Limite de funcții, limite remarcabile

Reguli:

Dacă  a ∈ R

$a+\infty =\infty$

$a-\infty =-\infty$

$\infty \cdot \infty =\left(-\infty \right)\cdot \left(-\infty \right)=\infty$

$\infty \cdot \left(-\infty \right)=-\infty \cdot \infty =-\infty$

$\frac{1}{\pm \infty }=0$

$\frac{1}{0_{+}}=\infty$

$\frac{1}{0_{-}}=-\infty$

$ln\infty =\infty$

$ln{0}_{+}=-\infty$

$artcg\infty =\frac{\pi }{2}$

$arcctg\infty =0$

Cazuri de nedeterminare

$\infty -\infty ,\frac{\infty }{\infty },\infty \cdot 0,\frac{0}{0},1^{\infty },{\infty }^0$

Limite remarcabile:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{arcsinx}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{tgx}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{arctgx}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}=lna$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{ln\left(1+x\right)}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\left(1+x\right)}^r-1}{x}=r,r\in R$

$\underset{x\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

Regulile lui l'Hospital

Regula lui l'Hospital este o regulă care presupune folosirea derivatelor pentru calculul unor limite de funcții care conțin o nedeterminare.

cazurile: $\left(\frac{0}{0}\right),\left(\frac{\infty }{\infty }\right)$

Fie funcțiile $f,g:I\to R$, I interval, și $x_0$ un punct de acumulare a lui f.

Dacă:

f, g derivabilă pe $I-\left\{x_0\right\}$ 

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=0,$ sau $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=\pm \infty$

Există limita raportului derivatelor celor două funcții,

Atunci: Limita raportului celor două funcții va fi limita raportului derivatelor celor două funcții.