Integrale definite — formula Leibniz–Newton, proprietăți + exemplu

Integrala definită a unei funcții continue $f$ pe $[a,b]$ se calculează cu formula Leibniz–Newton: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$. Geometric, pentru $f\ge 0$, rezultatul este aria suprafeței cuprinse între grafic, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$. Mai jos găsești proprietățile integralei, integrarea prin părți și schimbarea de variabilă, regulile pentru funcții pare și impare, aria și volumul corpului de rotație.

Formula Leibniz–Newton

Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ o funcție continuă și $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ o primitivă a lui $f$. Atunci:

În cuvinte: găsești o primitivă $F$ (o funcție cu $F^{\prime }=f$), o evaluezi în capătul superior și în capătul inferior al intervalului, apoi scazi. Primitivele uzuale sunt în tabelul integralelor nedefinite. Constanta $\mathcal{C}$ nu mai contează, deoarece se reduce în diferență.

Proprietățile integralei definite

• Liniaritate: ${\int }_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx$ $=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$.
• Aditivitate la interval: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$, pentru $c\in [a,b]$. Se folosește la funcții definite pe ramuri și la modul.
• Capete egale sau inversate: ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ și ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Pozitivitate: dacă $f(x)\ge 0$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$.
• Monotonie: dacă $f(x)\le g(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$.
• Încadrare: dacă $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$, atunci $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$.

Pașii de calcul pentru o integrală definită

1. Verifici că funcția este continuă pe $[a,b]$ (la Bac este de obicei evident).
2. Alegi metoda: tabel și liniaritate, prin părți sau schimbare de variabilă.
3. Scrii primitiva și bara de evaluare $F(x){|}_a^b$.
4. Înlocuiești întâi capătul de sus, apoi pe cel de jos, și scazi cu paranteze.
5. Simplifici rezultatul (logaritmi, puteri ale lui $e$, radicali).

Integrala unei funcții cu modul sau pe ramuri

Modulul se elimină studiind semnul expresiei și folosind aditivitatea la interval. De exemplu, $|x-1|$ este $1-x$ pe $[0,1]$ și $x-1$ pe $[1,2]$, deci

Fiecare termen este ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, iar rezultatul este $1$. La fel procedezi pentru o funcție definită pe ramuri: împarți integrala în punctul de legătură și folosești pe fiecare interval expresia corespunzătoare.

Integrarea prin părți

Pentru $f,g$ derivabile cu derivate continue pe $[a,b]$:

Termenul $fg$ se evaluează direct între capete, deci nu mai e nevoie să scrii primitiva completă înainte.

Schimbarea de variabilă

Dacă $u:[a,b]\to J$ este derivabilă cu derivata continuă și $f$ este continuă pe $J$:

Atenție: la integrala definită schimbi și capetele ($a\to u(a)$, $b\to u(b)$), iar apoi nu mai revii la variabila $x$.

Funcții pare și impare pe $[-a,a]$

Pentru $f$ continuă pe un interval simetric $[-a,a]$:

• dacă $f$ este impară ($f(-x)=-f(x)$): ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$;
• dacă $f$ este pară ($f(-x)=f(x)$): ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$.

Produsul dintre o funcție pară și una impară este impar (de exemplu $x^2\sin x$), deci integrala lui pe $[-a,a]$ este 0 fără niciun calcul.

Aria subgraficului

Aria suprafeței cuprinse între graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este

Dacă $f\ge 0$, modulul dispare; dacă $f$ schimbă semnul, împarți intervalul în punctele în care $f$ se anulează. Aria dintre două grafice este ${\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$. Exemple și cazuri speciale găsești la aplicații ale integralei definite.

Volumul corpului de rotație

Rotind graficul unei funcții continue $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ se obține un corp cu volumul

De exemplu, pentru $f(x)=x$ pe $[0,1]$ se obține un con: $V=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

Greșeli frecvente

• Ordinea scăderii: este $F(b)-F(a)$ (capătul de sus minus capătul de jos), nu invers.
• Capetele la schimbarea de variabilă rămân cele vechi din greșeală; trebuie înlocuite cu $u(a)$ și $u(b)$.
• Aria negativă: dacă $f<0$ pe o porțiune, integrala dă un număr negativ; aria cere $|f|$.
• Volumul fără pătrat sau fără $\pi$: formula este $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$.
• Funcții pare/impare pe interval nesimetric: regulile se aplică doar pe $[-a,a]$.

Rezumatul formulelor de analiză pentru examen: formule Bacalaureat matematică.

Întrebări frecvente

Contează ce primitivă alegem? Nu: dacă înlocuim $F$ cu $F+\mathcal{C}$, constanta se reduce în diferența $F(b)-F(a)$, deci rezultatul este același.

Poate fi integrala definită negativă? Da: dacă $f(x)\le 0$ pe $[a,b]$, integrala este negativă; aria efectivă a suprafeței se obține integrând $|f(x)|$.

Care este diferența dintre integrala definită și cea nedefinită? Integrala nedefinită este o mulțime de funcții ($F(x)+\mathcal{C}$), pe când integrala definită ${\int }_a^{b}f(x)dx$ este un număr real, calculat cu formula Leibniz–Newton.

Calculează rapid: calculator integrale pas cu pas — primitive (tabel, substituție, prin părți, fracții simple) și integrale definite cu formula Leibniz–Newton.

Istoric: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) — a văzut integrala ca o sumă de dreptunghiuri infinit de subțiri și a legat-o de derivată; formula Leibniz–Newton îi poartă numele.

Istoric: Isaac Newton (1643–1727) — a descoperit, independent de Leibniz, că aria de sub o curbă se obține inversând derivarea, legătură exprimată de formula Leibniz–Newton.

Exersează: fișă de lucru printabilă — primitive și integrale, clasa a 12-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — integrala definită (proprietăți, modul, șiruri de integrale), clasa a 12-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

La Bacalaureat: toate integralele date la Bac (Subiectul III.2, M1 și M2) — enunțurile pe variante și tipuri, cu link la rezolvarea pas cu pas.