Calculator cmmdc și cmmmc — 2 sau mai multe numere, pas cu pas

Cmmdc (cel mai mare divizor comun) al unor numere este cel mai mare număr care le divide pe toate; cmmmc (cel mai mic multiplu comun) este cel mai mic număr nenul care se divide cu fiecare dintre ele. La școală se notează \((a, b)\) și \([a, b]\). Calculatorul de mai sus găsește cmmdc și cmmmc pentru 2 până la 6 numere, prin descompunere în factori primi și prin algoritmul lui Euclid, verifică relația \((a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b\) și îți spune dacă numerele sunt prime între ele.

Metoda 1: descompunerea în factori primi

Descompui fiecare număr în factori primi (cu tabelul cu bară — îl poți exersa cu calculatorul de descompunere în factori primi). Apoi:

• cmmdc = produsul factorilor primi comuni, fiecare luat o singură dată, la puterea cea mai mică;
• cmmmc = produsul factorilor primi comuni și necomuni, fiecare luat o singură dată, la puterea cea mai mare.

Exemplul 1: 12, 18 și 30

\(12 = 2^2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Factorii comuni tuturor sunt 2 și 3, la puterea cea mai mică 1, deci \((12, 18, 30) = 2 \cdot 3 = 6\). Pentru cmmmc iei toți factorii, la puterea cea mai mare: \([12, 18, 30] = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180\).

Metoda 2: algoritmul lui Euclid

Pentru două numere, împarți numărul mai mare la cel mai mic, apoi împărțitorul la rest și tot așa, până când restul devine 0. Ultimul rest nenul este cmmdc. Metoda este foarte rapidă și nu cere descompunerea în factori.

Exemplul 2: 1071 și 462

\[ 1071 = 462 \cdot 2 + 147, \quad 462 = 147 \cdot 3 + 21, \quad 147 = 21 \cdot 7 + 0, \]

deci \((1071, 462) = 21\). Pentru trei sau mai multe numere aplici algoritmul din aproape în aproape: \((a, b, c) = ((a, b), c)\).

Relația dintre cmmdc și cmmmc

Pentru două numere naturale nenule:

\[ (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b, \qquad \text{deci} \qquad [a, b] = \frac{a \cdot b}{(a, b)}. \]

De exemplu, \((84, 126) = 42\), deci \([84, 126] = \dfrac{84 \cdot 126}{42} = 252\). Atenție: relația nu se extinde la trei numere — pentru 6, 10 și 15 avem cmmdc 1 și cmmmc 30, dar produsul lor este 900.

Exemplul 3: numere prime între ele

Două numere sunt prime între ele dacă cmmdc al lor este 1, adică nu au niciun divizor comun în afară de 1: 8 și 15 sunt prime între ele, deși niciunul nu este număr prim. Atunci \([8, 15] = 8 \cdot 15 = 120\). Numerele 6, 10 și 15 sunt prime între ele în ansamblu, dar nu și două câte două. Cmmdc este exact numărul prin care se simplifică o fracție până la forma ireductibilă — vezi calculatorul de simplificare a fracțiilor —, iar cmmmc al numitorilor este numitorul comun la adunarea fracțiilor. Teoria completă, cu proprietăți, este pe pagina cmmdc și cmmmc.

Greșeli frecvente

• Puterile inversate. La cmmdc iei puterea cea mai mică, la cmmmc pe cea mai mare — nu invers.
• Factori necomuni la cmmdc. În \((12, 30)\), factorul 5 apare doar în 30, deci nu intră în cmmdc: \((12, 30) = 6\), nu 30.
• Produsul ca cmmmc. \(12 \cdot 18 = 216\) este un multiplu comun, dar cel mai mic este 36. Produsul este cmmmc doar când numerele sunt prime între ele.
• Confuzia „prime” – „prime între ele”. 9 și 16 nu sunt numere prime, dar sunt prime între ele.

Întrebări frecvente

Cum se calculează cmmdc a două numere? Fie le descompui în factori primi și înmulțești factorii comuni la puterea cea mai mică, fie folosești algoritmul lui Euclid: împărțiri repetate cu rest, până la restul 0; ultimul rest nenul este cmmdc. De exemplu, \((84, 126) = 42\).

Cum se calculează cmmmc a trei numere? Descompui fiecare număr în factori primi și înmulțești toți factorii care apar, fiecare la puterea cea mai mare. Sau calculezi pe rând: \([a, b, c] = [[a, b], c]\), cu \([x, y] = \dfrac{x \cdot y}{(x, y)}\).

Ce înseamnă că două numere sunt prime între ele? Că cel mai mare divizor comun al lor este 1. Atunci fracția formată cu ele este ireductibilă, iar cmmmc al lor este egal cu produsul numerelor.

Ce legătură este între cmmdc și cmmmc? Pentru două numere nenule a și b, produsul dintre cmmdc și cmmmc este egal cu produsul numerelor: \((a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b\). Pentru trei sau mai multe numere relația nu mai este valabilă în general.