Calculator arie și volum — cub, paralelipiped, prismă, piramidă, cilindru, con, sferă
Calculator arie și volum pentru corpuri geometrice
Scrie dimensiunile cu punct sau virgulă (6, 2,5, 0.75). Rezultatele apar exact (cu √ și π păstrate) și aproximativ, cu două zecimale.
Calculatorul de mai sus îți dă aria bazei, aria laterală, aria totală și volumul pentru cele mai folosite corpuri geometrice din programa de gimnaziu și liceu: cub, paralelipiped dreptunghic, prismă și piramidă regulată (cu baza triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat), tetraedru regulat, trunchi de piramidă, cilindru, con, trunchi de con și sferă. Pe lângă rezultat, vezi fiecare pas: formula, valorile înlocuite și răspunsul exact — cu radicalii simplificați și cu \(\pi\) păstrat simbolic, așa cum se cere la Evaluarea Națională — plus valoarea aproximativă cu două zecimale. Elementele care lipsesc (apotema, înălțimea, muchia laterală, generatoarea, diagonala) sunt calculate automat cu teorema lui Pitagora.
Tabel cu formulele tuturor corpurilor
| Corpul | Aria bazei \(A_b\) | Aria laterală \(A_l\) | Aria totală \(A_t\) | Volumul \(V\) |
|---|---|---|---|---|
| Cub (muchia \(l\)) | \(l^2\) | \(4l^2\) | \(6l^2\) | \(l^3\) |
| Paralelipiped dreptunghic (\(L, l, h\)) | \(L \cdot l\) | \(2(L + l)h\) | \(2(Ll + Lh + lh)\) | \(L \cdot l \cdot h\) |
| Prismă regulată | aria poligonului de bază | \(P_b \cdot h\) | \(A_l + 2A_b\) | \(A_b \cdot h\) |
| Piramidă regulată | aria poligonului de bază | \(\dfrac{P_b \cdot a_p}{2}\) | \(A_l + A_b\) | \(\dfrac{A_b \cdot h}{3}\) |
| Tetraedru regulat (muchia \(l\)) | \(\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\) | \(\dfrac{3l^2\sqrt{3}}{4}\) | \(l^2\sqrt{3}\) | \(\dfrac{l^3\sqrt{2}}{12}\) |
| Trunchi de piramidă regulată | \(A_B\) și \(A_b\) | \(\dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}\) | \(A_l + A_B + A_b\) | \(\dfrac{h}{3}\left(A_B + A_b + \sqrt{A_B A_b}\right)\) |
| Cilindru (\(R, h\)) | \(\pi R^2\) | \(2\pi R h\) | \(2\pi R(R + h)\) | \(\pi R^2 h\) |
| Con (\(R, h, G\)) | \(\pi R^2\) | \(\pi R G\) | \(\pi R(R + G)\) | \(\dfrac{\pi R^2 h}{3}\) |
| Trunchi de con (\(R, r, h, G\)) | \(\pi R^2\) și \(\pi r^2\) | \(\pi G(R + r)\) | \(\pi G(R + r) + \pi R^2 + \pi r^2\) | \(\dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)\) |
| Sferă (raza \(R\)) | — | — | \(4\pi R^2\) | \(\dfrac{4\pi R^3}{3}\) |
Pentru prisme și piramide regulate, aria bazei depinde de poligon: triunghi echilateral \(\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\), pătrat \(l^2\), hexagon regulat \(\dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}\). Apotema bazei (raza cercului înscris) este \(\dfrac{l\sqrt{3}}{6}\), \(\dfrac{l}{2}\), respectiv \(\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\). Aici \(P_b\) este perimetrul bazei, \(a_p\) apotema piramidei, \(a_t\) apotema trunchiului, iar \(G\) generatoarea. Toate formulele, pe o singură pagină, sunt în formule arii și volume.
Cum folosești calculatorul
Alege corpul din listă, apoi completează dimensiunile cerute: muchia la cub, lungimea, lățimea și înălțimea la paralelipiped, latura bazei și înălțimea la prismă, raza și înălțimea la cilindru. La piramidă poți porni de la latura bazei și oricare dintre înălțime, apotema piramidei sau muchia laterală; la con, de la rază și înălțime sau de la rază și generatoare. Calculatorul verifică dacă datele sunt posibile: apotema piramidei trebuie să fie mai mare decât apotema bazei, iar generatoarea conului mai mare decât raza.
Alege unitatea de măsură (mm, cm, dm sau m) — toate dimensiunile trebuie date în aceeași unitate. Ariile ies în unități pătrate (cm²), volumul în unități cubice (cm³). Pentru volume în cm³, dm³ sau m³ primești și echivalentul în litri, folosind \(1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l}\), deci \(1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{ml}\) și \(1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{l}\). Dacă ai dimensiuni în unități diferite, transformă-le mai întâi cu ajutorul paginii unități de măsură și transformări.
Exemple rezolvate
Exemplul 1 — acvariul. Un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 60 cm, 30 cm și 40 cm. Volumul este \(V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000\ \text{cm}^3 = 72\ \text{dm}^3 = 72\) litri. Sticla necesară, fără capac, înseamnă baza și cele patru fețe laterale: \(A_b + A_l = 60 \cdot 30 + 2(60 + 30) \cdot 40 = 1800 + 7200 = 9000\ \text{cm}^2 = 0{,}9\ \text{m}^2\). Diagonala acvariului este \(d = \sqrt{60^2 + 30^2 + 40^2} = \sqrt{6100} = 10\sqrt{61} \approx 78{,}10\) cm.
Exemplul 2 — piramida de la Evaluarea Națională. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei \(l = 6\) cm și înălțimea \(h = 4\) cm. Apotema bazei este \(a_b = \dfrac{l}{2} = 3\) cm, iar din triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei, \(a_p = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) cm. Atunci \(A_l = \dfrac{24 \cdot 5}{2} = 60\ \text{cm}^2\), \(A_t = 60 + 36 = 96\ \text{cm}^2\) și \(V = \dfrac{36 \cdot 4}{3} = 48\ \text{cm}^3\). Muchia laterală: \(m = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34}\) cm, unde \(R = 3\sqrt{2}\) este jumătate din diagonala bazei.
Exemplul 3 — conul. Un con are raza \(R = 3\) cm și generatoarea \(G = 5\) cm. Înălțimea rezultă din Pitagora: \(h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\) cm. Aria laterală este \(A_l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi\ \text{cm}^2\), aria totală \(A_t = \pi \cdot 3(3 + 5) = 24\pi \approx 75{,}40\ \text{cm}^2\), iar volumul \(V = \dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 4}{3} = 12\pi \approx 37{,}70\ \text{cm}^3\).
Greșeli frecvente
- Înălțimea confundată cu apotema. La piramidă, înălțimea \(h\) cade perpendicular în centrul bazei, iar apotema \(a_p\) este înălțimea unei fețe laterale. Aria laterală folosește apotema, volumul folosește înălțimea; legătura dintre ele este \(a_p^2 = h^2 + a_b^2\).
- Uitarea împărțirii la 3. Volumul conului este o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și înălțime: \(V_{con} = \dfrac{V_{cilindru}}{3}\). La fel, piramida are o treime din volumul prismei corespunzătoare.
- Unități pătrate vs. unități cubice. Ariile se măsoară în cm², volumele în cm³. La transformări: \(1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\), dar \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3\) — factorul se ridică la pătrat, respectiv la cub.
- Aproximarea prea devreme. Păstrează \(\sqrt{3}\) și \(\pi\) până la final; dacă rotunjești apotema la 5,2 și apoi înmulțești, eroarea se propagă în arie și volum.
Întrebări frecvente
Cum calculez volumul unui paralelipiped? Înmulțești cele trei dimensiuni: \(V = L \cdot l \cdot h\). De exemplu, pentru 5 cm, 4 cm și 3 cm, \(V = 60\ \text{cm}^3\). Toate dimensiunile trebuie să fie în aceeași unitate de măsură, iar rezultatul este în unități cubice.
Cum transform volumul în litri? Folosești egalitatea \(1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l}\). Din cm³ împarți la 1000 (72 000 cm³ = 72 l), din m³ înmulțești cu 1000 (2 m³ = 2000 l). Calculatorul afișează automat volumul și în litri.
Care este diferența dintre aria laterală și aria totală? Aria laterală adună doar fețele laterale (sau suprafața laterală curbă la cilindru și con), iar aria totală adaugă și bazele: \(A_t = A_l + 2A_b\) la prismă și cilindru, \(A_t = A_l + A_b\) la piramidă și con. Sfera are o singură suprafață, \(4\pi R^2\).