Prisma triunghiulară regulată este o prismă dreaptă cu bazele triunghiuri echilaterale de latură \( l \) și cu trei fețe laterale dreptunghiuri congruente. Formulele principale sunt \( A_l = 3lh \), \( A_t = 3lh + \dfrac{l^2\sqrt{3}}{2} \) și \( V = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\cdot h \), unde \( h \) este înălțimea prismei, egală cu muchia laterală.
Formulele prismei triunghiulare regulate
Notăm prisma \( ABCA'B'C' \), cu latura bazei \( l \) și înălțimea \( h = AA' \). Toate formulele pornesc de la aria și perimetrul triunghiului echilateral:
| Mărime | Formula |
|---|---|
| Perimetrul bazei | \( P_b = 3l \) |
| Aria bazei | \( A_b = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \) |
| Aria laterală | \( A_l = P_b \cdot h = 3lh \) |
| Aria totală | \( A_t = A_l + 2A_b = 3lh + \dfrac{l^2\sqrt{3}}{2} \) |
| Volumul | \( V = A_b \cdot h = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\cdot h \) |
| Înălțimea bazei | \( h_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \) |
| Diagonala unei fețe laterale | \( d_f = \sqrt{l^2 + h^2} \) |
| Distanța de la \( A' \) la \( BC \) | \( A'M = \sqrt{h^2 + \dfrac{3l^2}{4}} \) |
Prisma are 6 vârfuri, 9 muchii (6 ale bazelor și 3 laterale) și 5 fețe (2 baze și 3 fețe laterale). Dacă toate muchiile sunt egale (\( h = l \)), atunci \( A_t = 3l^2 + \dfrac{l^2\sqrt{3}}{2} \) și \( V = \dfrac{l^3\sqrt{3}}{4} \).
Înălțimea și centrul bazei
În triunghiul echilateral \( ABC \), înălțimea \( AM \) (cu \( M \) mijlocul lui \( BC \)) este și mediană, deci \( AM = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \). Centrul bazei \( O \) se află pe \( AM \), la două treimi de vârf:
\[ AO = R = \dfrac{l\sqrt{3}}{3}, \qquad OM = r = \dfrac{l\sqrt{3}}{6} \]unde \( R \) și \( r \) sunt razele cercurilor circumscris și înscris bazei. Segmentul care unește centrele celor două baze este paralel cu muchiile laterale și are lungimea \( h \) (axa prismei).
Diagonalele fețelor laterale
Fiecare față laterală este un dreptunghi cu laturile \( l \) și \( h \), deci diagonala ei (de exemplu \( A'B \)) se calculează cu teorema lui Pitagora: \( d_f = \sqrt{l^2 + h^2} \). Unghiul dintre diagonala unei fețe laterale și planul bazei are \( \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{h}{l} \).
Prisma triunghiulară nu are diagonale ale prismei: oricare două vârfuri se află pe aceeași față, deci singurele „diagonale” sunt cele ale fețelor laterale (6 în total).
Distanța de la A′ la BC și unghiul dintre plane
O problemă tipică de Evaluare Națională cere distanța de la \( A' \) la dreapta \( BC \). Cum \( AA' \perp (ABC) \) și \( AM \perp BC \), din teorema celor trei perpendiculare rezultă \( A'M \perp BC \). În triunghiul dreptunghic \( A'AM \):
\[ A'M = \sqrt{AA'^2 + AM^2} = \sqrt{h^2 + \dfrac{3l^2}{4}} \]Tot de aici, unghiul dintre planele \( (A'BC) \) și \( (ABC) \) este \( \angle A'MA \), cu \( \operatorname{tg}\angle A'MA = \dfrac{h}{AM} = \dfrac{2h}{l\sqrt{3}} \), iar aria secțiunii \( A'BC \) este \( \dfrac{l \cdot A'M}{2} \).
Prisma triunghiulară dreaptă vs. regulată
- Prisma triunghiulară dreaptă: muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, dar baza poate fi orice triunghi (dreptunghic, isoscel, oarecare). Formulele generale \( A_l = P_b \cdot h \) și \( V = A_b \cdot h \) rămân valabile, cu \( P_b \) și \( A_b \) ale triunghiului respectiv.
- Prisma triunghiulară regulată: este prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral. Fețele laterale sunt trei dreptunghiuri congruente.
Orice prismă regulată este dreaptă, dar nu orice prismă dreaptă este regulată. Pentru celelalte tipuri vezi pagina generală prisma regulată dreaptă și prisma patrulateră regulată.
Greșeli frecvente
- Aria bazei scrisă greșit: aria triunghiului echilateral este \( \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \), nu \( \dfrac{l^2}{2} \) sau \( l^2 \).
- O singură bază în aria totală: prisma are două baze, deci se adună \( 2A_b = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{2} \).
- Înălțimea bazei confundată cu înălțimea prismei: \( h_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \) este în triunghiul bazei, iar \( h \) este muchia laterală.
- Căutarea diagonalei prismei: prisma triunghiulară nu are diagonale interioare; se cer de obicei diagonalele fețelor laterale.
Întrebări frecvente
Care este formula volumului prismei triunghiulare regulate? Volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea: \( V = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\cdot h \). De exemplu, pentru \( l = 6 \) cm și \( h = 10 \) cm, \( V = 9\sqrt{3}\cdot 10 = 90\sqrt{3}\ \text{cm}^3 \).
Cum se calculează aria laterală a prismei triunghiulare regulate? Aria laterală este suma ariilor celor trei dreptunghiuri laterale: \( A_l = 3 \cdot l \cdot h = 3lh \), adică perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea.
Ce proprietăți are prisma triunghiulară regulată? Are bazele triunghiuri echilaterale congruente în plane paralele, muchiile laterale egale, paralele și perpendiculare pe baze, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri congruente. Are 6 vârfuri, 9 muchii și 5 fețe.
Care este diferența dintre prisma triunghiulară dreaptă și cea regulată? La prisma dreaptă muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, dar baza poate fi orice triunghi. Prisma regulată este o prismă dreaptă a cărei bază este triunghi echilateral.
Pagini conexe: prisma regulată (toate tipurile), prisma patrulateră regulată, paralelipipedul dreptunghic, cubul, piramida regulată, toate formulele de arii și volume.
Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci latura bazei și înălțimea, primești ariile și volumul cu pașii de rezolvare.
Exersează: fișă de lucru — prisma dreaptă regulată, clasa a 8-a, corpuri geometrice: arii și volume, unghiuri în spațiu și secțiuni, probleme de Evaluare Națională — geometrie în spațiu.