Calculator integrale pas cu pas — nedefinite și definite (Leibniz–Newton)

Calculatorul de integrale de mai sus găsește primitiva unei funcții și calculează integrala definită, cu toți pașii explicați ca la tablă: ce formulă din tabel se aplică, ce substituție se face, cum se alege \(f\) și \(g'\) la integrarea prin părți sau cum se descompune o fracție în fracții simple. Pentru integrala definită aplică formula Leibniz–Newton și îți dă valoarea exactă (cu fracții, \(\ln\) și \(\pi\)), plus valoarea zecimală. Fiecare rezultat este verificat intern prin derivare: \(F'(x)\) trebuie să fie egal cu \(f(x)\). Folosește-l ca să-ți verifici tema sau subiectul III de la bacalaureat, după ce ai lucrat singur pe hârtie.

Metode de integrare explicate pas cu pas

Integrala nedefinită \(\int f(x)\,dx\) înseamnă mulțimea tuturor primitivelor lui \(f\), adică funcțiile \(F\) cu \(F'(x) = f(x)\). De aceea rezultatul se scrie mereu cu o constantă: \(\int f(x)\,dx = F(x) + C\). Definiția și proprietățile primitivelor sunt pe pagina primitiva unei funcții. Calculatorul încearcă metodele în ordinea în care le-ai încerca și tu:

1. Integrale din tabel și liniaritatea

Integrala unei sume este suma integralelor, iar constantele ies în fața integralei: \(\int (2x^3 - 5\cos x)\,dx = 2\int x^3\,dx - 5\int \cos x\,dx = \frac{x^4}{2} - 5\sin x + C\). Apoi se aplică formulele de bază: \(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) pentru \(n \neq -1\), \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|\), \(\int e^x\,dx = e^x\), \(\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}\) și celelalte din tabelul integralelor nedefinite. Radicalii se scriu ca puteri: \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}\).

2. Substituția (schimbarea de variabilă)

Dacă argumentul este liniar, \(u = ax + b\), formula din tabel rămâne aceeași, dar rezultatul se împarte la \(a\): \(\int \sin(3x+1)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x+1) + C\). Când sub integrală apare o funcție compusă \(g(u(x))\) înmulțită cu derivata \(u'(x)\) (eventual până la o constantă), notăm \(t = u(x)\), \(dt = u'(x)\,dx\). Așa se obțin formele \(\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u|\), \(\int u' u^n\,dx = \frac{u^{n+1}}{n+1}\), \(\int u' e^u\,dx = e^u\) sau \(\int u'\cos u\,dx = \sin u\). Exemplu: în \(\int x e^{x^2}\,dx\) avem \((x^2)' = 2x\), deci cu \(t = x^2\) integrala devine \(\frac{1}{2}\int e^t\,dt = \frac{1}{2}e^{x^2} + C\).

3. Integrarea prin părți

Formula este \(\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx\). Se folosește pentru produse de tipul polinom · \(e^x\), polinom · \(\sin x\) sau \(\cos x\) (alegem \(f\) = polinomul, care scade în grad prin derivare) și pentru polinom · \(\ln x\) sau \(\operatorname{arctg} x\) (alegem \(f = \ln x\), care devine \(\frac{1}{x}\) prin derivare). Exemplu: \(\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C\), iar \(\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C\) (cu \(g' = 1\)). La \(x^2 e^x\) formula se aplică de două ori.

4. Integrarea funcțiilor raționale

Pentru \(\frac{P(x)}{Q(x)}\): dacă gradul lui \(P\) este cel puțin gradul lui \(Q\), împarți întâi polinoamele. Apoi verifici dacă numărătorul este (multiplu al) derivatei numitorului — caz în care rezultatul este un logaritm. Altfel descompui în fracții simple după rădăcinile numitorului: rădăcini reale distincte dau termeni \(\frac{A}{x - x_1}\) (integrați cu \(\ln\)), o rădăcină dublă dă și un termen \(\frac{B}{(x - x_0)^2}\), iar un numitor de gradul 2 cu \(\Delta \lt 0\) se tratează prin restrângerea pătratului și duce la \(\ln\) plus \(\operatorname{arctg}\). Exemplu: \(\frac{x+5}{x^2+x-2} = \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2}\), deci integrala este \(2\ln|x-1| - \ln|x+2| + C\).

Integrala definită și formula Leibniz–Newton

Dacă \(f\) este continuă pe \([a, b]\) și \(F\) este o primitivă a ei, atunci

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a). \]

Constanta \(C\) se reduce, deci se poate folosi orice primitivă. Exemplu: \(\int_0^1 x e^x\,dx = (x e^x - e^x)\Big|_0^1 = 0 - (-1) = 1\), iar \(\int_0^2 \frac{1}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\Big|_0^2 = \frac{\pi}{8}\). Proprietățile integralei definite sunt pe pagina integrale definite, iar folosirea ei pentru arii și volume pe pagina aplicații ale integralei definite. Condiția de continuitate este esențială: pentru \(\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx\) funcția nu este definită în 0, așa că formula nu se aplică — calculatorul te avertizează în astfel de cazuri. Dacă nu există o primitivă exprimabilă prin funcții elementare (de exemplu pentru \(e^{x^2}\)), calculatorul îți spune sincer acest lucru și afișează doar o valoare aproximativă, obținută numeric.

Greșeli frecvente

• Uitarea constantei \(C\) la integrala nedefinită. Rezultatul nu este o singură funcție, ci o familie de primitive.
• \(\ln x\) în loc de \(\ln|x|\): \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\), pentru că \(\frac{1}{x}\) este definită și pentru \(x \lt 0\). Modulul poate lipsi doar când argumentul este sigur pozitiv, ca la \(\ln(x^2+1)\).
• Formula puterii aplicată pentru \(n = -1\): \(\int x^{-1}\,dx\) nu este \(\frac{x^0}{0}\), ci \(\ln|x|\).
• Uitarea împărțirii la \(a\) la argument liniar: \(\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C\), nu \(e^{2x} + C\).
• Semnul la \(\sin\): \(\int \sin x\,dx = -\cos x + C\). Verifică mereu prin derivare.
• Integrala produsului nu este produsul integralelor: \(\int x e^x\,dx \neq \frac{x^2}{2}e^x\); pentru produse se folosește integrarea prin părți sau substituția.

Pentru derivatele de care ai nevoie la substituție și la integrarea prin părți, vezi tabelul derivatelor.

Întrebări frecvente

Cum se calculează o integrală nedefinită? Cauți o funcție \(F\) a cărei derivată este funcția de sub integrală. Mai întâi aplici liniaritatea și formulele din tabel; dacă nu se potrivesc direct, încerci o substituție (când apare derivata unei funcții interioare), integrarea prin părți (la produse polinom · exponențială, trigonometrică sau logaritm) sau descompunerea în fracții simple (la funcții raționale). La final adaugi constanta \(C\).

Ce este formula Leibniz–Newton? Este formula care leagă integrala definită de primitive: dacă \(f\) este continuă pe \([a, b]\) și \(F' = f\), atunci \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\). Calculezi întâi o primitivă, apoi o evaluezi în capete și scazi.

Când folosesc integrarea prin părți? Când sub integrală ai un produs în care un factor se simplifică prin derivare (un polinom, \(\ln x\), \(\operatorname{arctg} x\)), iar celălalt se integrează ușor (\(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\), o putere a lui \(x\)). Formula este \(\int f g'\,dx = f g - \int f' g\,dx\).

De ce calculatorul spune că nu poate calcula unele integrale? Unele funcții, ca \(e^{x^2}\), \(\frac{\sin x}{x}\) sau \(\sqrt{1 + x^3}\), nu au primitive exprimabile prin funcții elementare, iar altele cer metode din afara programei de liceu. În aceste cazuri calculatorul nu inventează un rezultat; dacă introduci limitele \(a\) și \(b\), îți dă valoarea aproximativă a integralei definite, calculată numeric cu metoda lui Simpson.