Calculator ecuația dreptei prin două puncte — pantă, distanță, mijloc (pas cu pas)

Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, iar ecuația ei se poate scrie în mai multe forme echivalente. Calculatorul de mai sus pornește de la coordonatele punctelor \(A(x_A, y_A)\) și \(B(x_B, y_B)\) și afișează fiecare pas: panta cu valorile înlocuite, ecuația dreptei în forma punct-pantă, explicită, generală și prin tăieturi, distanța \(AB\), mijlocul segmentului, intersecțiile cu axele și perpendiculara prin \(A\). Toate calculele sunt exacte, cu fracții ireductibile și radicali simplificați, exact cum se cere la teză, la Evaluarea Națională și la bacalaureat. Dacă adaugi și un punct \(C\), afli dacă cele trei puncte sunt coliniare, distanța de la \(C\) la dreapta \(AB\) și aria triunghiului \(ABC\).

Formula ecuației dreptei prin două puncte

\[ \dfrac{y - y_A}{y_B - y_A} = \dfrac{x - x_A}{x_B - x_A} \]

Formula se folosește când \(x_A \neq x_B\) și \(y_A \neq y_B\). Ea spune că orice punct \(P(x, y)\) de pe dreaptă „se mișcă” în aceeași proporție pe verticală și pe orizontală ca segmentul \(AB\). Echivalent, dreapta \(AB\) este mulțimea punctelor \(P\) pentru care \(A\), \(B\), \(P\) sunt coliniare, adică determinantul

\[ \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \end{vmatrix} = 0. \]

Ambele variante duc la aceeași ecuație; cea cu determinant are avantajul că funcționează și pentru dreptele verticale sau orizontale. Detalii și alte forme găsești pe pagina ecuația dreptei, panta și unghiul, iar despre sistemul de axe și coordonatele unui punct pe pagina coordonate în plan.

Panta și cazurile particulare

Panta (coeficientul unghiular) măsoară cât de „înclinată” este dreapta:

\[ m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \operatorname{tg} \alpha, \]

unde \(\alpha\) este unghiul format de dreaptă cu sensul pozitiv al axei \(Ox\). Dacă \(m > 0\) dreapta „urcă” de la stânga la dreapta, dacă \(m < 0\) „coboară”. Există două cazuri particulare: când \(y_A = y_B\) dreapta este orizontală, \(m = 0\) și ecuația este \(y = y_A\); când \(x_A = x_B\) dreapta este verticală, panta nu există (am împărți la zero) și ecuația este \(x = x_A\). Dacă \(A = B\), prin punct trec o infinitate de drepte, deci problema nu are o soluție unică. Mai multe despre pantă, drepte paralele (\(m_1 = m_2\)) și perpendiculare (\(m_1 \cdot m_2 = -1\)) pe pagina panta unei drepte.

Formele ecuației dreptei

Pentru distanța dintre două puncte și pentru mijlocul segmentului se folosesc formulele

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}, \qquad M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right), \]

iar distanța de la un punct \(C\) la dreapta \(ax + by + c = 0\) și aria triunghiului sunt pe pagina distanțe și arii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: \(A(1, 2)\), \(B(3, 6)\). Panta este \(m = \dfrac{6 - 2}{3 - 1} = 2\). Forma punct-pantă: \(y - 2 = 2(x - 1)\), de unde \(y = 2x\), adică \(2x - y = 0\). Dreapta trece prin origine, deci nu are formă prin tăieturi. Distanța: \(AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\); mijlocul: \(M(2, 4)\).

Exemplul 2: \(A(0, 3)\), \(B(4, 0)\). \(m = \dfrac{0 - 3}{4 - 0} = -\dfrac{3}{4}\), deci \(y = -\dfrac{3}{4}x + 3\). Înmulțind cu 4 și trecând totul în stânga: \(3x + 4y - 12 = 0\). Împărțind la 12: \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1\) — dreapta taie axele exact în \(A\) și \(B\). \(AB = \sqrt{16 + 9} = 5\).

Exemplul 3: \(A(2, 1)\), \(B(2, 5)\). Abscisele sunt egale, deci dreapta este verticală: \(x = 2\), iar panta nu există. Distanța este pur și simplu diferența ordonatelor: \(AB = |5 - 1| = 4\), iar mijlocul este \(M(2, 3)\).

Greșeli frecvente

• Ordinea diferențelor. La pantă scazi în aceeași ordine sus și jos: \(\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). Varianta \(\dfrac{y_B - y_A}{x_A - x_B}\) schimbă semnul pantei.
• Panta inversată. Panta este „diferența de y supra diferența de x”, nu invers.
• Dreapta verticală. Când \(x_A = x_B\), nu scrie \(m = \infty\) și nici \(y = \ldots\); ecuația corectă este \(x = x_A\).
• Semnele la înlocuire. Pentru \(A(-2, 3)\), forma punct-pantă este \(y - 3 = m(x + 2)\). Pune paranteze în jurul numerelor negative.
• Radicalul nesimplificat. \(\sqrt{20}\) se scrie \(2\sqrt{5}\), iar \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) se raționalizează: \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).
• Forma generală cu fracții. La \(ax + by + c = 0\) se obișnuiește să înmulțești cu numitorul comun, ca \(a\), \(b\), \(c\) să fie întregi.

Întrebări frecvente

Cum aflu ecuația dreptei care trece prin două puncte? Calculezi panta \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\), apoi scrii \(y - y_A = m(x - x_A)\) și aduci ecuația la forma dorită (explicită \(y = mx + n\) sau generală \(ax + by + c = 0\)). Echivalent, poți folosi direct \(\dfrac{y - y_A}{y_B - y_A} = \dfrac{x - x_A}{x_B - x_A}\). Dacă \(x_A = x_B\), dreapta este verticală, cu ecuația \(x = x_A\).

Cum se calculează panta unei drepte din două puncte? Împarți diferența ordonatelor la diferența absciselor, în aceeași ordine: \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). De exemplu, pentru \(A(1, 2)\) și \(B(3, 6)\), \(m = \dfrac{4}{2} = 2\). Dacă ordonatele sunt egale, \(m = 0\) (dreaptă orizontală); dacă abscisele sunt egale, panta nu există (dreaptă verticală).

Cum calculez distanța dintre două puncte? Folosești formula \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\), care vine din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele. De exemplu, pentru \(A(0, 3)\) și \(B(4, 0)\), \(AB = \sqrt{16 + 9} = 5\). Calculatorul simplifică automat radicalul, de exemplu \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).