Conul circular drept — formule arie laterală, totală, volum + exemplu

Conul circular drept are aria laterală $A_l=\pi RG$, aria totală $A_t=\pi R(G+R)$ și volumul $V={\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}$, unde $R$ este raza bazei, $h$ înălțimea și $G$ generatoarea, legate prin relația $G^2=h^2+R^2$. Conul se obține rotind un triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Mai jos găsești desfășurarea (sectorul de cerc și unghiul lui), secțiunea axială, conul echilateral, legătura cu cilindrul, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.

Elementele conului

Baza conului este un disc cu centrul $O$ și raza $R$. Vârful $V$ se află pe perpendiculara pe bază ridicată în $O$; segmentul $VO$ este înălțimea $h$, iar dreapta $VO$ este axa conului. O generatoare $G$ este orice segment $VA$ care unește vârful cu un punct $A$ de pe cercul bazei; toate generatoarele au aceeași lungime. Se pot folosi formulele de la piramida regulată, ținând cont că baza este un cerc: generatoarea joacă rolul apotemei piramidei, iar lungimea cercului $2\pi R$ pe cel al perimetrului bazei.

Relația dintre generatoare, înălțime și rază

Triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$: catetele sunt înălțimea $h$ și raza $R$, iar ipotenuza este generatoarea $G$. Din teorema lui Pitagora:

De aici $G=\sqrt{h^2+R^2}$, $h=\sqrt{G^2-R^2}$ și $R=\sqrt{G^2-h^2}$. Generatoarea este întotdeauna mai mare decât înălțimea și decât raza.

Formulele conului

Pentru a afla înălțimea din volum: $h={\displaystyle \frac{3V}{\pi R^2}}$. Dacă știi diametrul $D$, înlocuiește $R={\displaystyle \frac{D}{2}}$.

Desfășurarea conului

Tăiem suprafața laterală de-a lungul unei generatoare și o întindem în plan: obținem un sector de cerc cu raza $G$, al cărui arc are lungimea egală cu lungimea cercului bazei, $2\pi R$. La acesta se adaugă discul bazei. Aria sectorului este jumătate din produsul dintre arc și rază: ${\displaystyle \frac{2\pi R\cdot G}{2}}=\pi RG$ — de aici formula ariei laterale (vezi și lungimea și aria cercului).

Unghiul sectorului $u$ (în grade) se află din egalitatea lungimilor de arc ${\displaystyle \frac{\pi Gu}{{180}^{\circ }}}=2\pi R$, deci:

De exemplu, dacă $G=2R$ desfășurarea este un semicerc ($u={180}^{\circ }$), iar dacă $G=3R$ unghiul este ${120}^{\circ }$. Invers, din unghiul sectorului și generatoare afli raza: $R={\displaystyle \frac{G\cdot u}{{360}^{\circ }}}$.

Secțiunea axială și conul echilateral

Secțiunea cu un plan care conține axa $VO$ este un triunghi isoscel cu laturile egale $G$ și baza $2R$. Aria ei este $A_s={\displaystyle \frac{2R\cdot h}{2}}=Rh$. Unghiul de la vârf al secțiunii axiale se numește unghiul conului; jumătatea lui, $\alpha$, verifică $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{R}{G}}$.

Conul este echilateral dacă secțiunea axială este triunghi echilateral, adică $G=2R$. Atunci $h=R\sqrt{3}$, desfășurarea este un semicerc, iar:

Conul și cilindrul

Un con și un cilindru cu aceeași bază și aceeași înălțime au volumele în raportul 1 : 3:

Este aceeași regulă ca la piramidă și prismă: orice corp „cu vârf” are volumul o treime din corpul „drept” corespunzător. Dacă tai un con cu un plan paralel cu baza obții un con mic și un trunchi de con; rotind un semicerc obții o sferă.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre $h$ și $G$. În aria laterală intră generatoarea ($\pi RG$), în volum intră înălțimea ($\pi R^{2}h/3$). Dacă enunțul dă doar una dintre ele, o calculezi pe cealaltă cu Pitagora.
• Uitarea factorului ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ la volum — fără el obții volumul cilindrului.
• Diametrul în locul razei. Pentru $D=12$ cm, $R=6$ cm.
• Unghiul desfășurării calculat cu ${\displaystyle \frac{G}{R}}$ în loc de ${\displaystyle \frac{R}{G}}$: unghiul este mereu sub ${360}^{\circ }$, pentru că $R<G$.

Întrebări frecvente

Care este formula volumului conului? $V={\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}$, adică o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea. Pentru $R=3$ cm și $h=4$ cm obții $V=12\pi {\text{cm}}^3$.

Cum se calculează generatoarea conului? Cu teorema lui Pitagora în triunghiul format de înălțime, rază și generatoare: $G=\sqrt{h^2+R^2}$. De exemplu, pentru $R=6$ și $h=8$, $G=10$.

Cât este unghiul desfășurării conului? Sectorul de cerc obținut are unghiul $u={\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot R}{G}}$. Pentru un con echilateral ($G=2R$) unghiul este ${180}^{\circ }$, deci desfășurarea este un semicerc.

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, trunchiul de con, cilindrul, sfera, trunchiul de piramidă, cercul.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.