Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme, convexitate, teoreme, exemple rezolvate

Derivata întâi dă monotonia și punctele de extrem: dacă $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe un interval, $f$ este crescătoare, iar dacă $f^{\prime }(x)\le 0$, este descrescătoare; extremele se caută printre rădăcinile lui $f^{\prime }$ în care derivata schimbă semnul. Derivata a doua dă convexitatea ($f^{″}\ge 0$), concavitatea ($f^{″}\le 0$) și punctele de inflexiune. Pe aceeași pagină: teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange, regula lui l'Hôpital, tangenta, studiul complet al unei funcții, inegalități și numărul de soluții ale ecuației $f(x)=m$.

Derivata întâi și monotonia unei funcții

Fie $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție derivabilă pe un interval $I$. Ca o consecință a teoremei lui Lagrange:

• $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in I$ dacă și numai dacă $f$ este monoton crescătoare pe $I$;
• $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru orice $x\in I$ dacă și numai dacă $f$ este monoton descrescătoare pe $I$;
• dacă $f^{\prime }(x)>0$ pe $I$ (cu excepția eventual a unui număr finit de puncte), $f$ este strict crescătoare. Reciproca e falsă: $f(x)=x^3$ este strict crescătoare, dar $f^{\prime }(0)=0$.

Rezultatul cere ca domeniul să fie interval. Pentru $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ avem $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}>0$, totuși $f$ nu este crescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (doar pe fiecare dintre intervalele $(-\mathrm{\infty },0)$ și $(0,\mathrm{\infty })$).

Etapele stabilirii monotoniei (tabelul de variație)

1. Calculezi derivata $f^{\prime }(x)$ și o scrii factorizat.
2. Rezolvi ecuația $f^{\prime }(x)=0$ (și notezi punctele în care $f$ nu e derivabilă).
3. Faci tabelul de semn: pe primul rând valorile lui $x$, pe al doilea semnul lui $f^{\prime }(x)$, pe al treilea variația lui $f$ (săgeți și valori).
4. Citești intervalele de monotonie și punctele de extrem.

De exemplu, pentru $f(x)=x^3-3x+2$, $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$:

Puncte de extrem și teorema lui Fermat

Teorema lui Fermat. Fie $f:I\to \mathbb{R}$ și $x_0$ un punct de extrem interior intervalului $I$. Dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci

Condiția este doar necesară: pentru $f(x)=x^3$, $f^{\prime }(0)=0$, dar $0$ nu e punct de extrem (derivata nu schimbă semnul). Criteriul practic: dacă $f^{\prime }$ se anulează în $x_0$ și schimbă semnul din + în −, $x_0$ este punct de maxim; din − în +, punct de minim. Extreme pot apărea și în puncte în care $f$ nu e derivabilă (de exemplu $|x|$ în $0$) sau în capetele unui interval închis.

Teorema lui Rolle

Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și $f(a)=f(b)$, atunci există $c\in (a,b)$ astfel încât $f^{\prime }(c)=0$.

Consecință: între două rădăcini consecutive ale lui $f$ se află cel puțin o rădăcină a lui $f^{\prime }$; între două rădăcini consecutive ale lui $f^{\prime }$ se află cel mult o rădăcină a lui $f$. De aici vine șirul lui Rolle.

Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite)

Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$, atunci există $c\in (a,b)$ astfel încât

Geometric: există un punct în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Consecințe: dacă $f^{\prime }=0$ pe un interval, $f$ este constantă; dacă $f^{\prime }=g^{\prime }$ pe un interval, $f-g$ este constantă. Corolarul lui Lagrange: dacă $f$ e continuă în $x_0$, derivabilă în jurul lui $x_0$ și $\underset{x\to x_0}{lim}{f}^{\prime }(x)=l$, atunci $f^{\prime }(x_0)=l$.

Derivata a doua: convexitate, concavitate, inflexiune

Fie $f$ de două ori derivabilă pe un interval $I$:

• $f^{″}(x)\ge 0$ pe $I$ dacă și numai dacă $f$ este convexă pe $I$ (graficul „ține apa”, stă deasupra tangentelor);
• $f^{″}(x)\le 0$ pe $I$ dacă și numai dacă $f$ este concavă pe $I$.

Un punct $x_0$ este punct de inflexiune dacă $f$ este continuă în $x_0$, are derivată (finită sau infinită) în $x_0$ și este convexă de o parte a lui $x_0$ și concavă de cealaltă. Punctele de inflexiune se găsesc printre rădăcinile lui $f^{″}$ în care $f^{″}$ schimbă semnul.

Regula lui l'Hôpital

Pentru nedeterminări ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ sau ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$: dacă $f,g$ sunt derivabile în jurul lui $x_0$, $g^{\prime }(x)\ne 0$ și limita raportului derivatelor există, atunci

Se derivează numărătorul și numitorul separat, nu ca un cât. Celelalte nedeterminări ($0\cdot \mathrm{\infty }$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $1^{\mathrm{\infty }}$, $0^0$, ${\mathrm{\infty }}^0$) se aduc întâi la una din aceste forme. Vezi și limitele remarcabile și calculatorul de limite.

Ecuația tangentei

Tangenta la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $a$ are ecuația

Panta tangentei este $f^{\prime }(a)$. Detalii și cazuri (tangentă paralelă cu o dreaptă, tangentă printr-un punct) găsești la ecuația tangentei.

Studiul complet al unei funcții (algoritm)

1. Domeniul de definiție și eventual paritatea/periodicitatea.
2. Intersecțiile cu axele: $f(0)$ și soluțiile ecuației $f(x)=0$.
3. Limitele la capetele domeniului și asimptotele (orizontale, verticale, oblice); poți verifica cu calculatorul de asimptote.
4. Derivata întâi: semn, intervale de monotonie, puncte de extrem.
5. Derivata a doua: semn, convexitate/concavitate, puncte de inflexiune.
6. Tabelul de variație complet și graficul.

Regulile de derivare și tabelul derivatelor sunt pe pagina formule derivate.

Demonstrarea inegalităților cu ajutorul derivatei

Tip frecvent la Bac: „Arătați că $f(x)\ge g(x)$ pentru orice $x\in I$”. Metoda: definești $h(x)=f(x)-g(x)$, îi studiezi monotonia cu $h^{\prime }$ și găsești minimul. Dacă valoarea minimă este $\ge 0$, inegalitatea e demonstrată. Exemple clasice: $e^x\ge x+1$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ și $\ln x\le x-1$ pentru orice $x>0$ (egalitate doar în $x=0$, respectiv $x=1$).

Numărul de soluții ale ecuației f(x) = m

Din tabelul de variație citești câte intersecții are dreapta orizontală $y=m$ cu graficul: pe fiecare interval de strictă monotonie, ecuația are cel mult o soluție, și exact una dacă $m$ se află între valorile de la capete (funcția fiind continuă). Pentru ecuația $f(x)=0$ se folosește șirul lui Rolle: rezolvi $f^{\prime }(x)=0$, obții rădăcinile $x_1<x_2<\cdots <x_k$, scrii semnele valorilor $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x),f(x_1),$ $\dots ,f(x_k),\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$. Numărul de schimbări de semn este numărul de rădăcini reale, fiecare situată în intervalul corespunzător.

Greșeli frecvente

• A considera că $f^{\prime }(x_0)=0$ implică automat extrem (contraexemplu $x^3$); trebuie verificată schimbarea de semn.
• A trage concluzia de monotonie pe o reuniune de intervale (de exemplu pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$), nu pe fiecare interval separat.
• A aplica l'Hôpital fără nedeterminare sau a deriva fracția ca un cât, în loc de numărător și numitor separat.
• A uita condițiile teoremelor lui Rolle și Lagrange (continuitate pe intervalul închis, derivabilitate pe cel deschis).
• A confunda punctul de extrem $x_0$ (abscisa) cu valoarea extremă $f(x_0)$.

Întrebări frecvente

Cum aflu dacă o funcție este crescătoare sau descrescătoare? Calculezi derivata întâi și îi studiezi semnul: pe intervalele unde $f^{\prime }(x)\ge 0$ funcția este crescătoare, iar unde $f^{\prime }(x)\le 0$ este descrescătoare.

Care este diferența dintre convexitate și concavitate? O funcție este convexă pe un interval dacă $f^{″}\ge 0$ (graficul se curbează în sus) și concavă dacă $f^{″}\le 0$ (graficul se curbează în jos); punctul în care se schimbă este punct de inflexiune.

Când se poate aplica regula lui l'Hôpital? Doar pentru nedeterminări de tip 0/0 sau ∞/∞, când funcțiile sunt derivabile în jurul punctului, derivata numitorului nu se anulează și limita raportului derivatelor există.

Calculează rapid: calculator derivate pas cu pas — derivata oricărei funcții cu regulile explicate, f″(x) și ecuația tangentei.

Istoric: Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) — a formulat teorema creșterilor finite, numită azi teorema lui Lagrange.

Istoric: Michel Rolle (1652–1719) — a enunțat în 1691, pentru polinoame, rezultatul cunoscut azi ca teorema lui Rolle.

Istoric: Guillaume de L'Hôpital (1661–1704) — a scris primul manual de calcul diferențial, în care apare regula care îi poartă numele.

Istoric: Dimitrie Pompeiu (1873–1954) — a dat o variantă a teoremei lui Lagrange, cunoscută ca teorema de medie a lui Pompeiu.

Istoric: Pierre de Fermat (1601/1607 – 1665) — teorema lui Fermat (derivata se anulează într-un punct de extrem interior) provine din metoda sa de aflare a maximelor și minimelor.

Exersează: fișă de lucru printabilă — monotonie și puncte de extrem, clasa a 11-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — convexitate și puncte de inflexiune, clasa a 11-a, cu 16 exerciții și răspunsuri.

La Bacalaureat: toate problemele cu derivate și studiul funcțiilor de la Bac (Subiectul III.1) — enunțuri pe variante și tipuri, cu rezolvări pas cu pas.