Metoda schimbării de variabilă (substituția) se aplică integralelor de forma \(\int f(u(x))\,u'(x)\,dx\): notăm \(t=u(x)\), deci \(dt=u'(x)\,dx\), și obținem \(\int f(t)\,dt=F(t)+C=F(u(x))+C\). Pe scurt: dacă sub integrală vezi o funcție compusă înmulțită cu derivata funcției din interior, integrezi ca și cum interiorul ar fi o singură variabilă.
Prima metodă de schimbare de variabilă — formula
Fie \(u:I\to J\) o funcție derivabilă cu derivata continuă și \(f:J\to\mathbb{R}\) o funcție care admite primitiva \(F\). Atunci funcția \((f\circ u)\cdot u'\) admite primitive și
\[\int f(u(x))\,u'(x)\,dx = F(u(x)) + C.\]
Justificarea este chiar regula de derivare a funcției compuse: \(\big(F(u(x))\big)' = F'(u(x))\cdot u'(x) = f(u(x))\,u'(x)\). De aceea, înainte de a învăța substituția, merită să stăpânești bine derivatele funcțiilor compuse.
În practică, pașii sunt:
- alegi \(t=u(x)\) (de obicei „ce e în interior”: exponentul, argumentul funcției trigonometrice, numitorul, expresia de sub radical);
- calculezi \(dt=u'(x)\,dx\) și verifici că \(u'(x)\,dx\) apare (eventual până la o constantă) în integrală;
- rescrii integrala numai în \(t\), o calculezi cu tabelul de integrale;
- revii la variabila \(x\) înlocuind \(t=u(x)\) și adaugi constanta \(C\).
Cum recunoști „funcție + derivata ei”
Caută sub integrală o expresie \(u(x)\) a cărei derivată \(u'(x)\) apare ca factor. Câteva semnale tipice:
- o fracție în care numărătorul este derivata numitorului: \(\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}\), \(\dfrac{e^x}{e^x+1}\), \(\dfrac{\cos x}{\sin x}\) — rezultatul este \(\ln|u|\);
- o exponențială cu exponent compus înmulțită cu derivata exponentului: \(x\,e^{x^2}\), \(\cos x\,e^{\sin x}\);
- o putere a unei expresii înmulțită cu derivata acesteia: \(2x(x^2+1)^5\), \(\dfrac{\ln^3 x}{x}\) (aici \(u=\ln x\), \(u'=\tfrac1x\));
- \(\sin\), \(\cos\) de argument compus: \(2x\cos(x^2)\), \(\dfrac{1}{x}\sin(\ln x)\).
Dacă derivata interiorului lipsește complet (de exemplu \(\int e^{x^2}dx\)), substituția nu funcționează — iar această integrală nici nu se poate exprima prin funcții elementare.
Tabelul integralelor funcțiilor compuse
Fiecare formulă din tabelul de bază rămâne valabilă dacă înlocuiești \(x\) cu \(u=u(x)\) și \(dx\) cu \(u'(x)\,dx\). Peste tot \(u\) este derivabilă cu derivata continuă pe intervalul considerat.
| Integrala | Rezultat | Condiții |
|---|---|---|
| \(\int u^n\,u'\,dx\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C\) | \(n\neq-1\) (pentru \(n\) neîntreg, \(u\gt 0\)) |
| \(\int \dfrac{u'}{u}\,dx\) | \(\ln|u|+C\) | \(u(x)\neq 0\) |
| \(\int \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\,dx\) | \(\sqrt{u}+C\) | \(u\gt 0\) |
| \(\int u'\,e^{u}\,dx\) | \(e^{u}+C\) | — |
| \(\int u'\,a^{u}\,dx\) | \(\dfrac{a^{u}}{\ln a}+C\) | \(a\gt 0,\ a\neq 1\) |
| \(\int u'\sin u\,dx\) | \(-\cos u+C\) | — |
| \(\int u'\cos u\,dx\) | \(\sin u+C\) | — |
| \(\int \dfrac{u'}{\cos^2 u}\,dx\) | \(\operatorname{tg} u+C\) | \(\cos u\neq 0\) |
| \(\int \dfrac{u'}{\sin^2 u}\,dx\) | \(-\operatorname{ctg} u+C\) | \(\sin u\neq 0\) |
| \(\int u'\operatorname{tg} u\,dx\) | \(-\ln|\cos u|+C\) | \(\cos u\neq 0\) |
| \(\int u'\operatorname{ctg} u\,dx\) | \(\ln|\sin u|+C\) | \(\sin u\neq 0\) |
| \(\int \dfrac{u'}{u^2+a^2}\,dx\) | \(\dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{u}{a}+C\) | \(a\neq 0\) |
| \(\int \dfrac{u'}{u^2-a^2}\,dx\) | \(\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{u-a}{u+a}\right|+C\) | \(a\gt 0,\ |u|\neq a\) |
| \(\int \dfrac{u'}{\sqrt{a^2-u^2}}\,dx\) | \(\arcsin\dfrac{u}{a}+C\) | \(a\gt 0,\ |u|\lt a\) |
| \(\int \dfrac{u'}{\sqrt{u^2+a^2}}\,dx\) | \(\ln\left(u+\sqrt{u^2+a^2}\right)+C\) | \(a\neq 0\) |
| \(\int \dfrac{u'}{\sqrt{u^2-a^2}}\,dx\) | \(\ln\left|u+\sqrt{u^2-a^2}\right|+C\) | \(a\gt 0,\ |u|\gt a\) |
Ajustarea constantelor (trucul cu \(\tfrac12\))
Adesea derivata interiorului apare „aproape”, adică doar până la un factor constant. Atunci înmulțești și împarți cu acea constantă:
\[\int x\,e^{x^2}\,dx=\frac12\int 2x\,e^{x^2}\,dx=\frac12\,e^{x^2}+C,\qquad \int\frac{x}{x^2+1}\,dx=\frac12\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\frac12\ln\left(x^2+1\right)+C.\]
Atenție: poți scoate în fața integralei numai constante. Nu este corect să „împarți la \(2x\)” sau la orice altă expresie care conține \(x\).
Substituția liniară: \(f(ax+b)\)
Cel mai frecvent caz este \(u(x)=ax+b\), cu \(a\neq 0\). Deoarece \(u'(x)=a\), obținem
\[\int f(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}\,F(ax+b)+C.\]
Exemple rapide: \(\int\cos(3x+1)\,dx=\tfrac13\sin(3x+1)+C\); \(\int e^{2x-5}\,dx=\tfrac12 e^{2x-5}+C\); \(\int(2x+1)^5\,dx=\dfrac{(2x+1)^6}{12}+C\); \(\int\dfrac{dx}{4x+3}=\tfrac14\ln|4x+3|+C\).
A doua metodă de schimbare de variabilă (\(x=\varphi(t)\))
Uneori este mai comod să exprimi chiar pe \(x\) printr-o nouă variabilă: \(x=\varphi(t)\), cu \(\varphi\) bijectivă, derivabilă, cu derivata continuă și nenulă. Atunci \(dx=\varphi'(t)\,dt\) și
\[\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt\,\Big|_{t=\varphi^{-1}(x)}.\]
La nivel de Bacalaureat apare mai ales la radicali. De exemplu, pentru \(\int\dfrac{dx}{1+\sqrt{x}}\), \(x\gt 0\), notăm \(\sqrt{x}=t\), adică \(x=t^2\), \(dx=2t\,dt\):
\[\int\frac{2t}{1+t}\,dt=\int\left(2-\frac{2}{1+t}\right)dt=2t-2\ln(1+t)+C=2\sqrt{x}-2\ln\left(1+\sqrt{x}\right)+C.\]
Alte substituții clasice: \(x=\sin t\) pentru \(\sqrt{1-x^2}\) (de exemplu \(\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\tfrac{\pi}{4}\), aria unui sfert de disc unitate) și \(t=\operatorname{tg}\tfrac{x}{2}\) pentru unele fracții trigonometrice.
Schimbarea de variabilă la integrala definită
Pentru integralele definite formula devine
\[\int_a^b f(u(x))\,u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,dt.\]
Când treci la variabila \(t\), schimbi și limitele de integrare: noile limite sunt \(u(a)\) și \(u(b)\). Avantajul: nu mai este nevoie să revii la \(x\). Exemplu: în \(\int_0^1 2x\left(x^2+1\right)^3dx\) notăm \(t=x^2+1\), \(dt=2x\,dx\); pentru \(x=0\), \(t=1\), iar pentru \(x=1\), \(t=2\):
\[\int_0^1 2x\left(x^2+1\right)^3dx=\int_1^2 t^3\,dt=\frac{t^4}{4}\Big|_1^2=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}.\]
Varianta echivalentă: calculezi întâi primitiva în \(x\), \(F(x)=\tfrac14\left(x^2+1\right)^4\), și aplici Leibniz–Newton cu limitele inițiale: \(F(1)-F(0)=\tfrac{16}{4}-\tfrac14=\tfrac{15}{4}\). Important este să nu amesteci cele două variante (limite noi cu funcția în \(x\) sau invers).
Poți verifica rezultatele cu calculatorul de integrale, iar noțiunea de primitivă este recapitulată pe pagina Primitiva unei funcții. Când integrandul este un produs de funcții care nu are forma „funcție compusă × derivata interioară” (de exemplu \(x e^x\) sau \(x\ln x\)), folosește integrarea prin părți.
Greșeli frecvente
- Limitele neschimbate la integrala definită: după ce treci la \(t\), limitele trebuie să fie \(u(a)\) și \(u(b)\), nu \(a\) și \(b\).
- Uitarea lui \(dx\to u'\,dx\): \(\int e^{x^2}dx\neq\dfrac{e^{x^2}}{2x}+C\). Nu poți „compensa” o derivată care lipsește împărțind la o expresie în \(x\).
- Lipsa modulului la \(\int\frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); modulul poate fi omis doar dacă \(u\gt 0\) (de exemplu \(x^2+1\), \(e^x+1\)).
- Rezultat lăsat în \(t\) la integrala nedefinită: răspunsul final se scrie în variabila \(x\), cu \(+C\).
- Semnul la sinus: \(\int u'\sin u\,dx=-\cos u+C\), nu \(+\cos u\).
Întrebări frecvente
Când folosesc schimbarea de variabilă și când integrarea prin părți? Schimbarea de variabilă se folosește când integrandul conține o funcție compusă înmulțită cu derivata funcției din interior (de exemplu \(2x\cos(x^2)\)). Integrarea prin părți se folosește pentru produse de funcții de tipuri diferite, fără această structură, ca \(x e^x\), \(x\sin x\) sau \(\ln x\).
Trebuie să schimb limitele de integrare la substituție? Da, dacă rămâi în variabila nouă \(t\): limitele devin \(u(a)\) și \(u(b)\). Dacă revii la \(x\) înainte de a aplica formula Leibniz–Newton, folosești limitele inițiale. Ambele metode dau același rezultat.
Ce înseamnă scrierea \(dt=u'(x)\,dx\)? Este o notație prescurtată pentru regula de derivare a funcției compuse: dacă \(t=u(x)\), atunci produsul \(u'(x)\,dx\) din integrală se înlocuiește cu \(dt\). De exemplu, pentru \(t=\sin x\) avem \(dt=\cos x\,dx\).
Pot scoate în fața integralei un factor care conține x? Nu. În fața integralei pot ieși doar constante, de aceea ajustarea se face numai cu factori numerici (ca \(\tfrac12\) sau \(\tfrac13\)). Dacă lipsește un factor în \(x\), substituția aleasă nu este potrivită.
Exersează: fișă de lucru printabilă — schimbarea de variabilă, clasa a 12-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.