Ecuația tangentei la graficul funcției — formulă, pași, exemple rezolvate

Ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0$ este y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀), unde $f(x_0)$ este valoarea funcției în $x_0$ (ordonata punctului de tangență), iar $f^{\prime }(x_0)$ este derivata funcției calculată în $x_0$, adică panta tangentei. Practic, pentru a scrie ecuația tangentei ai nevoie de două numere, $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$; restul este înlocuire în formulă și aducere la forma $y=mx+n$.

Exemplu rapid, în punctul de abscisă $x_0=1$: pentru $f(x)=x^3$ avem $f(1)=1$ și $f^{\prime }(x)=3x^2$, deci $f^{\prime }(1)=3$. Ecuația tangentei este $y-1=3(x-1)$, adică $y=3x-2$.

Formula ecuației tangentei

Dacă funcția $f$ este derivabilă în punctul $x_0$, tangenta la graficul lui $f$ în punctul $M(x_0,f(x_0))$ are ecuația:

Semnificația fiecărui termen:

• $x_0$ — abscisa punctului de tangență (este dată în enunț: „în punctul de abscisă $x_0=1$”);
• $f(x_0)$ — ordonata punctului de tangență; se obține înlocuind $x_0$ în expresia lui $f$;
• $f^{\prime }(x_0)$ — panta tangentei; se obține calculând derivata $f^{\prime }(x)$, apoi înlocuind $x_0$;
• $x$ și $y$ — rămân litere: sunt coordonatele unui punct oarecare de pe tangentă.

Desfăcând paranteza, ecuația tangentei se scrie și în forma explicită:

adică o dreaptă $y=mx+n$ cu panta $m=f^{\prime }(x_0)$ și ordonata la origine $n=f(x_0)-x_0{f}^{\prime }(x_0)$. Formula are sens doar dacă $f^{\prime }(x_0)$ există și este finită; dacă $f^{\prime }(x_0)=\pm \mathrm{\infty }$, tangenta este verticală și are ecuația $x=x_0$. Pentru regulile de calcul al derivatelor vezi tabelul de derivate.

Semnificația geometrică: f′(x₀) este panta tangentei

Tangenta în $M$ este poziția-limită a secantelor $MN$ când punctul $N$ de pe grafic se apropie de $M$. Panta secantei este raportul ${\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$, iar limita acestui raport când $x\to x_0$ este exact derivata:

unde $\alpha$ este unghiul format de tangentă cu sensul pozitiv al axei $Ox$. De aici rezultă interpretarea geometrică a derivatei: derivata într-un punct este panta tangentei la grafic în acel punct. Dacă $f^{\prime }(x_0)>0$ tangenta „urcă”, dacă $f^{\prime }(x_0)<0$ tangenta „coboară”, iar dacă $f^{\prime }(x_0)=0$ tangenta este orizontală. Legătura pantă–unghi este aceeași ca la orice dreaptă, vezi panta dreptei și unghiul cu axa Ox; definiția derivatei ca limită este detaliată la limite de funcții.

Algoritm în 4 pași

1. Calculezi $f(x_0)$ — înlocuiești $x_0$ în $f(x)$. Obții ordonata punctului de tangență $M(x_0,f(x_0))$.
2. Calculezi derivata $f^{\prime }(x)$ — folosind tabelul de derivate și regulile de derivare (produs, cât, funcție compusă).
3. Calculezi $f^{\prime }(x_0)$ — înlocuiești $x_0$ în $f^{\prime }(x)$. Acesta este numărul $m$, panta tangentei.
4. Scrii ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, înlocuiești cele două numere și aduci la forma $y=mx+n$.

Verificare rapidă: punctul $M(x_0,f(x_0))$ trebuie să verifice ecuația obținută. Dacă nu o verifică, ai greșit la calcul.

Cazuri particulare

Tangenta în punctul de abscisă $x_0=0$. Formula devine $y-f(0)=f^{\prime }(0)x$, adică $y=f^{\prime }(0)x+f(0)$. Este cel mai frecvent caz la Bac: ai nevoie doar de $f(0)$ și $f^{\prime }(0)$.

Tangenta în punctul de abscisă $x_0=1$. Formula devine $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y=f^{\prime }(1)x+f(1)-f^{\prime }(1)$.

Tangenta orizontală (paralelă cu $Ox$). Condiția este $f^{\prime }(x_0)=0$. Rezolvi ecuația $f^{\prime }(x)=0$, găsești abscisele $x_0$, iar tangenta are ecuația $y=f(x_0)$. Punctele în care tangenta este orizontală sunt de regulă punctele de extrem ale funcției (vezi aplicațiile derivatelor în studiul funcțiilor).

Tangenta paralelă cu o dreaptă dată $y=mx+n$. Două drepte sunt paralele dacă au aceeași pantă, deci impui $f^{\prime }(x_0)=m$, rezolvi în $x_0$ și apoi scrii tangenta cu formula generală. Dacă tangenta trebuie să fie perpendiculară pe dreaptă, condiția este $f^{\prime }(x_0)\cdot m=-1$.

Tangenta care trece printr-un punct exterior $A(a,b)$. Punctul $A$ nu este pe grafic, deci nu cunoști $x_0$. Impui ca $A$ să verifice ecuația tangentei: $b-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(a-x_0)$, o ecuație în necunoscuta $x_0$. Fiecare soluție dă o tangentă.

Ecuația normalei. Normala în $M$ este perpendiculara pe tangentă în punctul de tangență, deci are panta $-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x_0)}}$ (pentru $f^{\prime }(x_0)\ne 0$):

Tangenta la cerc și la parabolă — legătura

Formula $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ este generală: funcționează pentru orice curbă dată ca grafic al unei funcții derivabile. Pentru conice, geometria analitică oferă formule „prin dedublare”, echivalente cu formula generală: tangenta la cercul $x^2+y^2=r^2$ în punctul $(x_0,y_0)$ este $x{x}_0+y{y}_0=r^2$, iar tangenta la parabola $y^2=2px$ în $(x_0,y_0)$ este $y{y}_0=p(x+x_0)$. Pentru parabola $y=a{x}^2+bx+c$, care este graficul unei funcții, aplici direct formula cu $f^{\prime }(x_0)=2a{x}_0+b$. Alte formule pentru drepte găsești în hub-ul de analiză matematică și în secțiunea de geometrie analitică.

Greșeli frecvente

• Înlocuiești $x$ cu $x_0$ peste tot. În ecuația tangentei $x$ și $y$ rămân variabile; doar $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$ sunt numere.
• Folosești $f^{\prime }(x)$ în loc de $f^{\prime }(x_0)$. Panta este un număr, nu o expresie în $x$. Dacă în ecuația finală apare $x^2$ sau $e^x$, ceva este greșit: tangenta este o dreaptă.
• Confuzi $f(x_0)$ cu $f^{\prime }(x_0)$. Prima este ordonata punctului, a doua este panta. Scrie-le separat, cu etichete, înainte de a le introduce în formulă.
• Greșeli de semn la desfacerea parantezei. Din $y-3=-2(x-2)$ rezultă $y=-2x+4+3=-2x+7$, nu $y=-2x+1$. Verifică întotdeauna cu punctul $M$.

Întrebări frecvente

Care este ecuația tangentei la graficul funcției? Ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Este ecuația unei drepte care trece prin punctul $M(x_0,f(x_0))$ și are panta $m=f^{\prime }(x_0)$.

Cum scriu ecuația tangentei în punctul de abscisă x = 0? Calculezi $f(0)$ și $f^{\prime }(0)$, apoi scrii $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y=f^{\prime }(0)x+f(0)$. De exemplu, pentru $f(x)=e^x$ obții $f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=1$ și tangenta $y=x+1$.

Ce reprezintă f′(x₀) în ecuația tangentei? $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei, egală cu tangenta unghiului $\alpha$ pe care dreapta îl face cu axa $Ox$: $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$. Aceasta este interpretarea geometrică a derivatei într-un punct.

Exersează: fișă de lucru printabilă — ecuația tangentei, clasa a 11-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.