Prisma regulată dreaptă — formule arie laterală, totală, volum + exemple

Prisma regulată are aria laterală $A_l=P_b\cdot h$, aria totală $A_t=A_l+2A_b$ și volumul $V=A_b\cdot h$, unde $P_b$ este perimetrul bazei, $A_b$ aria bazei, iar $h$ înălțimea prismei (egală cu muchia laterală). Prisma regulată este o prismă dreaptă care are ca baze poligoane regulate: triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat.

Elementele prismei regulate

O prismă are două baze congruente, situate în plane paralele, și fețe laterale care unesc laturile corespunzătoare ale bazelor. Segmentele care unesc vârfurile corespunzătoare se numesc muchii laterale; ele sunt paralele și egale.

• Prisma dreaptă: muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor, deci fețele laterale sunt dreptunghiuri, iar înălțimea $h$ este chiar muchia laterală.
• Prisma regulată: este o prismă dreaptă a cărei bază este un poligon regulat (toate laturile și toate unghiurile egale). Fețele laterale sunt dreptunghiuri congruente, cu laturile $l$ și $h$.

Denumirea prismei vine de la poligonul bazei: prisma triunghiulară are 3 fețe laterale, cea patrulateră 4, cea hexagonală 6. Aria laterală este suma ariilor fețelor laterale: $n\cdot l\cdot h=P_b\cdot h$.

Formulele prismei regulate pe tipuri

Aria bazei hexagonale se obține observând că hexagonul regulat se descompune în 6 triunghiuri echilaterale cu latura $l$: $6\cdot {\displaystyle \frac{l^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{3l^2\sqrt{3}}{2}}$. Pentru prisma patrulateră regulată, diagonala prismei este:

Desfășurarea prismei

Dacă „deschidem” suprafața laterală a unei prisme drepte, obținem un dreptunghi cu lungimea egală cu perimetrul bazei și lățimea egală cu înălțimea. De aici vine formula $A_l=P_b\cdot h$. La desfășurare se adaugă cele două baze, de aceea aria totală conține $2A_b$. Figura arată desfășurarea prismei triunghiulare regulate.

Diagonale și secțiuni diagonale

La prisma patrulateră regulată, diagonala bazei este $l\sqrt{2}$. Diagonala prismei, diagonala bazei și muchia laterală formează un triunghi dreptunghic, deci, cu teorema lui Pitagora:

Secțiunea diagonală (planul care trece prin două muchii laterale opuse) este un dreptunghi cu laturile $l\sqrt{2}$ și $h$, deci are aria $l\sqrt{2}\cdot h$. Diagonala unei fețe laterale este $\sqrt{l^2+h^2}$.

La prisma hexagonală regulată, diagonalele mari ale bazei au lungimea $2l$, iar cele mici $l\sqrt{3}$. Diagonalele prismei sunt $\sqrt{4l^2+h^2}$ și $\sqrt{3l^2+h^2}$. Prisma triunghiulară nu are diagonale în interior: orice două vârfuri sunt pe aceeași față.

Cubul și paralelipipedul ca prisme

Paralelipipedul dreptunghic este o prismă dreaptă cu baza dreptunghi; el este prismă regulată doar când baza este pătrat. Cubul este prisma patrulateră regulată cu $h=l$, deci formulele generale devin:

Prisma dreaptă și prisma dreptunghiulară

O prismă dreaptă are muchiile laterale perpendiculare pe planul bazei, deci fețele laterale sunt dreptunghiuri, iar înălțimea este egală cu muchia laterală. Formulele $A_l=P_b\cdot h$, $A_t=A_l+2A_b$ și $V=A_b\cdot h$ sunt valabile pentru orice prismă dreaptă, nu doar pentru cea regulată; se schimbă doar aria și perimetrul bazei.

Prisma „dreptunghiulară” este prisma dreaptă cu baza dreptunghi, adică paralelipipedul dreptunghic: cu dimensiunile $L,l,h$ avem $A_l=2(L+l)h$, $A_t=2(Ll+lh+Lh)$ și $V=L\cdot l\cdot h$. Dacă baza este pătrat, obții prisma patrulateră regulată, iar dacă toate muchiile sunt egale, cubul.

Exemplu. O prismă dreaptă are ca bază un triunghi dreptunghic cu catetele de 3 cm și 4 cm, iar înălțimea de 10 cm. Ipotenuza bazei este 5 cm, deci $P_b=12$ cm și $A_b={\displaystyle \frac{3\cdot 4}{2}}=6$ cm². Rezultă $A_l=12\cdot 10=120$ cm², $A_t=120+2\cdot 6=132$ cm² și $V=6\cdot 10=60$ cm³.

Greșeli frecvente

• O singură bază în aria totală: prisma are două baze, deci $A_t=A_l+2A_b$ (la piramidă se adună o singură bază).
• Aria triunghiului echilateral: se uită factorul ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$ și se scrie $l^2$ sau ${\displaystyle \frac{l^2}{2}}$.
• Perimetru în loc de arie: în volum intră aria bazei $A_b$, nu perimetrul $P_b$.
• Diagonala bazei vs. diagonala prismei: $l\sqrt{2}$ este diagonala pătratului; diagonala prismei este $\sqrt{2l^2+h^2}$.
• Unitățile de măsură: ariile în ${\text{cm}}^2$, volumele în ${\text{cm}}^3$; transformă toate lungimile în aceeași unitate înainte de calcul.

Întrebări frecvente

Care este formula volumului prismei? Volumul oricărei prisme este aria bazei înmulțită cu înălțimea: $V=A_b\cdot h$. La prisma patrulateră regulată $V=l^{2}h$, la cea triunghiulară $V={\displaystyle \frac{l^2\sqrt{3}}{4}}\cdot h$.

Cum se calculează aria laterală a prismei regulate? Se înmulțește perimetrul bazei cu înălțimea: $A_l=P_b\cdot h$. Echivalent, aduni ariile celor $n$ dreptunghiuri laterale, fiecare cu aria $l\cdot h$.

Care este aria bazei la prisma triunghiulară regulată? Baza este un triunghi echilateral cu latura $l$, deci $A_b={\displaystyle \frac{l^2\sqrt{3}}{4}}$. De exemplu, pentru $l=6$ cm, $A_b=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, piramida regulată, trunchiul de piramidă, cubul, paralelipipedul dreptunghic.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.

Exersează: fișă de lucru printabilă — prisma dreaptă regulată, clasa a 8-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Vezi și: prisma triunghiulară regulată și prisma patrulateră regulată (baza pătrat) — formule, diagonale și exemple rezolvate.