Calculator derivate pas cu pas — derivata funcției, regula lanțului, tangentă

Calculatorul de derivate de mai sus primește o funcție \(f(x)\) scrisă de tine și afișează pas cu pas cum se calculează \(f'(x)\): ce regulă se aplică la fiecare etapă (suma, produsul, câtul, funcția compusă), ce formule din tabelul derivatelor elementare se folosesc și cum se simplifică rezultatul. Opțional calculezi și derivata a doua \(f''(x)\), valoarea \(f'(x_0)\) și ecuația tangentei la grafic într-un punct. Sub căsuța de introducere vezi imediat cum a fost interpretată expresia („Ai introdus: …”), ca să fii sigur că ai scris ce ai vrut. Folosește-l ca să îți verifici tema sau subiectele de bacalaureat: derivezi întâi pe hârtie, apoi compari fiecare pas.

Regulile de derivare

Orice funcție elementară se derivează combinând câteva reguli cu tabelul derivatelor funcțiilor elementare (\((x^n)' = n x^{n-1}\), \((\sin x)' = \cos x\), \((e^x)' = e^x\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) și celelalte). Dacă \(f\) și \(g\) sunt derivabile, iar \(c\) este o constantă:

Tabelul complet al derivatelor, cu toate formulele pentru funcții simple și compuse, este pe pagina formule derivate.

Derivata funcției compuse (regula lanțului)

Când argumentul unei funcții nu este simplu \(x\), ci o expresie \(u(x)\), derivezi „din exterior spre interior”: derivata funcției exterioare, calculată în \(u\), se înmulțește cu derivata lui \(u\). De exemplu \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\), \((e^u)' = e^u \cdot u'\), \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\), \((u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'\), \((\operatorname{tg} u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}\). Calculatorul îți spune de fiecare dată cine este \(u\) și scrie formula folosită. Dacă funcțiile sunt „îmbricate” pe mai multe niveluri, de exemplu \(\sin^2(3x)\), regula se aplică de mai multe ori: \(\left(\sin^2 3x\right)' = 2\sin 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 6 \sin 3x \cos 3x\).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (produs). \(f(x) = x^3 \sin x\). Aplicăm regula produsului: \(f'(x) = (x^3)' \sin x + x^3 (\sin x)' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x = x^2(3\sin x + x \cos x)\).

Exemplul 2 (cât). \(f(x) = \frac{x+1}{x-1}\). Cu regula câtului: \(f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = -\frac{2}{(x-1)^2}\). Derivata este negativă pe tot domeniul, deci funcția este descrescătoare pe \((-\infty, 1)\) și pe \((1, +\infty)\).

Exemplul 3 (funcție compusă). \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). Cu \(u = x^2 + 1\) avem \(f'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{2x}{x^2 + 1}\). Derivând din nou cu regula câtului obținem \(f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2}\).

Ecuația tangentei și aplicațiile derivatei

Valoarea \(f'(x_0)\) este panta tangentei la graficul funcției în punctul \((x_0, f(x_0))\), iar tangenta are ecuația \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\). De exemplu, pentru \(f(x) = x \ln x\) și \(x_0 = 1\): \(f(1) = 0\), \(f'(1) = \ln 1 + 1 = 1\), deci tangenta este \(y = x - 1\). Mai multe exemple găsești la ecuația tangentei la grafic. Semnul lui \(f'\) dă monotonia funcției și punctele de extrem, iar semnul lui \(f''\) dă convexitatea și punctele de inflexiune — vezi aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor. De aceea calculatorul aduce rezultatul, când se poate, la un singur numitor și scoate factorii comuni: așa îi studiezi mai ușor semnul.

Greșeli frecvente

• Derivata produsului nu este produsul derivatelor. \((x^2 \sin x)' \neq 2x \cos x\); corect este \(2x \sin x + x^2 \cos x\).
• Uitarea lui \(u'\) la funcția compusă. \((\sin 2x)' = 2\cos 2x\), nu \(\cos 2x\); \((e^{-x})' = -e^{-x}\).
• Semnul și ordinea la regula câtului. La numărător este \(f'g - fg'\), în această ordine, iar numitorul \(g^2\) nu se derivează.
• Confuzia dintre \(x^n\) și \(a^x\). \((x^3)' = 3x^2\), dar \((3^x)' = 3^x \ln 3\). Când și baza, și exponentul depind de \(x\) (ca la \(x^x\)), scrii \(x^x = e^{x \ln x}\) și derivezi funcția compusă.
• Derivata unei constante. \((\pi^2)' = 0\) și \((\ln 5)' = 0\): sunt numere, nu funcții de \(x\).
• Domeniul de derivabilitate. \(\sqrt{x}\) este definită în 0, dar nu este derivabilă acolo, pentru că \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) nu are sens în \(x = 0\).

Pentru limitele care apar la derivabilitate și la asimptote poți folosi și calculatorul de limite.

Întrebări frecvente

Cum se calculează derivata unei funcții compuse? Identifici funcția exterioară și funcția interioară \(u(x)\), derivezi funcția exterioară ca și cum \(u\) ar fi variabila, apoi înmulțești cu \(u'(x)\). De exemplu \(\left(\sqrt{x^2+1}\right)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

Ce funcții pot introduce în calculatorul de derivate? Polinoame, fracții, puteri cu exponent real (\(x^{3/2}\), \(\sqrt{x}\)), exponențiale (\(e^x\), \(2^x\)), logaritmi (\(\ln\), \(\lg\), \(\log_a\)), funcțiile trigonometrice \(\sin, \cos, \operatorname{tg}, \operatorname{ctg}\) și inversele lor, precum și orice combinație a acestora, inclusiv puteri de forma \(x^x\). Modulul nu este acceptat.

Cum calculez derivata a doua? Derivata a doua este derivata derivatei: \(f''(x) = \left(f'(x)\right)'\). Bifează opțiunea „Calculează și derivata a doua”, iar calculatorul derivează rezultatul simplificat al lui \(f'\) și îți arată pașii separat.

Cum aflu ecuația tangentei cu ajutorul derivatei? Calculezi \(f(x_0)\) și \(f'(x_0)\), apoi scrii \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\). În calculator completezi punctul \(x_0\) (de exemplu 1, −2, 1/2 sau pi/2) și primești valorile și ecuația tangentei, exacte când se poate și cu zecimale în rest.