Media aritmetică — formulă, proprietăți și exemplu rezolvat

Media aritmetică a două numere $a$ și $b$ este $M_a={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$: adunăm numerele și împărțim suma la 2. Pentru $n$ numere, media aritmetică este suma lor împărțită la $n$. Este cea mai folosită medie în viața de zi cu zi — de la media notelor școlare până la statistici — și punctul de plecare în studiul celorlalte medii.

Formula pentru 2, 3 și n numere

Media aritmetică a 2 numere:

$$M_a=\frac{a+b}{2}$$

Media aritmetică a 3 numere:

$$M_a=\frac{a+b+c}{3}$$

Media aritmetică pentru $n$ numere:

$$M_a=\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n}{n}$$

În cuvinte: suma numerelor împărțită la câte numere sunt. Intuitiv, $M_a$ este valoarea „de echilibru”: dacă am înlocui fiecare număr cu $M_a$, suma totală ar rămâne neschimbată. De aici rezultă o formulă foarte utilă în probleme: $a_1+a_2+\cdots +a_n=n\cdot M_a$.

Cum se calculează media aritmetică — pași

Media aritmetică a notelor

Media la o materie se calculează ca medie aritmetică a notelor: aduni notele și împarți la numărul lor. De exemplu, notele $7,8,10,9$ dau ${\displaystyle \frac{34}{4}}=8,50$. Diferența importantă este între rotunjire și trunchiere:

• Media la o disciplină (semestrială/anuală) se rotunjește, conform regulamentului școlar, la cel mai apropiat număr întreg: $8,50$ devine $9$, iar $8,49$ devine $8$.
• Mediile generale și mediile de examen (media generală anuală, media de absolvire, media la Evaluarea Națională) se calculează de regulă cu două zecimale, fără rotunjire: $\mathrm{8,476}6\dots$ se scrie $8,47$.

Pentru media cu care intri la liceu poți folosi calculatorul de medie de admitere la liceu. Când notele au „greutăți” diferite (de exemplu un test contează dublu), ai nevoie de media ponderată.

Proprietăți

• Este între minim și maxim: $min(a_i)\le M_a\le max(a_i)$, cu egalitate doar când toate numerele sunt egale.
• Suma abaterilor față de medie este zero: $(a_1-M_a)+(a_2-M_a)+$ $\cdots +(a_n-M_a)=$ $0$. Abaterile pozitive le compensează exact pe cele negative.
• Adăugarea unui număr $x$: noua medie este ${\displaystyle \frac{n\cdot M_a+x}{n+1}}$. Ea crește dacă $x>M_a$, scade dacă $x<M_a$ și rămâne aceeași dacă $x=M_a$.
• Translație și scalare: dacă adunăm același număr $c$ la fiecare termen, media crește cu $c$; dacă înmulțim fiecare termen cu $k$, media se înmulțește cu $k$.

Media aritmetică în statistică

În statistică, media aritmetică (notată adesea $\overline{x}$) descrie „centrul” unui set de date. Ea este însă sensibilă la valori extreme. Pentru datele $1,2,3,4,100$, media este ${\displaystyle \frac{110}{5}}=22$, deși patru dintre cele cinci valori sunt sub 5. Mediana (valoarea din mijloc după ordonare) este $3$ și descrie mai bine datele. De aceea salariile sau prețurile caselor se raportează adesea prin mediană. Când media și mediana sunt apropiate, datele sunt echilibrate. Când media este mult mai mare decât mediana, câteva valori foarte mari „trag” media în sus.

Relația cu celelalte medii

Pentru numere pozitive are loc lanțul $M_h\le M_g\le M_a\le M_p$. Așadar media armonică $\le$ media geometrică $\le$ media aritmetică, cu egalitate doar când numerele sunt egale. Pentru două numere:

$$\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$

Demonstrația și aplicațiile sunt în pagina inegalitatea mediilor. Toate mediile sunt adunate în pagina Medii.

Greșeli frecvente

• Împarți la un număr greșit de termeni. La $4,0,8$ media este ${\displaystyle \frac{12}{3}}=4$, nu ${\displaystyle \frac{12}{2}}$: și zero se numără.
• Faci media mediilor. Media a două grupe de elevi de mărimi diferite nu este media celor două medii, ci o medie ponderată cu numărul de elevi.
• Uiți parantezele: $a+b/2$ nu este $(a+b)/2$. Pe calculator scrie întâi suma, apoi împarte.
• Rotunjești unde trebuie trunchiat (sau invers). Media unei materii se rotunjește, dar media generală se trunchiază la două zecimale.

Întrebări frecvente

Cum se calculează media aritmetică? Aduni toate numerele și împarți suma la câte numere ai adunat. Pentru două numere, $M_a={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$; de exemplu, media lui 3 și 8 este $5,5$, un număr care nu se află printre cele date.

Care este formula mediei aritmetice a 3 numere? $M_a={\displaystyle \frac{a+b+c}{3}}$. De exemplu, pentru $5,9,13$ obții ${\displaystyle \frac{27}{3}}=9$.

Cum calculez media notelor? Aduni notele și împarți la numărul lor, apoi rotunjești la cel mai apropiat întreg (de la ,50 în sus). Notele $7,8,10,9$ dau $8,50$, adică media $9$.

Exersează: fișă de lucru printabilă — organizarea datelor și media aritmetică, clasa a 7-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.