Calculator limite de funcții raționale — pas cu pas (0/0, ∞/∞)

Calculatorul de limite de mai sus rezolvă pas cu pas limita unei funcții raționale — un polinom împărțit la alt polinom — într-un punct \(a\) sau la \(\pm\infty\). Scrii numărătorul și numitorul, alegi punctul și primești toți pașii: înlocuirea lui \(x\), recunoașterea nedeterminării \(\frac{0}{0}\) sau \(\frac{\infty}{\infty}\), descompunerea cu schema lui Horner, simplificarea, regula gradelor și, în cazul \(\frac{k}{0}\), limitele laterale. Calculele se fac exact, cu fracții, nu cu zecimale rotunjite. Folosește-l ca să-ți verifici tema sau un subiect de bacalaureat: lucrează întâi pe hârtie, apoi compară fiecare pas cu cel afișat.

Cum calculezi limita unei funcții raționale

Pentru \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), cu \(P\) și \(Q\) polinoame, algoritmul este mereu același:

1. Înlocuiești \(x\) cu valoarea spre care tinde. Dacă \(Q(a) \neq 0\), funcția este continuă în \(a\) și limita este pur și simplu \(\dfrac{P(a)}{Q(a)}\).
2. Dacă obții \(\frac{0}{0}\), ai o nedeterminare: \(a\) este rădăcină comună a celor două polinoame, deci simplifici cu \((x - a)\) și înlocuiești din nou.
3. Dacă obții \(\frac{k}{0}\) cu \(k \neq 0\), limita este infinită, iar semnul îl stabilești cu limitele laterale.
4. La \(\pm\infty\) dai factor comun puterea cea mai mare a lui \(x\) și compari gradele lui \(P\) și \(Q\).

Teoria completă — operații cu limite, cazurile exceptate și limitele remarcabile — este pe pagina limite de funcții.

Nedeterminarea 0/0 — descompunere și simplificare

Dacă \(P(a) = 0\) și \(Q(a) = 0\), după teorema lui Bézout ambele polinoame se divid cu \(x - a\). Împărțirea se face rapid cu schema lui Horner sau cu formulele de calcul prescurtat (\(a^2 - b^2\), \(a^3 - b^3\), pătratul binomului). De exemplu:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{3}{2}. \]

Simplificarea este permisă pentru că, la limită, \(x\) se apropie de 1 fără să fie egal cu 1, deci \(x - 1 \neq 0\). Dacă după simplificare obții din nou \(\frac{0}{0}\) (rădăcina este dublă sau triplă), repeți pasul. Calculatorul face exact asta și îți arată schema lui Horner pentru fiecare împărțire, împreună cu descompunerea rezultată.

Limite la ±∞ — regula gradelor

Când \(x \to \pm\infty\), dai factor comun forțat puterea cea mai mare a lui \(x\) la numărător și la numitor; toți termenii de forma \(\frac{c}{x^k}\) tind la 0 și rămâne raportul termenilor dominanți. Dacă \(P(x) = a_p x^p + \dots\) și \(Q(x) = b_q x^q + \dots\), atunci:

Atenție la \(-\infty\): \(x^{p-q}\) tinde la \(+\infty\) dacă \(p - q\) este par și la \(-\infty\) dacă \(p - q\) este impar. Aceeași regulă stabilește asimptotele orizontale și oblice — vezi pagina asimptote și calculatorul de asimptote, care le găsește automat.

Cazul k/0 și limitele laterale

Dacă numărătorul tinde la un număr \(k \neq 0\), iar numitorul la 0, limita este \(+\infty\) sau \(-\infty\), în funcție de semnul numitorului lângă \(a\). De aceea calculezi separat limita la stânga (\(x \lt a\)) și la dreapta (\(x \gt a\)). Scrii \(Q(x) = (x - a)^m R(x)\) cu \(R(a) \neq 0\): dacă \(m\) este par, \((x - a)^m\) este pozitiv de ambele părți și limitele laterale coincid; dacă \(m\) este impar, semnul se schimbă când treci prin \(a\), limitele laterale sunt diferite și limita nu există. De exemplu \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty\), dar pentru \(\frac{1}{x-1}\) obții \(-\infty\) la stânga și \(+\infty\) la dreapta. În ambele cazuri dreapta \(x = 1\) este asimptotă verticală.

Limite remarcabile

Calculatorul lucrează doar cu funcții raționale, deci nu acoperă limitele remarcabile precum \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), \(\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\), \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\) sau \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\). Lista completă, cu formele generalizate în care \(x\) este înlocuit de o funcție \(u(x) \to 0\), este pe pagina limite remarcabile. Ideea rămâne aceeași: recunoști tipul nedeterminării, apoi aplici transformarea potrivită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (0/0). \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\). Înlocuind, obținem \(\frac{0}{0}\). Descompunem \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\), simplificăm cu \(x - 2\) și rămâne \(\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4\).

Exemplul 2 (∞/∞). \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 3x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2\left(2 + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \frac{3}{x}\right)} = \frac{2}{1} = 2\). Gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți.

Exemplul 3 (0/0 cu rădăcină dublă la numărător). \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{0}{1} = 0\). După simplificare numărătorul încă se anulează, dar numitorul nu, deci limita este 0.

Întrebări frecvente

Cum calculez o limită 0/0? Dacă la înlocuire numărătorul și numitorul se anulează amândouă, \(a\) este rădăcină comună. Descompui ambele polinoame (schema lui Horner sau formule de calcul prescurtat), simplifici factorul \(x - a\) și înlocuiești din nou. Repeți până când numitorul nu se mai anulează sau ajungi la cazul \(\frac{k}{0}\).

Cum calculez limita la infinit a unei funcții raționale? Dai factor comun puterea cea mai mare a lui \(x\) sus și jos și compari gradele: dacă gradul numărătorului este mai mic, limita este 0; dacă gradele sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți; dacă gradul numărătorului este mai mare, limita este \(\pm\infty\), cu semnul dat de coeficienții dominanți și, la \(-\infty\), de paritatea diferenței gradelor.

Când nu există limita unei funcții într-un punct? Limita într-un punct există doar dacă limitele laterale există și sunt egale. Pentru funcțiile raționale situația tipică este cazul \(\frac{k}{0}\) cu factorul \(x - a\) la o putere impară în numitor: la stânga limita este \(-\infty\), la dreapta \(+\infty\) (sau invers), ca la \(\frac{1}{x-1}\) în \(x = 1\).