Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

Rolul derivatei întâi în studiul funcțiilor (monotonie și puncte de extrem)

Consecinţă a teoremei lui Lagrange.
 
Fie  f : I R  o funcție derivabilă pe un interval I. Dacă:
 
a)  f x 0 , x I  dacă și numai dacă f este monoton crescătoare pe I,  
 

b)  f x 0 , x I  dacă și numai dacă f este monoton descrescătoare pe I,  

Etapele stabilirii intervalelor de monotonie ale unei funcţii:

- Calculul derivatei de ordin 1 al funcției f

- Rezolvarea ecuaţiei  f x = 0

- Semnul funcţiei pe intervalele pe care nu se anulează, cu ajutorul unui tabel de semn, în care pe primul rând punem valorile lui x, pe al doilea f x , iar pe al treilea   f x

- se stabilesc intervalele de monotonie în funcţie de semnul derivatei.

Teorema lui Fermat

Fie  f : I R o funcție derivabilă pe un interval I. Dacă  x 0 I   este un punct de extrem din interiorul intervalului, atunci f x 0 = 0 .

Rolul derivatei doi în studiul funcțiilor (convexitate, concavitate și puncte de inflexiune)

Fie  f : I R  o funcție de două ori derivabilă pe un interval I. Dacă:
 
 
a)  f 0 , x I  dacă și numai dacă f este convexă pe I,  
 
 

b)  f x 0 , x I dacă și numai dacă f este concavă pe I,  

Concluzii

Pentru a stabili dacă o funcție este crescătoare sau descrescătoare se stabilește semnul derivatei de ordin 1.

Pentru a stabili dacă o funcție este convexă sau concava se stabilește semnul derivatei de ordin 2.

Punctele de extrem se găsesc printre rădăcinile primei derivate a unei funcţii derivabile.

Punctele de inflexiune se găsesc printre rădăcinile celei de a doua derivate a unei funcţii de două ori derivabile.


Analiza matematică :: Limite de funcții, limite remarcabile

Analiza matematică :: Asimptote

Analiza matematică :: Derivatele funcțiilor elementare, derivata produsului/raportului

Analiza matematică :: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

Analiza matematică :: Ecuația tangentei

Analiza matematică :: Primitiva unui funcții

Analiza matematică :: Tabel integrale nedefinite

Analiza matematică :: Integrale definite

Analiza matematică :: Aplicații ale integralei definite în geometrie