Tabel integrale nedefinite — toate formulele (PDF)

Q: Care este integrala lui 1/x?

∈t(1)/(x) dx=|x|+C, pe orice interval care nu conține 0. Modulul este obligatoriu pe (-∞,0); pe (0,∞) rezultatul este x+C.

Q: Care este formula pentru ∫xⁿ dx?

∈t x^n dx=x^n+1n+1+C pentru orice n≠ -1: crești exponentul cu 1 și împarți la noul exponent. Formula merge și pentru exponenți negativi sau fracționari, de exemplu ∈t√(x) dx=(2)/(3)x^3/2+C.

Q: Ce este constanta C din integrala nedefinită?

Este o constantă reală arbitrară. Derivata unei constante este 0, deci dacă F este primitivă, atunci și F+C este primitivă pentru orice C. Integrala nedefinită desemnează întreaga familie de primitive, de aceea scriem întotdeauna +C.

Formule

O primitivă a funcției $f$ este o funcție $F$ derivabilă cu $F^{'} (x) = f (x)$ ; mulțimea tuturor primitivelor, $F (x) + C$ , se numește integrala nedefinită $\int f (x) d x$ . Tabelul de mai jos conține toate formulele de integrare pe care le folosești la liceu și la Bacalaureat (M1 și M2), atât pentru funcțiile elementare, cât și pentru funcțiile compuse.

Descarcă tabelul de integrale în PDF (printabil, A4)

Tabel integrale nedefinite printabil: 17 formule de integrare pentru funcții elementare și varianta lor pentru funcții compuse u(x), cu condiții, plus integrarea prin părți și formula Leibniz–Newton — Tabelul integralelor nedefinite (funcții elementare și compuse) pe o pagină A4. Gratuit, fără înregistrare.

Tabel integrale nedefinite — funcții elementare

Nr	Funcția	Primitiva	Condiții
1	$1$	$x + C$	$x \in R$
2	$x^{n}$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	$n \in R, n \neq - 1$ ; pentru $n$ neîntreg, $x > 0$
3	$\frac{1}{x}$	$\ln \| x \| + C$	$x \neq 0$
4	$a^{x}$	$\frac{a^{x}}{\ln a} + C$	$a > 0, a \neq 1$
5	$e^{x}$	$e^{x} + C$	$x \in R$
6	$\sin x$	$- \cos x + C$	$x \in R$
7	$\cos x$	$\sin x + C$	$x \in R$
8	$\frac{1}{\cos^{2} x}$	$tg x + C$	$\cos x \neq 0$
9	$\frac{1}{\sin^{2} x}$	$- ctg x + C$	$\sin x \neq 0$
10	$tg x$	$- \ln \| \cos x \| + C$	$\cos x \neq 0$
11	$ctg x$	$\ln \| \sin x \| + C$	$\sin x \neq 0$
12	$\frac{1}{x^{2} + a^{2}}$	$\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$	$a \neq 0$
13	$\frac{1}{x^{2} - a^{2}}$	$\frac{1}{2 a} \ln \| \frac{x - a}{x + a} \| + C$	$a \neq 0, x \neq \pm a$
14	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$	$\ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C$	$a \neq 0$
15	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$	$\ln \| x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} \| + C$	$\| x \| > a > 0$
16	$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$	$\arcsin \frac{x}{a} + C$	$\| x \| < a, a > 0$
17	$\sqrt{a^{2} - x^{2}}$	$\frac{x}{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C$	$\| x \| \leq a, a > 0$
18	$sh x$	$ch x + C$	$x \in R$
19	$ch x$	$sh x + C$	$x \in R$

Formulele 1–16 sunt cele din programa de Bacalaureat; 17–19 apar la M1 și la olimpiade. Toate se verifică imediat prin derivare: derivezi coloana a treia și trebuie să obții coloana a doua (vezi tabelul de derivate). De exemplu, ${(\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a})}^{'} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{x^{2} + a^{2}}$ , ceea ce confirmă linia 12.

Câteva observații utile la învățat: formulele 1–5 (puteri, logaritm, exponențiale) se rețin cel mai ușor și acoperă majoritatea exercițiilor cu polinoame; formulele 6–11 sunt perechile trigonometrice, unde singura dificultate este semnul; formulele 12–16 sunt cele „cu $a$ ” și trebuie recunoscute după forma numitorului: $x^{2} + a^{2}$ dă arctg, $x^{2} - a^{2}$ dă logaritm de raport, radicalul din $x^{2} \pm a^{2}$ dă logaritm de sumă, iar radicalul din $a^{2} - x^{2}$ dă arcsin.

Tabel integrale — funcții compuse (u = u(x))

Dacă $u$ este o funcție derivabilă, fiecare formulă de mai sus are o variantă „compusă”: în locul lui $x$ apare $u (x)$ , iar sub integrală se înmulțește cu $u^{'} (x)$ . Acesta este tabelul pe care îl folosești cel mai des la exerciții.

Nr	Integrala	Rezultat	Condiții
1	$\int u^{n} u^{'} d x$	$\frac{u^{n + 1}}{n + 1} + C$	$n \neq - 1$
2	$\int \frac{u^{'}}{u} d x$	$\ln \| u \| + C$	$u \neq 0$
3	$\int a^{u} u^{'} d x$	$\frac{a^{u}}{\ln a} + C$	$a > 0, a \neq 1$
4	$\int e^{u} u^{'} d x$	$e^{u} + C$	—
5	$\int \sin u \cdot u^{'} d x$	$- \cos u + C$	—
6	$\int \cos u \cdot u^{'} d x$	$\sin u + C$	—
7	$\int \frac{u^{'}}{\cos^{2} u} d x$	$tg u + C$	$\cos u \neq 0$
8	$\int \frac{u^{'}}{\sin^{2} u} d x$	$- ctg u + C$	$\sin u \neq 0$
9	$\int tg u \cdot u^{'} d x$	$- \ln \| \cos u \| + C$	$\cos u \neq 0$
10	$\int ctg u \cdot u^{'} d x$	$\ln \| \sin u \| + C$	$\sin u \neq 0$
11	$\int \frac{u^{'}}{u^{2} + a^{2}} d x$	$\frac{1}{a} arctg \frac{u}{a} + C$	$a \neq 0$
12	$\int \frac{u^{'}}{u^{2} - a^{2}} d x$	$\frac{1}{2 a} \ln \| \frac{u - a}{u + a} \| + C$	$a \neq 0, u \neq \pm a$
13	$\int \frac{u^{'}}{\sqrt{u^{2} + a^{2}}} d x$	$\ln (u + \sqrt{u^{2} + a^{2}}) + C$	$a \neq 0$
14	$\int \frac{u^{'}}{\sqrt{u^{2} - a^{2}}} d x$	$\ln \| u + \sqrt{u^{2} - a^{2}} \| + C$	$\| u \| > a > 0$
15	$\int \frac{u^{'}}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} d x$	$\arcsin \frac{u}{a} + C$	$\| u \| < a, a > 0$

Cazul cel mai frecvent este $u (x) = a x + b$ , cu $u^{'} = a$ constant. De exemplu $\int \sin (3 x) d x = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ și $\int e^{2 x + 1} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$ : împarți la coeficientul lui $x$ . Când $u^{'}$ lipsește doar printr-o constantă, o adaugi sub integrală și compensezi în față (vezi exemplele 3 și 5 de mai jos). Dacă însă lipsește un factor care conține $x$ , formula compusă nu se aplică direct și trebuie să folosești altă metodă.

Integrale nedefinite care apar cel mai des la Bacalaureat

Din tot tabelul, la subiectul III se regăsesc aproape mereu aceleași tipuri: integrale de polinoame (liniile 1–2), fracții de forma $\frac{1}{x + a}$ sau $\frac{x}{x^{2} + a}$ , care se reduc la $\ln$ prin $u^{'} / u$ , exponențiale de forma $e^{a x + b}$ și fracția $\frac{1}{x^{2} + a^{2}}$ cu arctg. La acestea se adaugă două rezultate obținute prin părți, pe care merită să le știi pe de rost:

\int \ln x d x = x \ln x - x + C, \int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C .

Ambele se deduc din formula integrării prin părți, prezentată mai jos, dar apar atât de des încât economisești timp dacă le recunoști direct.

Proprietăți ale integralei nedefinite

Integrala nedefinită este liniară, ceea ce îți permite să „spargi” o expresie în bucăți din tabel:

$\int (f (x) \pm g (x)) d x =$ $\int f (x) d x \pm \int g (x) d x$ — integrala sumei (diferenței) este suma (diferența) integralelor;
$\int k \cdot f (x) d x = k \int f (x) d x$ , pentru orice constantă $k \in R$ — constanta iese în fața integralei;
${(\int f (x) d x)}^{'} = f (x)$ și $\int F^{'} (x) d x = F (x) + C$ — integrarea și derivarea sunt operații inverse;
două primitive ale aceleiași funcții pe un interval diferă printr-o constantă.

Atenție: nu există formule pentru integrala produsului sau a câtului. $\int f \cdot g d x \neq \int f d x \cdot \int g d x$ . Pentru produse se folosesc metodele de mai jos.

Metode: schimbare de variabilă și integrare prin părți

Schimbarea de variabilă (substituția) este de fapt tabelul de funcții compuse citit invers: dacă notezi $t = u (x)$ , atunci $d t = u^{'} (x) d x$ și

\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int f (t) d t = F (u (x)) + C .

Integrarea prin părți se folosește pentru produse de tipul polinom · exponențială, polinom · trigonometrică sau polinom · logaritm:

\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x .

Ambele metode sunt detaliate, cu exemple, pe pagina despre primitive. Aceleași formule se aplică și la integrale definite, unde se adaugă limitele de integrare, iar rezultatele se folosesc la arii și volume.

Cum folosești tabelul

Rescrie funcția ca sumă de termeni care apar în tabel: desfaci parantezele, scrii radicalii ca puteri ( $\sqrt{x} = x^{1 / 2}$ , $\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}$ ), separi fracțiile cu același numitor.
Identifică pentru fiecare termen linia potrivită: dacă apare o funcție „în interiorul” alteia, caută în tabelul compus și verifică dacă $u^{'}$ se află (până la o constantă) sub integrală.
Aplică liniaritatea, scrie primitiva fiecărui termen, adună o singură constantă $C$ și verifică prin derivare. Dacă derivata rezultatului nu este funcția de la care ai plecat, greșeala este aproape întotdeauna un semn sau un coeficient uitat.

Dacă niciun termen nu se potrivește în tabel, nu insista pe recunoașterea „la ochi”: fie faci o substituție, fie integrezi prin părți, fie descompui fracția în fracții simple. Tabelul rezolvă ultimul pas al oricărei integrale, nu neapărat primul.

Greșeli frecvente

Uiți constanta $+ C$ . Fără ea, răspunsul este o singură primitivă, nu integrala nedefinită — la Bac se pierde punctaj.
Semnul la $\sin$ și $\cos$ . $\int \sin x d x = - \cos x + C$ (cu minus), dar $\int \cos x d x = \sin x + C$ (fără minus). Este exact invers față de derivate.
$\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ , cu modul. Logaritmul există și pentru $x < 0$ datorită modulului; dacă lucrezi pe $(0, \infty)$ , poți scrie $\ln x$ .
Aplici formula puterii pentru $n = - 1$ . $\frac{x^{0}}{0}$ nu are sens: $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ se integrează cu logaritm, nu cu formula $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ .

Întrebări frecvente

Care este integrala lui 1/x? $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ , pe orice interval care nu conține 0. Modulul este obligatoriu pe $(- \infty, 0)$ ; pe $(0, \infty)$ rezultatul este $\ln x + C$ .

Care este formula pentru ∫xⁿ dx? $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ pentru orice $n \neq - 1$ : crești exponentul cu 1 și împarți la noul exponent. Formula merge și pentru exponenți negativi sau fracționari, de exemplu $\int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x^{3 / 2} + C$ .

Ce este constanta C din integrala nedefinită? Este o constantă reală arbitrară. Derivata unei constante este 0, deci dacă $F$ este primitivă, atunci și $F + C$ este primitivă pentru orice $C$ . Integrala nedefinită desemnează întreaga familie de primitive, de aceea scriem întotdeauna $+ C$ .

Toate formulele din analiză, grupate pe capitole, le găsești în secțiunea de analiză matematică.

Calculează rapid: calculator integrale pas cu pas — primitive (tabel, substituție, prin părți, fracții simple) și integrale definite cu formula Leibniz–Newton.

Istoric: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) — a introdus simbolul ∫ (un „S” alungit, de la summa) și scrierea ∫ f(x) dx folosită în acest tabel.

Verifică-te: 3 întrebări

Cât este $\int \frac{1}{x} d x$ , pentru $x \neq 0$ ?

$- \frac{1}{x^{2}} + C$
$\ln | x | + C$
$\frac{1}{x} + C$

Calculează $\int (3 x^{2} + 2 x) d x$ .

$x^{3} + x^{2} + C$
$6 x + 2 + C$
$3 x^{3} + 2 x^{2} + C$

Cât este $\int e^{2 x} d x$ ?

$e^{2 x} + C$
$2 e^{2 x} + C$
$\frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (liniaritate + puteri). $\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$

Aplicăm liniaritatea și formula $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ pe fiecare termen:

\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} - 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} + x + C = x^{3} - x^{2} + x + C .

Exemplul 2 (tipul $u^{'} / u$ ). $\int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 3} d x$

Notăm $u = x^{2} + x + 3$ ; atunci $u^{'} = 2 x + 1$ , exact numărătorul. Din tabelul compus, linia 2:

\int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 3} d x = \ln | x^{2} + x + 3 | + C = \ln (x^{2} + x + 3) + C,

modulul dispare deoarece $x^{2} + x + 3 > 0$ pentru orice $x$ real (discriminantul este negativ).

Exemplul 3 (tipul $e^{u} u^{'}$ ). $\int x e^{x^{2}} d x$

Pentru $u = x^{2}$ avem $u^{'} = 2 x$ . Sub integrală avem doar $x$ , deci completăm cu 2 și compensăm cu $\frac{1}{2}$ :

\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int 2 x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C .

Exemplul 4 (arctg). $\int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Scriem $4 = 2^{2}$ și folosim linia 12 din tabel cu $a = 2$ :

\int \frac{1}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} arctg \frac{x}{2} + C .

Exemplul 5 (funcție compusă liniară). $\int \sin (3 x) d x$

Cu $u = 3 x$ , $u^{'} = 3$ . Înmulțim și împărțim cu 3:

\int \sin (3 x) d x = \frac{1}{3} \int \sin (3 x) \cdot 3 d x = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C .

Exemplul 6 (integrare prin părți). $\int x e^{x} d x$

Alegem $f (x) = x$ (se simplifică prin derivare) și $g^{'} (x) = e^{x}$ , deci $f^{'} (x) = 1$ , $g (x) = e^{x}$ :

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C .

Verificare: $((x - 1) e^{x})^{'} = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ . ✓

Exerciții

Exerciții propuse

Calculează integralele nedefinite (pe domeniul maxim de definiție):

$\int (4 x^{3} - 6 x + 5) d x$
$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}}) d x$ , $x > 0$
$\int \frac{3}{x} d x$ , $x > 0$
$\int (2 e^{x} - \cos x) d x$
$\int \cos (5 x) d x$
$\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$
$\int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$
$\int x \cos x d x$

Răspunsuri

$x^{4} - 3 x^{2} + 5 x + C$
$\frac{2}{3} x \sqrt{x} - \frac{1}{x} + C$
$3 \ln x + C$
$2 e^{x} - \sin x + C$
$\frac{1}{5} \sin (5 x) + C$
$\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C$ (tipul $u^{'} / u$ , cu $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ )
$\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3} + C$
$x \sin x + \cos x + C$ (prin părți, cu $f (x) = x$ , $g^{'} (x) = \cos x$ )

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Tabel integrale nedefinite — formule complete, simple și compuse (PDF)