Noțiunea de primitivă inversează operația de derivare: a găsi o primitivă a funcției \(f\) înseamnă a găsi o funcție \(F\) a cărei derivată este \(f\). Acest concept, studiat în clasa a XII-a, stă la baza calculului integral și a formulei Leibniz–Newton.
O funcție derivabilă F este primitivă a funcției f, dacă
Mulțimea tuturor primitivelor unei funcții reprezintă:
Funcția F, se numește primitiva lui f sau antiderivată a lui f.
Ce înseamnă \(F'=f\), în cuvinte
A spune că \(F\) este primitivă a lui \(f\) pe un interval înseamnă că, derivând pe \(F\), obținem exact funcția \(f\) în fiecare punct al intervalului. Derivarea și „primitivarea” sunt, așadar, operații inverse una alteia.
Dacă \(F\) este o primitivă a lui \(f\) pe un interval, atunci orice altă primitivă diferă de \(F\) printr-o constantă: mulțimea tuturor primitivelor se scrie \(\int f(x)\,dx=F(x)+\mathcal{C}\), unde \(\mathcal{C}\) este o constantă reală arbitrară. De aceea integrala nedefinită reprezintă o familie de funcții, nu una singură.
Întrebări frecvente
Orice funcție admite primitive? Nu. O condiție suficientă: orice funcție continuă pe un interval admite primitive. O condiție necesară: o funcție care admite primitive are proprietatea lui Darboux.
Cum verific dacă \(F\) este primitivă a lui \(f\)? Derivezi pe \(F\): dacă \(F\) este derivabilă și \(F'(x)=f(x)\) pentru orice \(x\) din interval, răspunsul este da.