Calculator determinant și matrice inversă 2×2, 3×3 — pas cu pas (Sarrus, adjunctă)

Calculatorul de mai sus calculează determinantul și inversa unei matrice pătratice de ordinul 2 sau 3 și afișează rezolvarea pas cu pas, în forma cerută la Bacalaureat: determinantul cu formula \(ad - bc\) sau cu regula lui Sarrus (cu toate cele șase produse), transpusa \(A^t\), complemenții algebrici, adjuncta \(A^*\) și inversa \(A^{-1}\), cu fracțiile simplificate. La final face și proba \(A \cdot A^{-1} = I_n\). Poți introduce numere întregi, zecimale (cu virgulă sau cu punct) și fracții de forma 3/4. Calculele sunt exacte, fără rotunjiri. Rezolvă mai întâi exercițiul pe hârtie, apoi compară fiecare pas — așa vezi imediat unde ai greșit un semn.

Cum se calculează determinantul

Pentru o matrice de ordinul 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară:

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]

De exemplu, \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1\).

Pentru o matrice de ordinul 3 se folosește regula lui Sarrus: copiezi primele două linii sub determinant, aduni cele trei produse de pe diagonalele paralele cu diagonala principală și scazi cele trei produse de pe diagonalele paralele cu diagonala secundară:

\[ \det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \]

Regula lui Sarrus funcționează numai pentru determinanți de ordinul 3. Metoda alternativă, valabilă pentru orice ordin, este dezvoltarea după o linie sau o coloană: \(\det A = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\). Este avantajoasă când linia aleasă conține zerouri. Calculatorul arată ambele metode, iar proprietățile care simplifică mult calculul (linii proporționale, scoaterea factorului comun, adunarea unei linii înmulțite cu un număr) sunt explicate pe pagina determinanți.

Când este o matrice inversabilă

O matrice pătratică \(A\) este inversabilă dacă și numai dacă \(\det A \neq 0\). Dacă determinantul este zero, matricea se numește singulară și nu are inversă — de obicei pentru că o linie este combinație a celorlalte (de exemplu, a doua linie este dublul primei). La exercițiile cu parametru, cum ar fi „determinați \(m\) pentru care \(A(m)\) este inversabilă”, calculezi \(\det A(m)\) ca expresie în \(m\) și pui condiția \(\det A(m) \neq 0\): dacă obții \(\det A(m) = m^2 - 4\), matricea este inversabilă pentru \(m \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\). Calculatorul lucrează cu valori numerice, așa că pentru o matrice cu parametru înlocuiește \(m\) cu o valoare concretă ca să-ți verifici calculul. Definiția și proprietățile inversei sunt pe pagina matrice inversabilă.

Algoritmul pentru inversa unei matrice 3×3

1. Calculezi \(\det A\). Dacă \(\det A = 0\), te oprești: matricea nu este inversabilă.
2. Scrii transpusa \(A^t\): linia 1 devine coloana 1, linia 2 devine coloana 2, linia 3 devine coloana 3.
3. Construiești adjuncta \(A^*\): înlocuiești fiecare element al lui \(A^t\) cu complementul său algebric \(\delta_{ij} = (-1)^{i+j} d_{ij}\), unde \(d_{ij}\) este minorul obținut tăind linia \(i\) și coloana \(j\) din \(A^t\).
4. Împarți la determinant: \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot A^*\).

Pentru ordinul 2 algoritmul se reduce la o formulă scurtă: se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală și se schimbă semnul celor de pe diagonala secundară:

\[ A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

La final, verifică întotdeauna că \(A \cdot A^{-1} = I_n\). Inversa se folosește la ecuațiile matriceale (\(AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B\)) și la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu metoda matriceală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (2×2). \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\). \(\det A = 6 - 5 = 1 \neq 0\), deci \(A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\).

Exemplul 2 (3×3). \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\). Cu Sarrus: \(\det A = (0 + 40 + 0) - (15 + 24 + 0) = 1\). Transpusa este \(A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 6 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}\), iar complemenții algebrici ai elementelor ei dau adjuncta \(A^* = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\). Cum \(\det A = 1\), \(A^{-1} = A^*\).

Exemplul 3 (matrice neinversabilă). \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\): \(\det A = 4 - 4 = 0\), deci \(A\) nu are inversă. Se vede și direct: a doua linie este dublul primei. La fel, \(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (6 + 0 + 1) - (3 + 4 + 0) = 0\).

Greșeli frecvente

• Uitarea transpunerii. Complemenții algebrici se calculează pe \(A^t\) (sau pe \(A\), iar rezultatul se transpune). Dacă sari peste transpunere, obții transpusa inversei, care e greșită pentru orice matrice nesimetrică.
• Semnele complemenților. Factorul \((-1)^{i+j}\) dă semnele în „tablă de șah”: \(+\,-\,+\) pe prima linie, \(-\,+\,-\) pe a doua, \(+\,-\,+\) pe a treia. Cele mai multe greșeli apar la \(\delta_{12}\), \(\delta_{21}\), \(\delta_{23}\) și \(\delta_{32}\).
• Împărțirea la determinant. Toate elementele adjunctei se împart la \(\det A\), nu doar primul, iar împărțirea nu se înlocuiește cu înmulțirea. Păstrează fracțiile simplificate, nu le transforma în zecimale.
• Semnele produselor din Sarrus. Produsele de pe diagonalele secundare se scad în întregime: un produs negativ scăzut devine plus.

Pentru recapitularea întregii materii de algebră, vezi și formulele pentru Bacalaureat la matematică.

Întrebări frecvente

Cum calculez inversa unei matrice 3×3? Calculezi determinantul și verifici că este diferit de zero. Scrii transpusa \(A^t\), înlocuiești fiecare element al ei cu complementul algebric \((-1)^{i+j} d_{ij}\) și obții adjuncta \(A^*\). Inversa este \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} A^*\). Verifici rezultatul înmulțind: \(A \cdot A^{-1}\) trebuie să dea \(I_3\).

Când o matrice este inversabilă? O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul: \(\det A \neq 0\). Matricele nepătratice nu au inversă. Pentru o matrice cu parametru, rezolvi ecuația \(\det A(m) = 0\) și excluzi soluțiile ei.

Cum se calculează determinantul cu regula lui Sarrus? Scrii sub determinantul de ordinul 3 primele două linii, aduni cele trei produse de pe diagonalele „descendente” (paralele cu diagonala principală) și scazi cele trei produse de pe diagonalele „ascendente”. De exemplu, pentru matricea cu liniile (1, 2, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 0) obții \((0 + 40 + 0) - (15 + 24 + 0) = 1\). Regula se aplică doar la ordinul 3.