Probleme tip Evaluare Națională — geometrie în spațiu (Subiectul III), cu barem

Opt probleme de geometrie în spațiu în stilul Subiectului al III-lea de la Evaluarea Națională: distanța de la un punct la un plan, distanța dintre drepte, unghiul dintre o dreaptă și un plan, unghiul diedru, teorema celor trei perpendiculare, secțiuni și volume în probleme practice. Fiecare problemă are figură, iar la final găsești baremul cu pașii principali.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — probleme tip Evaluare Națională, geometrie în spațiu (Subiectul al III-lea), clasa a 8-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Ca la examen, fiecare problemă are 5 puncte: a) 2p și b) 3p. Punctul c), acolo unde apare, este un exercițiu suplimentar de antrenament (3p). Scrie rezolvările complete și justifică perpendicularitățile.

A. Distanțe și unghiuri în cub, paralelipiped și piramidă

  1. (5p) Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia de 6 cm, iar punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(AA'\).ABCDA′B′C′D′MOa) (2p) Arată că \(MB=3\sqrt{5}\) cm.
    b) (3p) Arată că distanța de la punctul \(A\) la planul \((MBD)\) este egală cu \(\sqrt{6}\) cm.
  2. (5p) Paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) are \(AB=8\) cm, \(BC=6\) cm și \(AA'=10\) cm. Punctul \(E\) este piciorul perpendicularei din \(B\) pe dreapta \(AC\).ABCDA′B′C′D′Ea) (2p) Calculează aria totală a paralelipipedului.
    b) (3p) Arată că distanța dintre dreptele \(BB'\) și \(AC\) este egală cu 4,8 cm.
    c) (3p) Determină măsura unghiului dintre dreapta \(BD'\) și planul \((ABC)\).
  3. (5p) Rombul \(ABCD\) are \(AB=10\) cm și \(m(\angle BAD)=60^\circ\). Pe planul rombului se ridică perpendiculara \(MA\), cu \(MA=5\) cm, iar \(O\) este intersecția diagonalelor.ABCDMOa) (2p) Calculează aria rombului \(ABCD\).
    b) (3p) Arată că distanța de la punctul \(M\) la dreapta \(BD\) este egală cu 10 cm.
    c) (3p) Determină măsura unghiului diedru dintre planele \((MBD)\) și \((ABC)\).
  4. (5p) Piramida patrulateră regulată \(VABCD\) are latura bazei \(AB=8\) cm și muchia laterală \(VA=4\sqrt{5}\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(BC\), respectiv \(AD\), iar \(O\) este centrul bazei.VABCDOMNa) (2p) Calculează aria laterală a piramidei.
    b) (3p) Arată că măsura unghiului diedru dintre planele \((VBC)\) și \((ABC)\) este egală cu 60°.
    c) (3p) Calculează distanța de la punctul \(A\) la planul \((VBC)\).
  5. (5p) Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia de 8 cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(A'B'\), respectiv \(B'C'\).ABCDA′B′C′D′MNa) (2p) Arată că \(MN\parallel AC\) și calculează lungimea segmentului \(MN\).
    b) (3p) Arată că secțiunea determinată în cub de planul \((ACN)\) este trapezul isoscel \(ACNM\) și că aria lui este egală cu 72 cm².

B. Probleme practice — volume, arii, unghiuri

  1. (5p) Un acvariu are forma unui paralelipiped dreptunghic fără capac, cu dimensiunile interioare de 80 cm, 40 cm și 50 cm (înălțimea). Grosimea sticlei se neglijează.80 cm40 cm50 cma) (2p) Arată că pentru pereții și fundul acvariului sunt necesari 1,52 m² de sticlă.
    b) (3p) În acvariul gol se toarnă 120 de litri de apă. Arată că apa ajunge la înălțimea de 37,5 cm.
    c) (3p) După ce se așază în acvariu o piatră decorativă, nivelul apei crește cu 1,5 cm. Calculează volumul pietrei, în litri.
  2. (5p) Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate \(VABCD\) (fără podea), cu latura bazei \(AB=3\) m și înălțimea \(VO=2\) m.VABCDOM3 m2 ma) (2p) Calculează volumul de aer din cort.
    b) (3p) Pânza pentru fețele laterale costă 24 de lei pe metrul pătrat, iar pentru cusături se folosește în plus 10% din suprafața laterală. Arată că pânza costă 396 de lei.
    c) (3p) Calculează tangenta unghiului format de o față laterală a cortului cu planul solului.
  3. (5p) Un rezervor de apă are forma unui cilindru circular drept cu diametrul bazei de 2 m și înălțimea de 1,5 m. Se consideră \(\pi\approx3{,}14\).2 m1,5 ma) (2p) Arată că rezervorul are capacitatea de aproximativ 4710 litri.
    b) (3p) Rezervorul plin se golește printr-un robinet care lasă să curgă 15 litri pe minut. Determină în cât timp se golește rezervorul (în ore și minute).
    c) (3p) Calculează sinusul unghiului format de diagonala secțiunii axiale a rezervorului cu planul bazei.
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. a) (2p) \(AM=3\) cm, \(MA\perp AB\): \(MB=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) cm. b) (3p) Fie \(O=AC\cap BD\). \(BD\perp AC\) și \(BD\perp AA'\), deci \(BD\perp(MAO)\). Ducem \(AP\perp MO\), \(P\in MO\); cum \(AP\perp BD\), rezultă \(AP\perp(MBD)\), deci \(d(A,(MBD))=AP\). \(AO=3\sqrt{2}\) cm, \(MO=\sqrt{9+18}=3\sqrt{3}\) cm, \(AP=\frac{AM\cdot AO}{MO}=\frac{3\cdot3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\sqrt{6}\) cm
  2. a) (2p) \(\mathcal{A}_t=2(8\cdot6+8\cdot10+6\cdot10)=376\) cm². b) (3p) \(BB'\perp(ABC)\), deci \(BB'\perp BE\); și \(BE\perp AC\), deci \(BE\) este perpendiculara comună: \(d(BB',AC)=BE=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{48}{10}=4{,}8\) cm. c) (3p) \(DD'\perp(ABC)\), deci proiecția lui \(BD'\) pe \((ABC)\) este \(BD=10\) cm; \(\operatorname{tg}\angle D'BD=\frac{DD'}{BD}=\frac{10}{10}=1\), deci unghiul are 45°
  3. a) (2p) \(\mathcal{A}=AB\cdot AD\cdot\sin 60^\circ\) \(=100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\) cm². b) (3p) Triunghiul \(ABD\) este echilateral, \(AO\perp BD\), \(AO=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\) cm. \(MA\perp(ABC)\), \(AO\perp BD\), deci (teorema celor trei perpendiculare) \(MO\perp BD\): \(d(M,BD)=MO=\sqrt{25+75}=10\) cm. c) (3p) \(MO\perp BD\) și \(AO\perp BD\), deci unghiul diedru este \(\angle MOA\); \(\operatorname{tg}\angle MOA=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\), deci 30°
  4. a) (2p) Apotema \(VM=\sqrt{VB^2-BM^2}=\sqrt{80-16}=8\) cm; \(\mathcal{A}_l=\frac{4\cdot8\cdot8}{2}=128\) cm². b) (3p) \(VM\perp BC\), \(OM\perp BC\), deci unghiul diedru este \(\angle VMO\); \(OM=4\) cm, \(\cos\angle VMO=\frac{OM}{VM}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), deci 60°. c) (3p) \(AD\parallel BC\), deci \(AD\parallel(VBC)\) și \(d(A,(VBC))=d(N,(VBC))\). \(BC\perp(VNM)\); ducem \(NP\perp VM\), atunci \(NP\perp(VBC)\). Triunghiul \(VNM\) are \(VN=VM=NM=8\) cm (echilateral), deci \(NP=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\) cm
  5. a) (2p) \(MN\) este linie mijlocie în \(\triangle A'B'C'\), deci \(MN\parallel A'C'\parallel AC\) și \(MN=\frac{A'C'}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\) cm. b) (3p) \(MN\parallel AC\), deci \(M\in(ACN)\) și secțiunea este trapezul \(ACNM\); \(AM=CN=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}\) cm (isoscel). Înălțimea: \(h^2=AM^2-\left(\frac{AC-MN}{2}\right)^2=80-8=72\), \(h=6\sqrt{2}\) cm; \(\mathcal{A}=\frac{(8\sqrt{2}+4\sqrt{2})\cdot6\sqrt{2}}{2}=72\) cm²
  6. a) (2p) \(80\cdot40+2\cdot80\cdot50+2\cdot40\cdot50\) \(=3200+8000+4000\) \(=15\,200\) cm² \(=1{,}52\) m². b) (3p) \(120\) l \(=120\,000\) cm³; \(\mathcal{A}_{b}=80\cdot40=3200\) cm², \(h=\frac{120\,000}{3200}=37{,}5\) cm (capacitatea totală este 160 l, deci apa încape). c) (3p) \(V=3200\cdot1{,}5=4800\) cm³ \(=4{,}8\) litri
  7. a) (2p) \(V=\frac{\mathcal{A}_b\cdot h}{3}=\frac{9\cdot2}{3}=6\) m³. b) (3p) \(OM=1{,}5\) m (\(M\) mijlocul lui \(BC\)), apotema \(VM=\sqrt{4+2{,}25}=2{,}5\) m; \(\mathcal{A}_l=\frac{4\cdot3\cdot2{,}5}{2}=15\) m²; pânza: \(15\cdot1{,}1=16{,}5\) m², costul \(16{,}5\cdot24=396\) lei. c) (3p) \(VM\perp BC\), \(OM\perp BC\), unghiul este \(\angle VMO\): \(\operatorname{tg}\angle VMO=\frac{VO}{OM}=\frac{2}{1{,}5}=\frac{4}{3}\)
  8. a) (2p) \(r=1\) m, \(V=\pi r^2h=1{,}5\pi\approx4{,}71\) m³ \(=4710\) litri. b) (3p) \(4710:15=314\) minute \(=5\) ore și 14 minute. c) (3p) Secțiunea axială este un dreptunghi \(2\times1{,}5\) m, cu diagonala \(\sqrt{4+2{,}25}=2{,}5\) m; \(\sin=\frac{1{,}5}{2{,}5}=\frac{3}{5}\)

Teorie: Geometrie în spațiu — formule · Teorema celor trei perpendiculare · Piramida regulată · Paralelipipedul dreptunghic · Subiectele EN 2026 rezolvate · Formule clasa a 8-a · Fișă: unghiuri în spațiu și secțiuni · Alte fișe: toate fișele de lucru