Piramida regulată — formule arie, volum (toate tipurile)

Formule

Piramida regulată are aria laterală $A_{l} = \frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2}$ , aria totală $A_{t} = A_{l} + A_{b}$ și volumul $V = \frac{A_{b} \cdot h}{3}$ , unde $P_{b}$ este perimetrul bazei, $A_{b}$ aria bazei, $a_{p}$ apotema piramidei, iar $h$ înălțimea. Piramida regulată are ca bază un poligon regulat, iar vârful se proiectează în centrul bazei.

Elementele piramidei regulate

Vârful $V$ și baza: un poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat) cu centrul $O$ și latura $l$ .
Înălțimea $h = V O$ : perpendiculara din vârf pe planul bazei; piciorul ei este centrul bazei.
Apotema piramidei $a_{p} = V M$ : înălțimea unei fețe laterale, unde $M$ este mijlocul unei laturi a bazei.
Apotema bazei $a_{b} = O M$ : distanța de la centrul bazei la o latură (raza cercului înscris).
Muchia laterală $m_{l} = V A$ ; toate muchiile laterale sunt egale, iar $R = O A$ este raza cercului circumscris bazei.

Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, fiecare cu aria $\frac{l \cdot a_{p}}{2}$ . Adunând cele $n$ fețe obținem $A_{l} = \frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2}$ .

Relațiile Pitagora din piramidă

Înălțimea, apotemele și muchiile formează trei triunghiuri dreptunghice în care se aplică teorema lui Pitagora:

a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2} (△ V O M)

m_{l}^{2} = h^{2} + R^{2} (△ V O B)

m_{l}^{2} = a_{p}^{2} + {(\frac{l}{2})}^{2} (△ V M B)

Aproape orice problemă cu piramida regulată se reduce la unul dintre aceste triunghiuri: cunoști două laturi și o afli pe a treia.

Formulele bazei pe tipuri de piramide

Baza (latura $l$ )	$A_{b}$	$P_{b}$	$a_{b}$	$R$
Triunghi echilateral	$\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$	$3 l$	$\frac{l \sqrt{3}}{6}$	$\frac{l \sqrt{3}}{3}$
Pătrat	$l^{2}$	$4 l$	$\frac{l}{2}$	$\frac{l \sqrt{2}}{2}$
Hexagon regulat	$\frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{2}$	$6 l$	$\frac{l \sqrt{3}}{2}$	$l$

La triunghiul echilateral centrul este centrul de greutate, deci $a_{b}$ este o treime, iar $R$ două treimi din înălțimea $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ .

Piramida triunghiulară, patrulateră și hexagonală regulată — formule

Piramida regulată (latura bazei $l$ )	Aria laterală $A_{l}$	Volumul $V$
Triunghiulară	$\frac{3 l \cdot a_{p}}{2}$	$\frac{l^{2} \sqrt{3} \cdot h}{12}$
Patrulateră	$2 l \cdot a_{p}$	$\frac{l^{2} \cdot h}{3}$
Hexagonală	$3 l \cdot a_{p}$	$\frac{l^{2} \sqrt{3} \cdot h}{2}$

În toate cazurile $A_{t} = A_{l} + A_{b}$ , iar apotema piramidei se află din $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ . Exemplu (piramida hexagonală regulată). Pentru $l = 4$ cm și $h = 2$ cm: $a_{b} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$ cm, $a_{p} = \sqrt{4 + 12} = 4$ cm, $A_{l} = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48$ cm², $A_{b} = \frac{3 \cdot 16 \sqrt{3}}{2} = 24 \sqrt{3}$ cm², $A_{t} = 48 + 24 \sqrt{3}$ cm² și $V = \frac{24 \sqrt{3} \cdot 2}{3} = 16 \sqrt{3}$ cm³.

Tetraedrul regulat

Tetraedrul regulat este piramida triunghiulară regulată cu toate cele 6 muchii egale cu $l$ ; toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale. Din $h^{2} = l^{2} - R^{2} = l^{2} - \frac{l^{2}}{3}$ rezultă:

h = \frac{l \sqrt{6}}{3}, V = \frac{l^{3} \sqrt{2}}{12}

A_{l} = \frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{4}, A_{t} = l^{2} \sqrt{3}

Unghiuri tipice la Evaluarea Națională

Unghiul muchiei laterale cu planul bazei este $∠ V B O$ , cu $tg ∠ V B O = \frac{h}{R}$ .
Unghiul feței laterale cu planul bazei (unghiul diedru) este $∠ V M O$ , cu $tg ∠ V M O = \frac{h}{a_{b}}$ și $\cos ∠ V M O = \frac{a_{b}}{a_{p}}$ .

De exemplu, dacă $h = a_{b}$ , fețele laterale fac $45^{\circ}$ cu baza; dacă $a_{p} = 2 a_{b}$ , unghiul este $60^{\circ}$ .

Legătura cu trunchiul de piramidă

Dacă secționăm piramida cu un plan paralel cu baza, partea de lângă vârf este o piramidă asemenea cu cea inițială, iar restul este un trunchi de piramidă. Cu raportul de asemănare $k$ , ariile se înmulțesc cu $k^{2}$ , iar volumele cu $k^{3}$ . Volumul piramidei este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și aceeași înălțime.

Greșeli frecvente

Apotema piramidei vs. înălțimea: $a_{p}$ stă pe fața laterală, $h$ este perpendiculară pe bază; mereu $a_{p} > h$ .
Apotema bazei vs. raza: în $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ intră apotema bazei, iar în $m_{l}^{2} = h^{2} + R^{2}$ intră raza cercului circumscris.
Uitarea împărțirii la 3 în volum sau a împărțirii la 2 în aria laterală.
Două baze în aria totală: piramida are o singură bază, $A_{t} = A_{l} + A_{b}$ .
Apotema bazei triunghiulare: este $\frac{l \sqrt{3}}{6}$ , nu $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ (aceasta este înălțimea triunghiului).

Întrebări frecvente

Care este formula volumului piramidei? Volumul oricărei piramide este o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea: $V = \frac{A_{b} \cdot h}{3}$ . La piramida patrulateră regulată, $V = \frac{l^{2} h}{3}$ .

Cum se calculează apotema piramidei? Din triunghiul dreptunghic format cu înălțimea și apotema bazei: $a_{p} = \sqrt{h^{2} + a_{b}^{2}}$ . Dacă se cunoaște muchia laterală, $a_{p} = \sqrt{m_{l}^{2} - \frac{l^{2}}{4}}$ .

Cum calculez aria laterală a piramidei regulate? Înmulțești perimetrul bazei cu apotema piramidei și împarți la 2: $A_{l} = \frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2}$ . Este suma ariilor celor $n$ triunghiuri isoscele laterale.

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, prisma regulată, trunchiul de piramidă, cubul, paralelipipedul dreptunghic.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.

Exersează: fișă de lucru printabilă — piramida regulată, clasa a 8-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Vezi și: formule și exemple dedicate pentru piramida triunghiulară regulată (și tetraedrul regulat), piramida patrulateră regulată și piramida hexagonală regulată.

Verifică-te: 3 întrebări

Volumul unei piramide cu aria bazei $A_{b}$ și înălțimea $h$ este:

$A_{b} \cdot h$
$\frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2}$
$\frac{A_{b} \cdot h}{3}$

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 6 cm și înălțimea 4 cm. Aria laterală este:

48 cm²
60 cm²
120 cm²

Aceeași piramidă (latura bazei 6 cm, înălțimea 4 cm) are volumul:

48 cm³
144 cm³
72 cm³

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (model Evaluare Națională). O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 4 cm. Calculați apotema piramidei, aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare. $a_{b} = 3$ cm, deci $a_{p} = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm. $A_{l} = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60 {cm}^{2}$ , $A_{t} = 60 + 36 = 96 {cm}^{2}$ . $V = \frac{36 \cdot 4}{3} = 48 {cm}^{3}$ .

Exemplul 2. O piramidă triunghiulară regulată are latura bazei $6 \sqrt{3}$ cm și înălțimea 4 cm. Calculați aria totală și volumul.

Rezolvare. $a_{b} = \frac{6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = 3$ cm, $a_{p} = 5$ cm. $P_{b} = 18 \sqrt{3}$ , deci $A_{l} = 45 \sqrt{3} {cm}^{2}$ . $A_{b} = \frac{108 \sqrt{3}}{4} = 27 \sqrt{3}$ , $A_{t} = 72 \sqrt{3} {cm}^{2}$ . $V = \frac{27 \sqrt{3} \cdot 4}{3} = 36 \sqrt{3} {cm}^{3}$ .

Exemplul 3. O piramidă hexagonală regulată are latura bazei 4 cm și înălțimea 6 cm. Calculați muchia laterală, aria laterală și volumul.

Rezolvare. $R = 4$ , deci $m_{l} = \sqrt{36 + 16} = 2 \sqrt{13}$ cm. $a_{b} = 2 \sqrt{3}$ , $a_{p} = \sqrt{36 + 12} = 4 \sqrt{3}$ cm. $A_{l} = \frac{24 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 48 \sqrt{3} {cm}^{2}$ . $A_{b} = 24 \sqrt{3}$ , $V = 48 \sqrt{3} {cm}^{3}$ .

Exemplul 4. Un tetraedru regulat are muchia de 6 cm. Calculați înălțimea, aria totală și volumul.

Rezolvare. $h = \frac{6 \sqrt{6}}{3} = 2 \sqrt{6}$ cm, $A_{t} = 36 \sqrt{3} {cm}^{2}$ , $V = \frac{216 \sqrt{2}}{12} = 18 \sqrt{2} {cm}^{3}$ .

Exemplul 5. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 12 cm și muchia laterală 10 cm. Aflați apotema, aria laterală și înălțimea.

Rezolvare. $a_{p} = \sqrt{100 - 36} = 8$ cm, $A_{l} = \frac{48 \cdot 8}{2} = 192 {cm}^{2}$ . $h = \sqrt{64 - 36} = 2 \sqrt{7}$ cm. Verificare: $R^{2} + h^{2} = 72 + 28 = 100$ .

Exemplul 6. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 6 cm și înălțimea $3 \sqrt{3}$ cm. Aflați măsura unghiului dintre o față laterală și planul bazei.

Rezolvare. $a_{b} = 3$ , $tg ∠ V M O = \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ , deci unghiul are $60^{\circ}$ . Apotema este $a_{p} = 6$ cm, iar $V = 36 \sqrt{3} {cm}^{3}$ .

Exerciții

Exerciții propuse

O piramidă patrulateră regulată are $l = 10$ cm și $h = 12$ cm. Calculați apotema, aria totală și volumul.
O piramidă triunghiulară regulată are $l = 6$ cm și $h = 4$ cm. Calculați volumul și apotema piramidei.
O piramidă hexagonală regulată are $l = 6$ cm și $h = 8$ cm. Calculați muchia laterală și volumul.
Un tetraedru regulat are muchia de 3 cm. Calculați aria totală și volumul.
O piramidă patrulateră regulată are $l = 8$ cm și apotema 5 cm. Aflați înălțimea, aria laterală și volumul.
O piramidă patrulateră regulată cu latura bazei 6 cm are volumul $96 {cm}^{3}$ . Aflați înălțimea.
O piramidă patrulateră regulată are $l = 4$ cm și $h = 2$ cm. Aflați unghiul dintre o față laterală și bază.
O piramidă patrulateră regulată are toate muchiile de 8 cm. Aflați înălțimea, volumul și unghiul dintre muchia laterală și bază.

Răspunsuri

$a_{p} = 13$ cm, $A_{t} = 260 + 100 = 360 {cm}^{2}$ , $V = 400 {cm}^{3}$ .
$V = 12 \sqrt{3} {cm}^{3}$ , $a_{b} = \sqrt{3}$ , $a_{p} = \sqrt{19}$ cm.
$m_{l} = \sqrt{64 + 36} = 10$ cm, $V = 144 \sqrt{3} {cm}^{3}$ .
$A_{t} = 9 \sqrt{3} {cm}^{2}$ , $V = \frac{9 \sqrt{2}}{4} {cm}^{3}$ .
$h = 3$ cm, $A_{l} = 80 {cm}^{2}$ , $V = 64 {cm}^{3}$ .
$h = \frac{3 \cdot 96}{36} = 8$ cm.
$tg = \frac{2}{2} = 1$ , unghiul are $45^{\circ}$ .
$R = 4 \sqrt{2}$ , $h = 4 \sqrt{2}$ cm, $V = \frac{256 \sqrt{2}}{3} {cm}^{3}$ , unghiul are $45^{\circ}$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Piramida regulată — formule (triunghiulară, patrulateră, hexagonală) + exemple