Integrale definite

Integrala definită \(\int_a^b f(x)\,dx\) asociază unei funcții continue pe intervalul \([a,b]\) un număr real; geometric, pentru \(f\ge 0\), acest număr reprezintă aria suprafeței cuprinse între graficul funcției, axa \(Ox\) și dreptele verticale \(x=a\) și \(x=b\). Formula Leibniz–Newton leagă acest calcul de noțiunea de primitivă.

Formula lui Leibniz-Newton

Fie  $f:\left[a,b\right]\to R$  o funcție continuă, iar  $F:\left[a,b\right]\to R,$ o primitivă a lui  $f$ pe $\left[a,b\right]$ . Atunci:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Formula Leibniz–Newton, în cuvinte

Pentru a calcula \(\int_a^b f(x)\,dx\): găsim o primitivă \(F\) a lui \(f\) (adică o funcție cu \(F'=f\)), o evaluăm în capătul superior și în capătul inferior al intervalului, apoi scădem: \(F(b)-F(a)\). Se folosește notația \(F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)\).

Proprietăți utile la calcule: liniaritatea \(\int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx\) și aditivitatea la interval \(\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx\), pentru \(c\in[a,b]\).

Întrebări frecvente

Contează ce primitivă alegem? Nu: dacă înlocuim \(F\) cu \(F+\mathcal{C}\), constanta se reduce în diferența \(F(b)-F(a)\), deci rezultatul este același.

Poate fi integrala definită negativă? Da: dacă \(f(x)\le 0\) pe \([a,b]\), integrala este negativă; aria efectivă a suprafeței se obține integrând \(|f(x)|\).