Media ponderată — formula mediei aritmetice ponderate

Q: Cum calculez media ponderată cu procente?

Transformi procentele în zecimale (40\%=0,4), înmulțești fiecare valoare cu zecimala ei și aduni rezultatele. Dacă procentele nu dau 100\% în total, împarți la suma lor.

Formule

Media ponderată (media aritmetică ponderată) a numerelor $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ cu ponderile $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ este suma produselor „valoare × pondere” împărțită la suma ponderilor. Se folosește când valorile nu au aceeași importanță: note cu greutăți diferite, credite, cantități cumpărate la prețuri diferite.

Formula mediei ponderate

Media aritmetică ponderată a $n$ numere reale $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ cu ponderile $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ (pozitive):

$M_{a p} = \frac{a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} + \dots + a_{n} p_{n}}{p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n}}$

Pași: (1) înmulțești fiecare valoare cu ponderea ei; (2) aduni produsele; (3) aduni ponderile; (4) împarți prima sumă la a doua. Exemplu: notele $9$ (pondere $2$ ) și $6$ (pondere $1$ ) dau $\frac{18 + 6}{3} = 8$ .

Cum se calculează — pas cu pas

Pas	Ce faci	Exemplu: notele 10, 8, 6 cu ponderile 1, 2, 3
1	Înmulțești fiecare valoare cu ponderea ei	$10 \cdot 1 = 10$ , $8 \cdot 2 = 16$ , $6 \cdot 3 = 18$
2	Aduni produsele	$10 + 16 + 18 = 44$
3	Aduni ponderile	$1 + 2 + 3 = 6$
4	Împarți suma produselor la suma ponderilor	$44 : 6 \approx 7, 33$
5	Verifici: rezultatul e între minim și maxim	$6 \leq 7, 33 \leq 10$ ✓

Ponderile pot fi numere naturale (de câte ori contează o valoare), procente, fracții sau cantități (kilograme, credite, număr de elevi). Contează doar raportul dintre ele. Ponderile $1, 2, 3$ , $10, 20, 30$ sau $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ dau aceeași medie. De aceea ponderile se pot „normaliza”: le împarți la suma lor, astfel încât să însumeze $1$ (sau $100 %$ ), iar media devine simplu $\sum a_{i} \cdot w_{i}$ .

Diferența față de media aritmetică

În media aritmetică fiecare număr contează la fel. În media ponderată, o valoare cu pondere mare „trage” media spre ea. Pentru $9$ și $6$ , media aritmetică este $7, 5$ , iar media ponderată de mai sus este $8$ , mai aproape de nota cu pondere dublă.

	Media aritmetică	Media ponderată
Formula	$\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}$	$\frac{a_{1} p_{1} + \dots + a_{n} p_{n}}{p_{1} + \dots + p_{n}}$
Importanța valorilor	egală	dată de ponderi
Se împarte la	numărul de valori	suma ponderilor
Exemplu: 9 și 6	$7, 5$	$8$ (ponderi 2 și 1)

Media ponderată cu procente

Când ponderile sunt procente care însumează $100 %$ , numitorul devine $1$ și formula se simplifică:

$M = a_{1} \cdot \frac{p_{1}}{100} + a_{2} \cdot \frac{p_{2}}{100} + \dots + a_{n} \cdot \frac{p_{n}}{100}$

De exemplu, un examen cu proba scrisă $70 %$ (nota $8$ ) și proba orală $30 %$ (nota $10$ ) dă $0, 7 \cdot 8 + 0, 3 \cdot 10 = 5, 6 + 3 = 8, 6$ . Dacă procentele nu însumează $100 %$ , împarți la suma lor, ca în formula generală.

Exemple din viața reală

Media de admitere la liceu. Mulți ani, media de admitere a fost o medie ponderată: $M A = 0, 8 \cdot E N + 0, 2 \cdot A B S$ , adică $80 %$ media de la Evaluarea Națională și $20 %$ media de absolvire a claselor V–VIII. Formula se stabilește anual prin metodologia Ministerului Educației și s-a modificat în ultimii ani. Pentru regula în vigoare, verifică metodologia anului curent sau folosește calculatorul de medie de admitere.
Media generală cu credite (facultate): fiecare notă se înmulțește cu numărul de credite al disciplinei, apoi se împarte la totalul creditelor.
Prețul mediu: dacă cumperi cantități diferite la prețuri diferite, prețul mediu pe unitate este media prețurilor ponderată cu cantitățile.
Media unei clase din mediile grupelor: media fiecărei grupe se ponderează cu numărul de elevi din grupă.

Media aritmetică — caz particular

Dacă toate ponderile sunt egale, $p_{1} = p_{2} = \dots = p_{n} = p$ , atunci

$M_{a p} = \frac{p (a_{1} + \dots + a_{n})}{n p} = \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n} = M_{a}$

Deci media aritmetică este o medie ponderată cu ponderi egale. Ca și ea, media ponderată (cu ponderi pozitive) este cuprinsă între cea mai mică și cea mai mare valoare. Despre celelalte medii (media geometrică, media armonică) și relațiile dintre ele găsești detalii la inegalitatea mediilor și în pagina Medii.

Greșeli frecvente

Împarți la numărul de valori în loc de suma ponderilor.
Ponderi în procente care nu însumează 100% folosite fără să împarți la suma lor.
Faci media mediilor pentru grupe de mărimi diferite, ignorând numărul de elevi sau de produse din fiecare grupă.
Încurci valoarea cu ponderea: la credite, nota este valoarea și creditele sunt ponderea, nu invers.

Întrebări frecvente

Cum se calculează media ponderată? Înmulțești fiecare valoare cu ponderea ei, aduni produsele și împarți rezultatul la suma ponderilor: $M_{a p} = \frac{\sum a_{i} p_{i}}{\sum p_{i}}$ .

Care e diferența dintre media aritmetică și media ponderată? În media aritmetică toate valorile contează la fel și împarți la numărul lor. În media ponderată fiecare valoare are o pondere și împarți la suma ponderilor. Media aritmetică este cazul în care toate ponderile sunt egale.

Cum calculez media ponderată cu procente? Transformi procentele în zecimale ( $40 % = 0, 4$ ), înmulțești fiecare valoare cu zecimala ei și aduni rezultatele. Dacă procentele nu dau $100 %$ în total, împarți la suma lor.

Calculează rapid: calculator de medie ponderată — introduci valorile și ponderile, primești rezultatul cu calculul desfășurat.

Verifică-te: 3 întrebări

Media ponderată a numerelor $a_{1}, a_{2}$ cu ponderile $p_{1}, p_{2}$ este:

$\frac{a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2}}{p_{1} + p_{2}}$
$\frac{a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2}}{2}$
$\frac{a_{1} + a_{2}}{p_{1} + p_{2}}$

Un elev are nota 10 cu ponderea 3 și nota 7 cu ponderea 2. Media ponderată este:

$8, 5$
$8, 8$
$9$

Într-o clasă, 5 elevi au luat nota 6 și 15 elevi au luat nota 10. Media clasei este:

$8$
$9, 5$
$9$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — ponderi numere naturale

Calculați media ponderată a numerelor $6, 8, 10$ cu ponderile $1, 2, 3$ .

Rezolvare. $M_{a p} = \frac{6 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 10 \cdot 3}{1 + 2 + 3} =$ $\frac{6 + 16 + 30}{6} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3} \approx 8, 67$ . Media aritmetică ar fi $8$ : ponderea mare a lui $10$ ridică media.

Exemplul 2 — ponderi în procente

Nota finală se calculează astfel: proiect $30 %$ (nota $9$ ), test $50 %$ (nota $7$ ), activitate $20 %$ (nota $10$ ). Aflați nota finală.

Rezolvare. $0, 3 \cdot 9 + 0, 5 \cdot$ $7 + 0, 2 \cdot 10 =$ $2, 7 + 3, 5 + 2 = 8, 2$ .

Exemplul 3 — formula 80% / 20%

Calculați $0, 8 \cdot E N + 0, 2 \cdot A B S$ pentru media la Evaluarea Națională $8, 40$ și media de absolvire $9, 20$ .

Rezolvare. $0, 8 \cdot 8, 40 + 0, 2 \cdot 9, 20 = 6, 72 + 1, 84 = 8, 56$ . Aceasta este media ponderată $\frac{4 \cdot 8, 40 + 1 \cdot 9, 20}{5}$ , cu ponderile $4 : 1$ .

Exemplul 4 — media cu credite

Un student are: Analiză $9$ (6 credite), Algebră $7$ (5 credite), Informatică $10$ (4 credite). Aflați media ponderată.

Rezolvare. $\frac{9 \cdot 6 + 7 \cdot 5 + 10 \cdot 4}{6 + 5 + 4} =$ $\frac{54 + 35 + 40}{15} = \frac{129}{15} = 8, 6$ .

Exemplul 5 — prețul mediu

Se cumpără $3$ kg de marfă la $12$ lei/kg, $5$ kg la $8$ lei/kg și $2$ kg la $15$ lei/kg. Care este prețul mediu pe kilogram?

Rezolvare. $\frac{3 \cdot 12 + 5 \cdot 8 + 2 \cdot 15}{3 + 5 + 2} =$ $\frac{36 + 40 + 30}{10} = 10, 6$ lei/kg. Media aritmetică a prețurilor, $\approx 11, 67$ lei, ar fi greșită: s-a cumpărat mai mult la prețul mic.

Exerciții

Exerciții propuse

Calculați media ponderată a numerelor $5$ și $8$ cu ponderile $2$ și $3$ .
Calculați media ponderată a numerelor $4, 6, 9$ cu ponderile $3, 2, 1$ .
Nota finală: test $40 %$ (nota $10$ ) și examen $60 %$ (nota $7$ ). Aflați nota finală.
Într-o clasă, $10$ elevi au nota $6$ , $15$ elevi nota $8$ și $5$ elevi nota $10$ . Aflați media clasei.
Note cu credite: $8$ (6 credite), $9$ (4 credite), $6$ (5 credite). Aflați media.
Se amestecă $4$ l de produs la $20$ lei/l cu $6$ l la $30$ lei/l. Care este prețul mediu pe litru?
Nota $x$ are pondere $3$ , iar nota $6$ are pondere $1$ . Media ponderată este $9$ . Aflați $x$ .
Comparați media aritmetică și media ponderată a numerelor $2$ și $12$ cu ponderile $1$ și $4$ .

Răspunsuri

$\frac{10 + 24}{5} = 6, 8$ .
$\frac{12 + 12 + 9}{6} = 5, 5$ .
$4 + 4, 2 = 8, 2$ .
$\frac{60 + 120 + 50}{30} = \frac{23}{3} \approx 7, 67$ .
$\frac{48 + 36 + 30}{15} = 7, 6$ .
$\frac{80 + 180}{10} = 26$ lei/l.
$\frac{3 x + 6}{4} = 9 \Rightarrow 3 x = 30 \Rightarrow x = 10$ .
$M_{a} = 7$ , $M_{a p} = \frac{2 + 48}{5} = 10$ ; ponderea mare a lui $12$ ridică media.

Vezi și media aritmetică, media geometrică, media armonică și inegalitatea mediilor.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Media ponderată (media aritmetică ponderată) — formulă