Paralelipiped dreptunghic — formule: arie, volum, diagonală (cu exemple)

Paralelipipedul dreptunghic cu lungimea $L$, lățimea $l$ și înălțimea $h$ are aria laterală $A_l=2(L+l)h$, aria totală $A_t=2(Ll+lh+Lh)$, volumul $V=L\cdot l\cdot h$ și diagonala $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$. Este prisma dreaptă cu baza dreptunghi: toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri, iar muchiile care pleacă din același vârf sunt perpendiculare două câte două. Mai jos găsești derivarea diagonalei, desfășurarea, transformarea volumului în litri, unghiuri tipice de Evaluare Națională, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.

Elementele paralelipipedului dreptunghic

Definiție. Un paralelipiped dreptunghic este un poliedru convex cu șase fețe dreptunghiulare. Notăm baza de jos $ABCD$ și baza de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, astfel încât $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ sunt muchiile laterale.

• 6 fețe, grupate în 3 perechi de fețe opuse congruente și paralele: două de $L\times l$ (bazele), două de $L\times h$ și două de $l\times h$.
• 12 muchii: câte 4 de lungime $L$, $l$ și $h$; suma lor este $4(L+l+h)$.
• 8 vârfuri; din fiecare vârf pleacă trei muchii perpendiculare două câte două.
• 4 diagonale ($A{C}^{\prime }$, $B{D}^{\prime }$, $C{A}^{\prime }$, $D{B}^{\prime }$), toate egale, concurente în centrul paralelipipedului, unde se înjumătățesc.

Formulele paralelipipedului dreptunghic

Ca la orice prismă dreaptă, aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea, iar volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea. Formulele generale le găsești și la prisma regulată.

Diagonala: derivare cu teorema lui Pitagora de două ori

Pasul 1 – în bază. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$, deci diagonala bazei este

Pasul 2 – în spațiu. Muchia $C{C}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei, deci $C{C}^{\prime }\perp AC$. Triunghiul $AC{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $d_b$ și $h$:

Revezi enunțul la teorema lui Pitagora. Diagonala este cel mai lung segment care încape într-o cutie: de exemplu, o tijă de 13 cm încape exact într-o cutie de $12\times 4\times 3$ cm.

Desfășurarea paralelipipedului dreptunghic

Dacă „deschidem” cutia și o întindem în plan, obținem 6 dreptunghiuri: o bandă laterală formată din 4 dreptunghiuri alăturate, cu lungimea totală $2(L+l)$ (perimetrul bazei) și înălțimea $h$, plus cele două baze de $L\times l$ lipite de o parte și de alta. Banda laterală are aria $2(L+l)h$, adică exact $A_l$; cu bazele obținem $A_t$. Desfășurarea explică de ce o cutie fără capac are aria $A_l+A_b$, nu $A_t$.

Volumul în litri

Problemele cu acvarii, bazine sau cutii cer capacitatea în litri. Reține: $1{\text{dm}}^3=1\text{l}$, $1{\text{m}}^3=1000\text{l}$, $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$. Cel mai sigur este să transformi dimensiunile în decimetri înainte de înmulțire: un acvariu de $60\times 30\times 40$ cm are $6\cdot 3\cdot 4=72{\text{dm}}^3$, adică 72 l. Detalii la unități de măsură și transformări.

Unghiuri și distanțe tipice la Evaluarea Națională

Unghiul diagonalei cu planul bazei. Proiecția lui $A{C}^{\prime }$ pe bază este $AC$, deci unghiul căutat este $\mathrm{\angle }{C}^{\prime }AC$, din triunghiul dreptunghic $AC{C}^{\prime }$:

Distanța de la un vârf la o diagonală. Pentru distanța de la $B$ la $A{C}^{\prime }$: $AB\perp (BC{C}^{\prime })$, deci triunghiul $AB{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $B$, cu catetele $L$ și $B{C}^{\prime }=\sqrt{l^2+h^2}$. Înălțimea din unghiul drept este

Unghiul dintre o muchie și o diagonală de față se citește direct într-un dreptunghi: de exemplu, $\mathrm{tg}\mathrm{\angle }(A{B}^{\prime },AB)={\displaystyle \frac{h}{L}}$.

Cubul – caz particular

Dacă $L=l=h$, paralelipipedul devine cubul, iar formulele se simplifică: $A_t=6l^2$, $V=l^3$, $d=l\sqrt{3}$. Paralelipipedul dreptunghic este și un caz particular de prismă patrulateră dreaptă; dacă baza este pătrat, el este o prismă patrulateră regulată.

Greșeli frecvente

• Aria laterală cu baze cu tot. $A_l$ conține doar cele 4 fețe laterale; bazele se adaugă abia la $A_t$.
• Diagonala ca sumă. $d\ne L+l+h$ și nici $\sqrt{L+l+h}$; se ridică la pătrat fiecare dimensiune: $\sqrt{L^2+l^2+h^2}$.
• Unități amestecate. Dacă o dimensiune e în metri și alta în centimetri, transformă înainte de calcul; ${\text{cm}}^3$ se împart la 1000 pentru litri.
• Cutia „fără capac”. Un acvariu sau o cutie deschisă are o singură bază: aria este $A_l+A_b$.

Întrebări frecvente

Care este formula volumului paralelipipedului dreptunghic? $V=L\cdot l\cdot h$, adică produsul celor trei dimensiuni (aria bazei înmulțită cu înălțimea). Pentru $L=6$, $l=4$, $h=2$ cm obții $V=48{\text{cm}}^3$.

Cum se calculează diagonala paralelipipedului? Cu formula $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$, obținută aplicând teorema lui Pitagora de două ori: întâi în bază, apoi în triunghiul format de diagonala bazei și înălțime.

Cum calculez aria totală a paralelipipedului dreptunghic? Aduni ariile celor șase fețe: $A_t=2(Ll+lh+Lh)$. Echivalent, $A_t=A_l+2A_b$, unde $A_l=2(L+l)h$.

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, cubul, prisma regulată, piramida regulată, cilindrul, sfera.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.

Exersează: fișă de lucru printabilă — cubul și paralelipipedul dreptunghic, clasa a 8-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Vezi și: prisma triunghiulară regulată și prisma patrulateră regulată (baza pătrat) — formule, diagonale și exemple rezolvate.