Primitiva unei funcții — definiție, F′ = f, exemplu rezolvat

Q: Cum verific dacă o funcție F este primitivă a lui f?

Derivezi pe F : dacă F este derivabilă și F'(x) = f(x) pentru orice x din interval, răspunsul este da.

Q: Care este diferența dintre primitivă și integrala nedefinită?

O primitivă este o singură funcție F cu F' = f . Integrala nedefinită ∈t f(x) dx este mulțimea tuturor primitivelor, F(x) + C .

Formule

O funcție derivabilă $F$ este primitivă a funcției $f$ pe un interval $I$ dacă $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x \in I$ . Mulțimea tuturor primitivelor se notează $\int f (x) d x = F (x) + C$ , unde $C$ este o constantă reală arbitrară. Mai jos găsești tabelul primitivelor uzuale, proprietățile, metodele de calcul (integrarea prin părți, schimbarea de variabilă, funcții raționale simple) și modul în care verifici o primitivă, cerință tipică la subiectul III de la Bacalaureat.

Definiția primitivei

Noțiunea de primitivă inversează operația de derivare: a găsi o primitivă a funcției $f$ înseamnă a găsi o funcție $F$ a cărei derivată este $f$ . Funcția $F$ se mai numește antiderivată a lui $f$ .

F primitivă a lui f pe I ⟺ F^{'} (x) = f (x), \forall x \in I

Mulțimea primitivelor (+C)

Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ pe un interval, atunci orice altă primitivă diferă de $F$ printr-o constantă. Mulțimea tuturor primitivelor (integrala nedefinită) este

\int f (x) d x = F (x) + C

De aceea integrala nedefinită reprezintă o familie de funcții, nu una singură. Când problema dă o condiție, de exemplu $F (1) = 2$ , constanta se determină și obții o singură primitivă.

Existență: orice funcție continuă pe un interval admite primitive (condiție suficientă). O funcție care admite primitive are proprietatea lui Darboux (condiție necesară); de exemplu, o funcție cu un salt (discontinuitate de prima speță) nu admite primitive.

Tabelul primitivelor uzuale

Funcția	Primitivele
$x^{n}, n \in N$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$
$x^{a}, a \neq - 1, x > 0$	$\frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$
$\frac{1}{x}, x \neq 0$	$\ln \| x \| + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$a^{x}, a > 0, a \neq 1$	$\frac{a^{x}}{\ln a} + C$
$\sin x$	$- \cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\frac{1}{\cos^{2} x}$	$tg x + C$
$\frac{1}{\sin^{2} x}$	$- ctg x + C$
$tg x$	$- \ln \| \cos x \| + C$
$ctg x$	$\ln \| \sin x \| + C$
$\frac{1}{x^{2} + a^{2}}, a \neq 0$	$\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$
$\frac{1}{x^{2} - a^{2}}, \| x \| \neq \| a \|$	$\frac{1}{2 a} \ln \| \frac{x - a}{x + a} \| + C$
$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}, \| x \| < a$	$\arcsin \frac{x}{a} + C$
$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$	$\ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C$
$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}, \| x \| > a$	$\ln \| x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} \| + C$

Formulele rămân valabile dacă înlocuiești $x$ cu o funcție $u (x)$ și înmulțești cu $u^{'} (x)$ ; de exemplu $\int \frac{u^{'}}{u} d x = \ln | u | + C$ și $\int u^{n} u^{'} d x = \frac{u^{n + 1}}{n + 1} + C$ . Lista completă, cu variantele în $u$ , este în tabelul integralelor nedefinite.

Proprietăți (liniaritate)

\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x, k \in R^{*}

Atenție: nu există o regulă simplă pentru produs sau cât; $\int f g d x \neq \int f d x \cdot \int g d x$ .

Metode de calcul: integrarea prin părți și schimbarea de variabilă

Cele două metode principale au acum pagini separate, cu teorie, tabele, exemple rezolvate și exerciții:

Integrarea prin părți — pentru produse de tipul polinom · exponențială, polinom · $\sin$ / $\cos$ , polinom · $\ln$ , $\ln x$ , $arctg x$ :
$\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$
Schimbarea de variabilă (substituția) — când în integrală apare o funcție și derivata ei:
$\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$

Cum le deosebești: dacă vezi „funcție compusă × derivata funcției interioare” (de exemplu $2 x e^{x^{2}}$ ), folosești schimbarea de variabilă; dacă vezi un produs de două funcții fără legătură de tip derivată (de exemplu $x e^{x}$ ), folosești integrarea prin părți.

Funcții raționale simple

Fracțiile cu numitor de gradul 2 cu rădăcini reale distincte se descompun în fracții simple:

\frac{1}{x (x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

deci $\int \frac{d x}{x (x + 1)} = \ln | x | - \ln | x + 1 | + C$ $= \ln | \frac{x}{x + 1} | + C$ . Dacă gradul numărătorului este cel puțin gradul numitorului, faci întâi împărțirea polinoamelor.

Cum verifici o primitivă (subiectul III, Bac)

Cerința „Arătați că funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$ ” se rezolvă derivând, nu integrând: arăți că $F$ este derivabilă și calculezi $F^{'} (x)$ ; dacă obții $f (x)$ pentru orice $x$ din interval, ai terminat. La fel verifici orice rezultat obținut cu metodele de mai sus.

Primitivele sunt folosite apoi în formula Leibniz–Newton pentru integrale definite. Vezi și formulele pentru Bacalaureat.

Greșeli frecvente

Uitarea constantei $C$ la integrala nedefinită.
Semnul la $\sin$ : $\int \sin x d x = - \cos x + C$ , nu $\cos x$ .
$\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |$ , cu modul; formula $\frac{x^{a + 1}}{a + 1}$ nu se aplică pentru $a = - 1$ .
Primitiva produsului nu este produsul primitivelor; pentru produse folosești integrarea prin părți.
La „arătați că F este primitivă” se derivează $F$ ; calculul integralei nu este necesar.

Întrebări frecvente

Orice funcție admite primitive? Nu. O condiție suficientă: orice funcție continuă pe un interval admite primitive. O condiție necesară: o funcție care admite primitive are proprietatea lui Darboux.

Cum verific dacă o funcție F este primitivă a lui f? Derivezi pe $F$ : dacă $F$ este derivabilă și $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x$ din interval, răspunsul este da.

Care este diferența dintre primitivă și integrala nedefinită? O primitivă este o singură funcție $F$ cu $F^{'} = f$ . Integrala nedefinită $\int f (x) d x$ este mulțimea tuturor primitivelor, $F (x) + C$ .

Exersează: fișă de lucru printabilă — primitive și integrale, clasa a 12-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$ pe intervalul $I$ dacă:

$f^{'} (x) = F (x)$ , pentru orice $x \in I$
$F^{'} (x) = f (x)$ , pentru orice $x \in I$
$F (x) = f (x) + C$ , pentru orice $x \in I$

Primitiva funcției $f (x) = 3 x^{2} + \cos x$ care verifică $F (0) = 2$ este:

$F (x) = x^{3} + \sin x + 2$
$F (x) = x^{3} - \sin x + 2$
$F (x) = x^{3} + \sin x$

Dacă $F$ și $G$ sunt primitive ale aceleiași funcții pe un interval, atunci:

$F = G$
$F + G = 0$
$F - G$ este o funcție constantă

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (primitiva cu condiție, Bac). Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} + 2 x$ . Determinați primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F (1) = 2$ .

Rezolvare: $\int (3 x^{2} + 2 x) d x = x^{3} + x^{2} + C$ . Din $F (1) = 2$ : $1 + 1 + C = 2$ , deci $C = 0$ și $F (x) = x^{3} + x^{2}$ . Verificare: $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x = f (x)$ .

Exemplul 2 (verificarea unei primitive, Bac). Arătați că $F (x) = (x - 1) e^{x}$ este o primitivă a funcției $f (x) = x e^{x}$ pe $R$ .

Rezolvare: $F$ este derivabilă și $F^{'} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x}$ $= x e^{x} = f (x)$ , pentru orice $x \in R$ .

Exemplul 3 (tabel și liniaritate). Calculați $\int (4 x^{3} - 6 x + 5) d x$ .

Rezolvare: $4 \cdot \frac{x^{4}}{4} - 6 \cdot \frac{x^{2}}{2} + 5 x + C$ $= x^{4} - 3 x^{2} + 5 x + C$ .

Exemplul 4 (prin părți — vezi integrarea prin părți). Calculați $\int x \ln x d x$ , $x > 0$ .

Rezolvare: Luăm $f = \ln x$ , $g^{'} = x$ , deci $f^{'} = \frac{1}{x}$ , $g = \frac{x^{2}}{2}$ . Obținem $\frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} d x$ $= \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C$ .

Exemplul 5 (schimbare de variabilă — vezi schimbarea de variabilă). Calculați $\int x e^{x^{2}} d x$ .

Rezolvare: Cu $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ : $\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int 2 x e^{x^{2}} d x$ $= \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ .

Exemplul 6 (funcție rațională). Calculați $\int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$ , $x > 1$ .

Rezolvare: $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$ , deci integrala este $\frac{1}{2} \ln \frac{x - 1}{x + 1} + C$ , în acord cu formula din tabel pentru $a = 1$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Calculați $\int (x^{2} + 2 x) d x$ .
Calculați $\int (e^{x} + \frac{1}{x}) d x$ , $x > 0$ .
Calculați $\int (\sin x + \cos x) d x$ .
Arătați că $F (x) = x \ln x - x$ este o primitivă a funcției $f (x) = \ln x$ pe $(0, \infty)$ .
Determinați primitiva $F$ a funcției $f (x) = 2 x + 1$ pentru care $F (0) = 3$ .
Calculați $\int x e^{x} d x$ prin părți.
Calculați $\int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$ .
Calculați $\int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$ .

Răspunsuri

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + C$
$e^{x} + \ln x + C$
$- \cos x + \sin x + C$
$F^{'} (x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x = f (x)$
$F (x) = x^{2} + x + 3$
$(x - 1) e^{x} + C$
$\ln (x^{2} + 4) + C$
$\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3} + C$

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →