Limite remarcabile — tabel limite fundamentale (PDF)

Q: Care sunt limitele remarcabile?

Cele mai folosite sunt ( x)/(x) → 1 , tg xx → 1 , ((1+x))/(x) → 1 , (e^x - 1)/(x) → 1 , (a^x - 1)/(x) → a și (1+x)^(1)/(x) → e , toate pentru x → 0 .

Q: Când se aplică regula lui l'Hôpital?

Numai în cazurile de nedeterminare (0)/(0) și (∞)/(∞) , când funcțiile sunt derivabile și există limita raportului derivatelor. Celelalte nedeterminări se aduc întâi la una dintre aceste forme.

Formule

Limitele remarcabile sunt limitele fundamentale la care se reduc cazurile de nedeterminare $\frac{0}{0}$ și $1^{\infty}$ : $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , $lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ , $lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ și $lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ . Mai jos găsești tabelul complet, varianta cu $u (x) \to 0$ , regulile de calcul cu $\infty$ , cazurile de nedeterminare, limitele funcțiilor raționale, limitele laterale și regula lui l'Hôpital, cu exemple de Bac.

Tabel cu limitele remarcabile de funcții: sin x / x, tg x / x, ln(1+x) / x, (e^x − 1) / x, (1+x)^(1/x) = e

Descarcă tabelul limitelor remarcabile în PDF (printabil, A4)

Tabel limite remarcabile printabil: sin x/x, tg x/x, arcsin x/x, ln(1+x)/x, (e^x−1)/x, (a^x−1)/x, (1+x)^(1/x) și forma generală cu u(x), plus operații cu infinit, cazuri de nedeterminare și regula lui l’Hôpital — Limitele remarcabile, operațiile cu ∞ și cazurile de nedeterminare pe o pagină A4. Gratuit, fără înregistrare.

Ce înseamnă limita unei funcții

Scriem $lim_{x \to x_{0}} f (x) = ℓ$ dacă valorile $f (x)$ se apropie oricât de mult de $ℓ$ atunci când $x$ se apropie de $x_{0}$ (cu $x \neq x_{0}$ ). Punctul $x_{0}$ trebuie să fie punct de acumulare al domeniului, iar $x_{0}$ și $ℓ$ pot fi și $\pm \infty$ . Valoarea lui $f$ în $x_{0}$ nu contează: funcția nici nu trebuie să fie definită acolo. Pentru funcțiile elementare continue (polinoame, $\sin$ , $e^{x}$ , $\ln$ etc.), limita se obține înlocuind direct: $lim_{x \to 2} (x^{2} + 1) = 5$ .

Limite laterale

Limita la stânga $l_{s} = lim_{\begin{matrix} x \to x_{0} \\ x < x_{0} \end{matrix}} f (x)$ și limita la dreapta $l_{d} = lim_{\begin{matrix} x \to x_{0} \\ x > x_{0} \end{matrix}} f (x)$ se calculează separat. Funcția are limită în $x_{0}$ dacă și numai dacă $l_{s} = l_{d}$ . De exemplu, $\frac{1}{x}$ are $l_{s} = - \infty$ și $l_{d} = + \infty$ în 0, deci nu are limită în 0. Limitele laterale infinite indică asimptote verticale.

Reguli de calcul cu $\infty$

Pentru $a \in R$ :

Operație	Rezultat
$a + \infty$	$\infty$
$a - \infty$	$- \infty$
$\infty \cdot \infty = (- \infty) (- \infty)$	$\infty$
$\infty \cdot (- \infty)$	$- \infty$
$a \cdot \infty$ , $a > 0$ / $a < 0$	$\infty$ / $- \infty$
$\frac{a}{\pm \infty}$	$0$
$\frac{1}{0^{+}}$ / $\frac{1}{0^{-}}$	$+ \infty$ / $- \infty$
$\ln \infty$ / $\ln 0^{+}$	$\infty$ / $- \infty$
$e^{\infty}$ / $e^{- \infty}$	$\infty$ / $0$
$arctg (\pm \infty)$	$\pm \frac{π}{2}$
$arcctg (\infty)$ / $arcctg (- \infty)$	$0$ / $π$

Limita sumei, produsului și câtului este suma, produsul și câtul limitelor, ori de câte ori rezultatul nu este un caz de nedeterminare.

Cazuri de nedeterminare

Există 7 cazuri de nedeterminare, în care rezultatul nu se poate stabili direct:

Caz	Metodă uzuală
$\frac{0}{0}$	descompunere și simplificare, limite remarcabile, l'Hôpital
$\frac{\infty}{\infty}$	forțarea factorului dominant, l'Hôpital
$\infty - \infty$	factor comun forțat, amplificare cu conjugata
$0 \cdot \infty$	se scrie ca $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$
$1^{\infty}$	$lim u^{v} = e^{lim (u - 1) v}$
$0^{0}$ , $\infty^{0}$	$u^{v} = e^{v \ln u}$ , apoi $0 \cdot \infty$

Cum alegi metoda. Primul pas este întotdeauna înlocuirea directă: dacă obții un număr sau un rezultat din tabelul de mai sus, ai terminat. Dacă obții o nedeterminare, uită-te la forma expresiei. Pentru polinoame și radicali la $\infty$ dai factor comun puterea cea mai mare a lui $x$ . Pentru fracții care tind la $\frac{0}{0}$ într-un punct finit, descompui și simplifici factorul comun $(x - x_{0})$ . Dacă apar $\sin$ , $tg$ , $e^{x}$ , $\ln$ sau $a^{x}$ cu argumentul tinzând la 0, cauți o limită remarcabilă. Dacă baza tinde la 1 și exponentul la $\infty$ , folosești numărul $e$ . Regula lui l'Hôpital rămâne varianta de rezervă, utilă mai ales la Bac M1, când celelalte metode sunt greoaie.

Limitele funcțiilor raționale la $\infty$

Pentru $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots$ și $Q (x) = b_{m} x^{m} + \dots$ , cu $a_{n}, b_{m} \neq 0$ , contează doar termenii de grad maxim:

Grade	$lim_{x \to \infty} \frac{P (x)}{Q (x)}$
$n < m$	$0$
$n = m$	$\frac{a_{n}}{b_{m}}$
$n > m$	$\pm \infty$ , după semnul lui $\frac{a_{n}}{b_{m}}$

La $- \infty$ , pentru $n > m$ semnul depinde și de paritatea lui $n - m$ . Aceste limite dau asimptotele orizontale și oblice.

Limite remarcabile — tabel complet

Limita	Valoare
$lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$	$1$
$lim_{x \to 0} \frac{tg x}{x}$	$1$
$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$	$1$
$lim_{x \to 0} \frac{arctg x}{x}$	$1$
$lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$	$e$
$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$	$e$
$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x}$	$1$
$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x}$ , $a > 0$	$\ln a$
$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$	$1$
$lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{r} - 1}{x}$ , $r \in R$	$r$

Varianta generală. Toate limitele rămân adevărate dacă înlocuim $x$ cu o funcție $u (x)$ care tinde la 0 (cu $u (x) \neq 0$ ):

lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin u (x)}{u (x)} = 1

lim_{x \to x_{0}} \frac{e^{u (x)} - 1}{u (x)} = 1

lim_{x \to x_{0}} (1 + u (x))^{\frac{1}{u (x)}} = e

Esențial este ca argumentul și numitorul să fie aceeași expresie. De aceea, pentru $\frac{\sin 3 x}{x}$ , forțăm $\frac{\sin 3 x}{3 x} \cdot 3$ .

Regula lui l'Hôpital

Se aplică doar în cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$ . Fie $f, g$ definite pe un interval $I$ și $x_{0}$ un punct de acumulare al lui $I$ . Dacă:

$f$ și $g$ sunt derivabile pe $I ∖ {x_{0}}$ , cu $g^{'} (x) \neq 0$ ;
$lim f = lim g = 0$ sau $lim | g | = \infty$ în $x_{0}$ ;
există $lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = ℓ$ ;

atunci $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = ℓ$ . Se derivează numărătorul și numitorul separat (nu ca un cât), folosind tabelul de derivate. Limitele și derivatele apar împreună și la ecuația tangentei. Toate formulele de analiză din programă sunt adunate la formule pentru Bacalaureat.

Greșeli frecvente

„Simplificarea” lui sin: $\frac{\sin 3 x}{x}$ nu este $\sin 3$ ; limita este 3.
$1^{\infty} = 1$ ? Fals: $1^{\infty}$ este nedeterminare, iar ${(1 + \frac{1}{x})}^{x} \to e$ .
Limita remarcabilă în punctul greșit: $\frac{\sin x}{x} \to 1$ doar pentru $x \to 0$ ; la $\infty$ , $\frac{\sin x}{x} \to 0$ .
L'Hôpital fără nedeterminare: regula nu se aplică dacă limita nu este $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ ; verifică întâi cazul.
Limite laterale ignorate: la fracții cu numitorul tinzând la 0 calculează separat $l_{s}$ și $l_{d}$ .

Întrebări frecvente

Care sunt limitele remarcabile? Cele mai folosite sunt $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , $\frac{tg x}{x} \to 1$ , $\frac{\ln (1 + x)}{x} \to 1$ , $\frac{e^{x} - 1}{x} \to 1$ , $\frac{a^{x} - 1}{x} \to \ln a$ și $(1 + x)^{\frac{1}{x}} \to e$ , toate pentru $x \to 0$ .

Când se aplică regula lui l'Hôpital? Numai în cazurile de nedeterminare $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$ , când funcțiile sunt derivabile și există limita raportului derivatelor. Celelalte nedeterminări se aduc întâi la una dintre aceste forme.

Ce sunt cazurile de nedeterminare? Sunt situațiile în care rezultatul nu se poate afla direct din limitele componentelor: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $0^{0}$ și $\infty^{0}$ .

Verifică-ți rezolvarea: calculator limite de funcții raționale — 0/0, ∞/∞ și limite laterale, cu toți pașii.

Istoric: Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) — a dat primele definiții precise ale limitei și continuității unei funcții.

Istoric: Guillaume de L'Hôpital (1661–1704) — a publicat în 1696 regula pentru nedeterminările 0/0, descoperită de profesorul său Johann Bernoulli.

Istoric: Traian Lalescu (1882–1929) — șirul lui Lalescu are limita $1 / e$ și se rezolvă cu limita fundamentală a numărului $e$ .

Exersează: fișă de lucru printabilă — limite de funcții, clasa a 11-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — limite cu regula lui l'Hôpital și teoremele Rolle, Lagrange, clasa a 11-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Cât este $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ?

$0$
$1$
$\infty$

Calculează $lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{2 x}$ .

$4$
$\frac{1}{2}$
$2$

Cât este $lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ ?

$0$
$1$
nu există

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (funcție rațională, $\frac{\infty}{\infty}$ ). Calculați $lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x}{x^{2} + 1}$ .

Rezolvare: Gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\frac{2}{1} = 2$ .

Exemplul 2 (limită remarcabilă cu sin). Calculați $lim_{x \to 0} \frac{\sin 3 x}{x}$ .

Rezolvare: $\frac{\sin 3 x}{x} = \frac{\sin 3 x}{3 x} \cdot 3 \to 1 \cdot 3 = 3$ .

Exemplul 3 (exponențială). Calculați $lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x}$ .

Rezolvare: $\frac{e^{2 x} - 1}{2 x} \cdot 2 \to 1 \cdot 2 = 2$ .

Exemplul 4 (logaritm). Calculați $lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{3 x}$ .

Rezolvare: $\frac{\ln (1 + 2 x)}{2 x} \cdot \frac{2 x}{3 x} \to 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ .

Exemplul 5 (cazul $1^{\infty}$ , Bac M1). Calculați $lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 3}{x + 1})}^{x}$ .

Rezolvare: $\frac{x + 3}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x + 1}$ , cu $u (x) = \frac{2}{x + 1} \to 0$ . Limita este $e^{lim u (x) \cdot x}$ $= e^{lim \frac{2 x}{x + 1}} = e^{2}$ .

Exemplul 6 (l'Hôpital, Bac M1). Calculați $lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$ .

Rezolvare: Cazul $\frac{0}{0}$ . Aplicăm l'Hôpital: $lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{2 x}$ $= \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{1}{2}$ (limită remarcabilă sau încă o dată l'Hôpital).

Exerciții

Exerciții propuse

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$
$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - x}{x^{3} + 2}$
$lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x^{2} + 5}$
$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 1}{x - 3}$
$lim_{x \to 0} \frac{tg 5 x}{2 x}$
$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 1}{x}$
$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 4 x}{\sin 2 x}$
$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{2 x})}^{x}$
$lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x} - x)$
$lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ x > 0 \end{matrix}} x \ln x$

Răspunsuri

$x + 2 \to 4$
$3$ (grade egale)
$0$ (gradul numitorului e mai mare)
$- \infty$
$\frac{5}{2}$
$\ln 3$
$\frac{4}{2} = 2$
$e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$
$\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + x} \to 1$
$0$ (l'Hôpital pe $\frac{\ln x}{1 / x}$ )

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Limite remarcabile (limite fundamentale) — tabel complet, formule (PDF)

Formule

Ce înseamnă limita unei funcții

Limite laterale

Reguli de calcul cu $\infty$

Cazuri de nedeterminare

Limitele funcțiilor raționale la $\infty$

Limite remarcabile — tabel complet

Regula lui l'Hôpital

Greșeli frecvente

Întrebări frecvente

Exemple rezolvate

Exerciții propuse

Formule conexe

Limite remarcabile (limite fundamentale) — tabel complet, formule (PDF)

Formule

Ce înseamnă limita unei funcții

Limite laterale

Reguli de calcul cu ∞

Cazuri de nedeterminare

Limitele funcțiilor raționale la ∞

Limite remarcabile — tabel complet

Regula lui l'Hôpital

Greșeli frecvente

Întrebări frecvente

Exemple rezolvate

Exerciții propuse

Formule conexe

Reguli de calcul cu $\infty$

Limitele funcțiilor raționale la $\infty$