Integrarea prin părți transformă integrala unui produs într-o integrală mai simplă: \( \int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx \). Alegi ca \( f \) funcția care se simplifică prin derivare (logaritm, arctg, polinom) și ca \( g' \) funcția pe care o integrezi ușor (exponențiala, sinus, cosinus, polinomul). Pentru integrale definite formula devine \( \int_a^b f g' = fg\big|_a^b - \int_a^b f' g \).
Formula integrării prin părți
Dacă \( f, g : I \to \mathbb{R} \) sunt derivabile, cu derivatele continue pe intervalul \( I \), atunci:
Pentru integrala definită pe \( [a, b] \subset I \):
Metoda este una dintre cele două tehnici de bază pentru calculul primitivelor, alături de schimbarea de variabilă. O folosești când funcția de integrat este un produs care nu apare direct în tabelul integralelor nedefinite.
De unde vine formula (regula produsului)
Formula se obține direct din regula de derivare a produsului:
Integrând ambii membri și ținând cont că \( \int (f g)'(x)\,dx = f(x)g(x) + \mathcal{C} \), obții formula de mai sus. Constanta \( \mathcal{C} \) se scrie o singură dată, la final. La integrala definită, aceeași egalitate se integrează pe \( [a,b] \) și se aplică formula Leibniz–Newton termenului \( (fg)' \).
Cum alegi f și g′
Regula practică: \( f \) este funcția pe care o derivezi (trebuie să devină mai simplă), iar \( g' \) este funcția pe care o integrezi (trebuie să aibă o primitivă cunoscută). Ca ordine de preferință pentru \( f \) poți folosi mnemonicul LAPTE:
- Logaritm: \( \ln x \), \( \ln(x+1) \), …
- Arc (funcții trigonometrice inverse): \( \operatorname{arctg} x \), \( \arcsin x \)
- Polinom: \( x \), \( x^2+1 \), …
- Trigonometrice: \( \sin x \), \( \cos x \)
- Exponențiale: \( e^x \), \( e^{2x} \), \( a^x \)
Funcția aflată mai sus în listă devine \( f \), cealaltă devine \( g' \). Motivul: logaritmul și arctg au derivate algebrice simple (\( \frac{1}{x} \), \( \frac{1}{1+x^2} \)), dar primitivele lor nu sunt imediate; polinomul scade în grad la fiecare derivare; exponențiala și sinusul/cosinusul se integrează la fel de ușor cum se derivează.
Tipurile de la Bacalaureat — tabel de metodă
| Integrala | \( f \) | \( g' \) | Observație |
|---|---|---|---|
| \( \int P(x)\,e^x\,dx \) | \( P(x) \) | \( e^x \) | aplici de atâtea ori cât este gradul lui \( P \) |
| \( \int P(x)\sin x\,dx \), \( \int P(x)\cos x\,dx \) | \( P(x) \) | \( \sin x \) / \( \cos x \) | atenție la semne: \( \int \sin x\,dx = -\cos x + \mathcal{C} \) |
| \( \int P(x)\ln x\,dx \) | \( \ln x \) | \( P(x) \) | după o aplicare rămâne o integrală de polinom |
| \( \int \ln x\,dx \) | \( \ln x \) | \( 1 \) (deci \( g = x \)) | \( = x\ln x - x + \mathcal{C} \) |
| \( \int \operatorname{arctg} x\,dx \) | \( \operatorname{arctg} x \) | \( 1 \) (deci \( g = x \)) | \( = x\operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + \mathcal{C} \) |
| \( \int e^x\sin x\,dx \), \( \int e^x\cos x\,dx \) | \( \sin x \) sau \( \cos x \) | \( e^x \) | integrala „revine”: aplici de două ori și rezolvi o ecuație |
Truc pentru \( \ln x \) și \( \operatorname{arctg} x \) singure: scrii funcția ca produs cu 1, adică \( \ln x = \ln x \cdot (x)' \). La \( \operatorname{arctg} x \), integrala rămasă \( \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + \mathcal{C} \) se rezolvă prin schimbare de variabilă (numărătorul este, pe jumătate, derivata numitorului).
Integrala care revine (ex sin x)
Pentru \( I = \int e^x\sin x\,dx \), după prima aplicare apare \( \int e^x\cos x\,dx \), iar după a doua apare din nou \( I \), cu semn minus:
Regula de aur: la a doua aplicare păstrezi același tip de alegere (dacă prima dată \( g' = e^x \), și a doua oară \( g' = e^x \)). Altfel te întorci exact de unde ai plecat și obții identitatea \( I = I \). Rezolvarea completă este în Exemplul 4.
Aplicarea repetată
Pentru \( \int x^2 e^x\,dx \) aplici formula de două ori: prima dată gradul scade de la 2 la 1, a doua oară de la 1 la 0. În general, pentru \( \int P(x)\,e^x\,dx \) rezultatul are forma \( Q(x)\,e^x + \mathcal{C} \), unde \( Q \) are același grad ca \( P \) și \( Q + Q' = P \). Asta îți dă și o verificare rapidă: de exemplu, \( \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + \mathcal{C} \), iar \( (x^2-2x+2) + (2x-2) = x^2 \).
Relații de recurență (subiectul III)
La Bac apar des șiruri de integrale de tipul \( I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx \) sau \( I_n = \int_1^e \ln^n x\,dx \). Cerința „arătați că \( I_n = e - nI_{n-1} \)” se rezolvă prin părți, alegând \( f = x^n \) (respectiv \( f = \ln^n x \)) și \( g' = e^x \) (respectiv \( g' = 1 \)):
Cu \( I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \) obții pe rând \( I_1 = 1 \), \( I_2 = e - 2 \), \( I_3 = 6 - 2e \). Calculul integralelor definite este detaliat pe pagina integrale definite.
Greșeli frecvente
- Alegerea inversă: la \( \int x\ln x\,dx \) cu \( f = x \), \( g' = \ln x \) ajungi la o integrală mai grea decât cea inițială. Logaritmul este întotdeauna \( f \).
- Semnul minus: se uită minusul din fața integralei rămase sau semnul din \( \int \sin x\,dx = -\cos x + \mathcal{C} \); în aplicarea repetată minusurile se înmulțesc, deci folosește paranteze.
- Termenul \( fg\big|_a^b \) uitat la integrala definită: limitele se pun și pe \( fg \), nu doar pe integrala rămasă.
- Prin părți acolo unde trebuie substituție: \( \int x e^{x^2}\,dx \) sau \( \int \frac{\ln x}{x}\,dx \) se rezolvă prin schimbare de variabilă, nu prin părți.
- Constanta \( \mathcal{C} \) lipsă la integrala nedefinită sau la integrala care revine (\( 2I = \dots \) implică \( I = \frac{\dots}{2} + \mathcal{C} \)).
Poți verifica orice rezultat derivându-l (trebuie să obții funcția de sub integrală) sau cu calculatorul de integrale.
Întrebări frecvente
Când folosesc integrarea prin părți? Când funcția de integrat este un produs de funcții de tipuri diferite (polinom cu exponențială, polinom cu sinus sau cosinus, polinom cu logaritm, exponențială cu sinus) sau când apare singur \( \ln x \) ori \( \operatorname{arctg} x \), care nu au primitive în tabel.
Cum aleg f și g′ la integrarea prin părți? Ca \( f \) alegi funcția aflată mai sus în ordinea LAPTE (logaritm, arc, polinom, trigonometrică, exponențială), iar restul devine \( g' \). Dacă integrala rămasă este mai grea decât cea inițială, schimbă alegerea.
Ce fac dacă integrala inițială reapare? O notezi cu \( I \), obții o egalitate de forma \( I = A - I \) și rezolvi ecuația: \( I = \frac{A}{2} + \mathcal{C} \). Este cazul integralelor \( \int e^x\sin x\,dx \) și \( \int e^x\cos x\,dx \).
Care este diferența față de schimbarea de variabilă? Schimbarea de variabilă se folosește când sub integrală apare o funcție compusă înmulțită cu derivata funcției interioare (de exemplu \( 2x\,e^{x^2} \)); integrarea prin părți se folosește pentru produse în care un factor se simplifică prin derivare, iar celălalt se integrează ușor.
Exersează: fișă de lucru printabilă — integrarea prin părți, clasa a 12-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.