Piramida triunghiulară regulată are baza un triunghi echilateral de latură \( l \), iar vârful se proiectează în centrul de greutate al bazei. Formulele principale: apotema bazei \( a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{6} \), \( A_l = \dfrac{3l \cdot a_p}{2} \), \( A_t = A_l + \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \) și \( V = \dfrac{l^2\sqrt{3} \cdot h}{12} \). Tetraedrul regulat este cazul în care toate muchiile sunt egale.
Elementele piramidei triunghiulare regulate
Fie piramida \( VABC \) cu baza triunghiul echilateral \( ABC \), \( O \) centrul bazei (centrul de greutate, care coincide cu ortocentrul și centrele cercurilor înscris și circumscris) și \( M \) mijlocul laturii \( AB \).
| Element | Notație | Formula |
|---|---|---|
| Înălțimea triunghiului de bază | \( CM \) | \( \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \) |
| Aria bazei | \( A_b \) | \( \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \) |
| Perimetrul bazei | \( P_b \) | \( 3l \) |
| Apotema bazei | \( a_b = OM \) | \( \dfrac{l\sqrt{3}}{6} \) (o treime din \( CM \)) |
| Raza cercului circumscris bazei | \( R = OC \) | \( \dfrac{l\sqrt{3}}{3} \) (două treimi din \( CM \)) |
| Apotema piramidei | \( a_p = VM \) | \( \sqrt{h^2 + \dfrac{l^2}{12}} \) |
| Muchia laterală | \( m_l = VC \) | \( \sqrt{h^2 + \dfrac{l^2}{3}} \) |
De ce o treime? Centrul de greutate împarte mediana \( CM \) în raportul \( 2:1 \) de la vârf, deci \( OM = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{l\sqrt{3}}{2} = \dfrac{l\sqrt{3}}{6} \) și \( OC = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{l\sqrt{3}}{2} = \dfrac{l\sqrt{3}}{3} \).
Relațiile Pitagora
\[ \triangle VOM:\quad a_p^2 = h^2 + a_b^2 = h^2 + \frac{l^2}{12} \] \[ \triangle VOC:\quad m_l^2 = h^2 + R^2 = h^2 + \frac{l^2}{3} \] \[ \triangle VMB:\quad m_l^2 = a_p^2 + \frac{l^2}{4} \]Toate se obțin cu teorema lui Pitagora; din două mărimi cunoscute le afli pe celelalte.
Formulele ariilor și volumului
\[ A_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2} = \frac{3l \cdot a_p}{2} \] \[ A_t = A_l + A_b = \frac{3l \cdot a_p}{2} + \frac{l^2\sqrt{3}}{4} \] \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} = \frac{l^2\sqrt{3} \cdot h}{12} \]Unghiul dintre o față laterală și planul bazei este \( \angle VMO \), cu \( \operatorname{tg} \angle VMO = \dfrac{h}{a_b} \); unghiul dintre o muchie laterală și planul bazei este \( \angle VCO \), cu \( \operatorname{tg} \angle VCO = \dfrac{h}{R} \).
Tetraedrul regulat (caz particular)
Tetraedrul regulat este piramida triunghiulară regulată cu toate cele 6 muchii egale cu \( l \): toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale, iar oricare față poate fi considerată bază. Din \( h^2 = l^2 - R^2 = l^2 - \dfrac{l^2}{3} = \dfrac{2l^2}{3} \):
\[ h = \frac{l\sqrt{6}}{3}, \qquad a_p = \frac{l\sqrt{3}}{2}, \qquad A_t = 4 \cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4} = l^2\sqrt{3}, \qquad V = \frac{l^3\sqrt{2}}{12} \]Diferența: orice tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară regulată, dar nu invers. La o piramidă triunghiulară regulată oarecare fețele laterale sunt doar isoscele, iar muchia laterală poate fi diferită de latura bazei.
Greșeli frecvente
- Apotema bazei luată \( \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \): aceasta este înălțimea triunghiului; apotema bazei este \( \dfrac{l\sqrt{3}}{6} \).
- Confuzia dintre \( a_b \) și \( R \): în \( \triangle VOM \) intră \( \dfrac{l\sqrt{3}}{6} \), în \( \triangle VOC \) intră \( \dfrac{l\sqrt{3}}{3} \).
- Volumul tetraedrului scris \( \dfrac{l^3\sqrt{2}}{6} \): acela este volumul piramidei patrulatere cu toate muchiile egale; la tetraedru numitorul este 12.
Întrebări frecvente
Care este formula volumului piramidei triunghiulare regulate? \( V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} = \dfrac{l^2\sqrt{3} \cdot h}{12} \). De exemplu, pentru \( l = 12 \) cm și \( h = 4 \) cm, \( V = 48\sqrt{3}\ \text{cm}^3 \).
Cât este apotema bazei la piramida triunghiulară regulată? \( a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{6} \), adică o treime din înălțimea triunghiului echilateral de bază (raza cercului înscris).
Care este diferența dintre tetraedrul regulat și piramida triunghiulară regulată? La tetraedrul regulat toate cele 6 muchii sunt egale și toate fețele sunt echilaterale. La piramida triunghiulară regulată doar baza trebuie să fie echilaterală, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.
Care este volumul tetraedrului regulat? \( V = \dfrac{l^3\sqrt{2}}{12} \), iar înălțimea este \( h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3} \). Pentru muchia de 12 cm: \( h = 4\sqrt{6} \) cm și \( V = 144\sqrt{2}\ \text{cm}^3 \).
Pagini conexe
- Piramida regulată — formule generale (toate tipurile într-un singur tabel)
- Piramida triunghiulară regulată și tetraedrul regulat
- Piramida patrulateră regulată
- Piramida hexagonală regulată
- Trunchiul de piramidă — ce rămâne după o secțiune paralelă cu baza
- Teorema lui Pitagora
Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.
Exersează: fișă de lucru — piramida regulată, clasa a 8-a, fișă corpuri geometrice — arii și volume și probleme tip Evaluare Națională — geometrie în spațiu, toate cu răspunsuri.