membri cu numitorul comun (c.m.m.m.c. al numitorilor).
2. Desfacem parantezele (atenție la semnul „−” din fața unei paranteze).
3. Trecem termenii cu $x$ într-un membru și termenii liberi în celălalt, schimbându-le semnul.
4. Reducem termenii asemenea și obținem $ax=c$.
5. Împărțim prin $a$ (dacă $a\ne 0$) și verificăm soluția în ecuația inițială.

Ecuații cu fracții (aducere la numitor comun)

Pentru o ecuație de tipul ${\displaystyle \frac{x-1}{2}}+{\displaystyle \frac{x+2}{3}}=4$, numitorul comun este $6$. Înmulțind fiecare termen cu $6$:

Regula: fiecare termen (inclusiv cei fără numitor) se înmulțește cu numitorul comun. Dacă necunoscuta apare la numitor, se pun mai întâi condițiile de existență (numitorul diferit de zero).

Ecuații cu modul

Ecuația $|E(x)|=k$ se rezolvă după semnul lui $k$:

De exemplu, $|2x-3|=5$ dă $2x-3=5\Rightarrow x=4$ sau $2x-3=-5\Rightarrow x=-1$, deci $S=\{-1,4\}$.

Ecuații cu parametru

Când coeficienții depind de un parametru $m$, aducem ecuația la forma $A(m)x=B(m)$ și discutăm:

• dacă $A(m)\ne 0$: soluție unică $x={\displaystyle \frac{B(m)}{A(m)}}$;
• dacă $A(m)=0$ și $B(m)=0$: $S=\mathbb{R}$;
• dacă $A(m)=0$ și $B(m)\ne 0$: $S=\varnothing$.

Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor

La Evaluarea Națională (clasa a 7-a și a 8-a) multe probleme de text se rezolvă cu o ecuație de gradul I: notăm necunoscuta cu $x$, traducem enunțul într-o egalitate, rezolvăm și verificăm dacă rezultatul are sens (de exemplu, un număr de persoane trebuie să fie natural). Vezi exemplele rezolvate de mai jos.

Greșeli frecvente

• Uitarea schimbării semnului la trecerea unui termen în celălalt membru.
• La eliminarea numitorilor, termenii fără numitor nu sunt înmulțiți cu numitorul comun.
• Semnul „−” din fața unei fracții sau paranteze nu se aplică tuturor termenilor: $-(x-2)=-x+2$, nu $-x-2$.
• Împărțirea prin $a$ fără a verifica dacă $a\ne 0$ (mai ales la ecuațiile cu parametru).
• La modul se păstrează doar una dintre soluții sau nu se observă că $|E(x)|=k$ cu $k<0$ nu are soluții.

Legături utile

Graficul expresiei $ax+b$ este o dreaptă — vezi funcția de gradul I. Continuă cu inecuațiile de gradul I, II și cu modul, sistemele de ecuații liniare și ecuația de gradul al II-lea. Pentru calculul cu numitori, recitește operațiile cu fracții.

Întrebări frecvente

De ce nu putem împărți prin $a$ atunci când $a=0$? Împărțirea la zero nu este definită; de aceea cazul $a=0$ se tratează separat: ecuația devine $0=-b$, adevărată pentru orice $x$ dacă $b=0$ și falsă dacă $b\ne 0$.

Cum verificăm soluția unei ecuații de gradul 1? Înlocuim valoarea găsită în ecuația inițială (nu în cea transformată): dacă cei doi membri devin egali, soluția este corectă. De exemplu, pentru $2x-6=0$, $x=3$ verifică: $2\cdot 3-6=0$.

Poate o ecuație de gradul I să aibă două soluții? Nu. Dacă $a\ne 0$ are exact o soluție; dacă $a=0$ are fie toate numerele reale ca soluții, fie niciuna. Două soluții distincte pot apărea doar la ecuații cu modul sau de grad mai mare.

Exersează: fișă de lucru printabilă — ecuații și inecuații în Z, clasa a 6-a, cu 19 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — ecuații de gradul I, clasa a 7-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.