Aplicații ale integralei definite în geometrie

Aplicații ale integralei definite în geometria plană

1. Calculul suprafețelor plane:

Fie funcția $f:\left[a,b\right]\to R$  continuă,

Aria (suprafața plană) delimitată de axa $Ox$, graficul funcției $f$, și dreptele $x=a$ și $x=b$, a < b este:

Aria $\left({\Gamma }_f\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

2. Volumul corpurilor de rotație:

Teoremă:  Dacă  $f:\left[a,b\right]\mapsto \left[0,\infty \right]$ este o funcție continuă, atunci corpul de rotație în jurul axei Ox, determinat de $f$ are volum și:

$vol\left(C_f\right)=\pi {\int }_a^b{f}^2\left(x\right)dx$

3. Lungimea graficului unei funcții derivabile cu derivata continuă:

Teoremă:  Dacă $f:\left[a,b\right]\to R$ este o funcție derivabilă cu derivata continuă, atunci graficul lui $f$ are lungime finită și:

$l\left(f\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{\left(f\prime \left(x\right)\right)}^2}dx$

4. Aria suprefețelor de rotație:

Teoremă:  Dacă $f:\left[a,b\right]\to \left[0,\infty \right]$ este o funcție derivabilă cu derivata continuă, atunci suprafața de rotație detrminată de $f$ are arie și:

$A\left(f\right)=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\sqrt{1+{\left(f\prime \left(x\right)\right)}^2}dx$