Asimptote: orizontale, verticale și oblice — formule și metodă

O asimptotă este o dreaptă de care graficul unei funcții se apropie oricât de mult, fără a o atinge neapărat, atunci când $x$ tinde la infinit sau către un punct în care funcția nu este definită. Capitolul acoperă cele trei tipuri — asimptote orizontale, asimptote verticale și asimptote oblice — cu definițiile prin limite, condițiile de existență și exemple rezolvate. Determinarea asimptotelor este primul pas în studiul funcțiilor din clasa a XI-a și un punct cerut aproape în fiecare an la Bacalaureat, la M1 și la M2 (subiectul III, exercițiul de analiză). O funcție poate avea cel mult două asimptote orizontale sau oblice (una spre $-\mathrm{\infty }$, una spre $+\mathrm{\infty }$), dar oricâte asimptote verticale, ca în cazul funcției tangentă.

Formulele esențiale

Asimptota orizontală spre $+\mathrm{\infty }$ (analog spre $-\mathrm{\infty }$): dreapta $y=l$ este asimptotă orizontală dacă

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=l\in \mathbb{R}.$$

Asimptota verticală: dreapta $x=a$ este asimptotă verticală dacă cel puțin una dintre limitele laterale este infinită,

$$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }\text{sau}\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty },$$

unde $a$ este un punct de acumulare al domeniului în care $f$ nu este definită (de regulă un zero al numitorului) sau un capăt finit al domeniului.

Asimptota oblică spre $+\mathrm{\infty }$: dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică dacă

$$m=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast },n=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-mx)\in \mathbb{R}.$$

Caz particular util: pentru funcția rațională $f(x)={\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}$, există asimptotă orizontală dacă $\mathrm{grad}P\le \mathrm{grad}Q$ și asimptotă oblică dacă $\mathrm{grad}P=\mathrm{grad}Q+1$; asimptota oblică este atunci câtul împărțirii lui $P$ la $Q$.

Cum alegi metoda

1. Determină domeniul funcției: punctele excluse (zerourile numitorului, valorile negative sub radical, argumentul logaritmului) sunt candidații pentru asimptotele verticale.
2. Calculează limitele laterale în fiecare punct candidat; dacă una este infinită, ai asimptotă verticală.
3. Verifică dacă domeniul este nemărginit; doar atunci are sens să cauți asimptote spre $\pm \mathrm{\infty }$.
4. Calculează $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$: dacă limita este finită, ai asimptotă orizontală și nu mai cauți oblică în aceeași direcție.
5. Dacă limita este infinită, calculează $m$ și $n$; asimptota oblică există numai dacă ambele limite sunt finite și $m\ne 0$.

Greșeli frecvente

• Căutarea asimptotei oblice când există deja asimptotă orizontală în aceeași direcție — cele două se exclud reciproc.
• Declararea unei asimptote verticale doar pentru că numitorul se anulează, fără a calcula limitele laterale (fracția se poate simplifica și punctul devine o „gaură” în grafic).
• Calcularea limitei doar spre $+\mathrm{\infty }$ și ignorarea lui $-\mathrm{\infty }$, unde funcțiile cu radical sau exponențiale se pot comporta diferit.

Întrebări frecvente

Poate graficul să intersecteze asimptota? Da. Asimptota descrie comportamentul la infinit; graficul o poate traversa de un număr finit (sau chiar infinit, ca la ${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$) de ori înainte de a se apropia definitiv de ea.

Funcțiile polinomiale au asimptote? Nu. Un polinom de grad cel puțin 1 tinde la $\pm \mathrm{\infty }$ mai repede decât orice dreaptă (sau este el însuși o dreaptă), deci nu are asimptote de niciun fel.

Ce se cere de obicei la Bacalaureat? Determinarea ecuației asimptotei orizontale sau oblice spre $+\mathrm{\infty }$ și a asimptotei verticale în punctul exclus din domeniu, urmate de tabelul de variație al funcției.

Capitolul face parte din secțiunea Analiză matematică, alături de limite, derivate și studiul funcțiilor; formulele de Algebră (descompuneri, împărțirea polinoamelor) sunt utile la calculul limitelor.

Verifică-ți rezolvarea: calculator asimptote — verticale, orizontale și oblice, pas cu pas.

Exersează: fișă de lucru printabilă — continuitate și asimptote, clasa a 11-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — reprezentarea grafică a funcțiilor (tabel de variație), clasa a 11-a, cu 14 exerciții și răspunsuri.

Toate formulele din această categorie

Testează-te la Evaluarea Națională Grile din subiecte oficiale, cu scor instant și explicații →