Piramida regulată

Piramida regulată are ca bază un poligon regulat, iar vârful se proiectează în centrul bazei. Elementele-cheie sunt: apotema bazei (a_b), apotema piramidei (a_p — înălțimea unei fețe laterale), muchia laterală și înălțimea (h), legate prin relația a_p² = a_b² + h².

Definiție: 

Piramida regulată reprezintă piramida cu baza poligon regulat iar muchiile laterale egale.

Formule utile:

Aria laterală

$Al=\frac{Pb\cdot Ap}{2}$ 

Aria totală  

$At=Al+Ab$

Volumul 

$V=\frac{Ab\cdot h}{3}$

Exemple de piramide regulate:

1. Tertraedrul regulat (piramida regulată cu toate cele 4 fețe triunghiuri echilaterale)

Aria laterală:

$Al=3\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

Aria totală:

$At=l^2\sqrt{3}$

Înălțimea

$h=\frac{l\sqrt{6}}{3}$

Volumul

$V=\frac{l^3\sqrt{2}}{12}$

2. Piramida triunghiulară regulată (cu baza triunghi echilateral)

Aria bazei: $Ab=\frac{l^{2\sqrt{3}}}{4}$$$

Perimetrul bazei: $Pb=3l$

Apotema bazei: $Ap=\frac{l\sqrt{3}}{6}$

3. Piramida patrulateră regulată (cu baza pătrat)

Aria bazei: $Ab=l^2$

Perimetrul bazei: P b = 4 l

Apotema bazei: $Ap=\frac{l}{2}$

4. Piramida hexagonală regulată (cu baza hexagon regulat)

Aria bazei: $Ab=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$$$

Perimetrul bazei: $Pb=6l$

Apotema bazei:$$$Ap=\frac{l\sqrt{3}}{2}$

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre apotema bazei și apotema piramidei? Apotema bazei este în planul bazei (de la centru la mijlocul unei laturi); apotema piramidei este pe fața laterală (de la vârf la mijlocul unei laturi a bazei). Ele formează cu înălțimea un triunghi dreptunghic — sursa relației a_p² = a_b² + h².

De ce apare 1/3 în formula volumului? Orice piramidă are volumul egal cu o treime din volumul prismei cu aceeași bază și aceeași înălțime.