Aplicații ale integralei definite — aria subgraficului, volumul corpului de rotație, exemple

Principala aplicație a integralei definite este calculul ariilor: aria subgraficului unei funcții continue $f$ pe $[a,b]$ este $\mathcal{A}={\int }_a^b|f(x)|dx$, iar aria dintre graficele lui $f$ și $g$ este ${\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$. Volumul corpului de rotație obținut rotind graficul în jurul axei $Ox$ este $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Mai jos găsești și lungimea graficului, aria suprafeței de rotație, sumele Riemann și inegalitățile cu integrale.

Aria subgraficului unei funcții

Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ o funcție continuă. Aria suprafeței plane ${\mathrm{\Gamma }}_f$ delimitate de graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ ($a<b$) este

• dacă $f(x)\ge 0$ pe $[a,b]$: $\mathcal{A}={\int }_a^{b}f(x)dx$;
• dacă $f(x)\le 0$ pe $[a,b]$: $\mathcal{A}=-{\int }_a^{b}f(x)dx$;
• dacă $f$ schimbă semnul în $c\in (a,b)$: împarți integrala, $\mathcal{A}={\int }_a^c|f(x)|dx+{\int }_c^b|f(x)|dx$, eliminând modulul pe fiecare interval.

Integrala fără modul dă aria „cu semn”: porțiunile de sub axa $Ox$ se scad. Calculul propriu-zis se face cu formula Leibniz–Newton, prezentată la integrale definite.

Aria dintre două grafice

Pentru $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue, aria suprafeței cuprinse între graficele lor și dreptele $x=a$, $x=b$ este

Dacă $f(x)\ge g(x)$ pe $[a,b]$, aria este ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ („funcția de sus minus funcția de jos”). Când capetele nu sunt date, ele sunt abscisele punctelor de intersecție, adică soluțiile ecuației $f(x)=g(x)$. Pentru a afla care grafic este deasupra, testezi o valoare din interiorul intervalului.

Volumul corpului de rotație

Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă, corpul obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$ are volumul

Formula provine din însumarea unor discuri subțiri de rază $|f(x)|$ și grosime $dx$. Pentru $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$ se obține volumul sferei ${\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}}$, iar pentru $f(x)={\displaystyle \frac{R}{h}}x$ pe $[0,h]$, volumul conului ${\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}$.

Lungimea graficului (M1)

Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este derivabilă cu derivata continuă, graficul are lungimea

Aria suprafeței de rotație

În aceleași ipoteze ($f$ derivabilă cu derivata continuă), suprafața generată prin rotirea graficului în jurul axei $Ox$ are aria

Verificare: pentru $f(x)=x$ pe $[0,1]$ (con cu $R=1$, generatoarea $G=\sqrt{2}$) obții $2\pi \sqrt{2}{\int }_0^{1}xdx=\pi \sqrt{2}=\pi RG$, adică aria laterală a conului.

Limite de șiruri cu sume Riemann

Pentru $f$ continuă pe $[0,1]$:

Recunoști suma după factorul ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ și după faptul că $k$ apare doar în forma ${\displaystyle \frac{k}{n}}$. De exemplu, ${\displaystyle \frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2\to$ ${\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Inegalități cu integrale (monotonia integralei)

• dacă $f(x)\le g(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$;
• dacă $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$, atunci $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$;
• teorema de medie: există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$.

La Bac apar des șiruri de integrale $I_n={\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx$: monotonia se arată din $x^{n+1}\le x^n$ pe $[0,1]$, iar limita prin încadrare (criteriul cleștelui).

Greșeli frecvente

• Calcularea ariei fără modul când funcția schimbă semnul: porțiunile negative se scad și rezultatul iese prea mic (sau chiar 0).
• Scăderea în ordine greșită la aria dintre grafice ($g-f$ în loc de $f-g$), ceea ce dă o arie negativă.
• Uitarea factorului $\pi$ sau a pătratului în formula volumului: corect este $\pi \int f^2$, nu $\pi \int f$ și nici ${(\int f)}^2$.
• Neidentificarea capetelor de integrare când acestea sunt punctele de intersecție ale graficelor.
• Aplicarea sumei Riemann când termenul nu are forma ${\displaystyle \frac{1}{n}}f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)$.

Pentru primitive și integrale uzuale folosește tabelul integralelor nedefinite și pagina despre primitive; pentru studiul semnului unei funcții, aplicațiile derivatelor.

Întrebări frecvente

Cum se calculează aria subgraficului unei funcții? Se calculează ${\int }_a^b|f(x)|dx$; dacă funcția este pozitivă pe interval, aria este chiar integrala, altfel se împarte intervalul în punctele în care funcția se anulează.

Care este formula volumului corpului de rotație? Volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției continue $f$ în jurul axei $Ox$, pe $[a,b]$, este $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$.

Cum calculez aria dintre două grafice? Afli punctele de intersecție rezolvând $f(x)=g(x)$, stabilești care funcție este mai mare pe interval și integrezi diferența „sus minus jos”, adică ${\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$.

Calculează rapid: calculator integrale pas cu pas — primitive (tabel, substituție, prin părți, fracții simple) și integrale definite cu formula Leibniz–Newton.

Exersează: fișă de lucru printabilă — arii și volume cu integrala definită, clasa a 12-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.