Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

Rolul derivatei întâi în studiul funcțiilor (monotonie și puncte de extrem)

Consecinţă a teoremei lui Lagrange.

Fie

f : I \to R

o funcție derivabilă pe un interval I. Dacă:

f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in I

dacă și numai dacă f este monoton crescătoare pe I,

b) $f^{'} (x) \leq 0, \forall x \in I$ dacă și numai dacă f este monoton descrescătoare pe I,

Etapele stabilirii intervalelor de monotonie ale unei funcţii:

- Calculul derivatei de ordin 1 al funcției $f$

- Rezolvarea ecuaţiei $f^{'} (x) = 0$

- Semnul funcţiei pe intervalele pe care nu se anulează, cu ajutorul unui tabel de semn, în care pe primul rând punem valorile lui x, pe al doilea $f' (x)$ , iar pe al treilea $f (x)$

- se stabilesc intervalele de monotonie în funcţie de semnul derivatei.

Teorema lui Fermat

Fie $f : I \to R$ o funcție derivabilă pe un interval I. Dacă $x_{0} \in I$ este un punct de extrem din interiorul intervalului, atunci $f' (x_{0}) = 0$ .

Rolul derivatei doi în studiul funcțiilor (convexitate, concavitate și puncte de inflexiune)

Fie

f : I \to R

o funcție de două ori derivabilă pe un interval I. Dacă:

f^{″} \geq 0, \forall x \in I

dacă și numai dacă f este convexă pe I,

b) $f^{″} (x) \leq 0, \forall x \in I$ dacă și numai dacă f este concavă pe I,

Concluzii

Pentru a stabili dacă o funcție este crescătoare sau descrescătoare se stabilește semnul derivatei de ordin 1.

Pentru a stabili dacă o funcție este convexă sau concava se stabilește semnul derivatei de ordin 2.

Punctele de extrem se găsesc printre rădăcinile primei derivate a unei funcţii derivabile.

Punctele de inflexiune se găsesc printre rădăcinile celei de a doua derivate a unei funcţii de două ori derivabile.

Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor