Formule matematică clasa a 9-a — pe capitole

Q: Care sunt cele mai importante formule din clasa a 9-a?

Formulele progresiilor ( a_n , S_n ), formulele funcției de gradul al doilea ( Δ , rădăcinile, vârful, relațiile lui Viète), formula fundamentală a trigonometriei și teoremele sinusurilor și cosinusului.

Q: Cum aflu valoarea minimă a unei funcții de gradul al doilea?

Dacă a 0 , minimul este ordonata vârfului, -(Δ)/(4a) , atins în x=-(b)/(2a) . De exemplu, pentru f(x)=x²-4x+3 , Δ=4 , deci minimul este -1 , atins în x=2 .

Din anul școlar 2026–2027, clasa a 9-a învață după programa nouă de liceu, publicată în Monitorul Oficial în ianuarie 2026. La matematică-informatică (M1) capitolele sunt: logică și inducție, șiruri și progresii, funcții (inclusiv funcția de gradul al doilea și funcția radical), funcții și ecuații trigonometrice și aplicații ale trigonometriei în geometrie. La științe ale naturii (M2) apar în plus în clasa a 9-a polinoamele, geometria analitică și funcțiile exponențială și logaritmică.

Mai jos ai formulele de bază pe fiecare capitol, cu linkuri spre paginile cu explicații. Dacă ai început liceul înainte de 2026, ai studiat în clasa a 9-a după programa veche, în care intrau și vectorii în plan (vezi coordonatele vectorilor).

1. Elemente de logică matematică. Inducția

Înveți să negi corect o propoziție și să demonstrezi o afirmație pentru toate numerele naturale prin metoda inducției.

Negații: \( \overline{p\wedge q}=\bar p\vee\bar q \), \( \overline{p\vee q}=\bar p\wedge\bar q \).
\( \overline{\forall x,\ P(x)} \iff \exists x,\ \overline{P(x)} \); implicația \( p\Rightarrow q \) este falsă doar când \( p \) e adevărată și \( q \) falsă.
Inducția: verifici \( P(1) \), apoi arăți că \( P(k)\Rightarrow P(k+1) \). Exemplu: \( 1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2 \).

2. Mulțimea numerelor reale (M2; recapitulare la M1)

\( (a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3 \); \( a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) \).
Partea întreagă și partea fracționară: \( [x]\le x\lt [x]+1 \), \( \{x\}=x-[x]\in[0,1) \); de exemplu \( [-2{,}3]=-3 \).
Modul: \( |x|\lt a\iff -a\lt x\lt a \); \( |x|\gt a\iff x\lt -a \) sau \( x\gt a \) (\( a\gt 0 \)).

→ detalii: formule de calcul prescurtat, intervale și modul.

3. Șiruri și progresii

Progresiile modelează creșteri cu un pas constant (aritmetice) sau cu un raport constant (geometrice), de exemplu dobânda simplă și dobânda compusă.

Progresie aritmetică: \( a_n=a_1+(n-1)r \), \( S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2} \), \( a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \).
Progresie geometrică: \( b_n=b_1q^{n-1} \), \( S_n=b_1\dfrac{q^n-1}{q-1} \) (\( q\ne 1 \)), \( b_n^2=b_{n-1}b_{n+1} \).
Dobânda compusă: \( S_n=S_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \).
M1: \( a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \).

→ detalii: șiruri, progresia aritmetică, progresia geometrică, matematici financiare. Biografii: Gauss, Fibonacci.

4. Funcții — proprietăți generale

La M1 studiezi riguros monotonia, paritatea, compunerea și inversabilitatea; la M2 aceleași proprietăți se observă pe grafic.

Crescătoare: \( x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2) \); pară: \( f(-x)=f(x) \); impară: \( f(-x)=-f(x) \).
Compunerea: \( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \).
Injectivă: \( f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \); surjectivă: \( \operatorname{Im} f \) este tot codomeniul; \( f \) inversabilă \( \iff f \) bijectivă.

→ detalii: funcții — noțiuni introductive, proprietățile funcțiilor, funcția de gradul I.

5. Funcția de gradul al doilea

Graficul lui \( f(x)=ax^2+bx+c \), \( a\ne 0 \), este o parabolă cu „brațele” în sus pentru \( a\gt 0 \) și în jos pentru \( a\lt 0 \).

\( \Delta=b^2-4ac \), \( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} \).
Vârful: \( V\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right) \); extremul funcției este \( -\dfrac{\Delta}{4a} \).
Viète: \( x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \), \( x_1x_2=\dfrac{c}{a} \); \( x_1^2+x_2^2=S^2-2P \).
Semnul: \( f \) are semnul lui \( a \) în afara rădăcinilor și semn contrar între ele; dacă \( \Delta\lt 0 \), \( f \) are peste tot semnul lui \( a \).
\( f(x)\gt 0 \) pentru orice \( x\in\mathbb R \iff a\gt 0 \) și \( \Delta\lt 0 \).

→ detalii: funcția de gradul al II-lea, ecuația de gradul al II-lea. Calculator: ecuația de gradul 2. Relațiile poartă numele lui François Viète.

6. Puteri și radicali. Funcțiile putere, radical, exponențială și logaritmică

La M1, clasa a 9-a se oprește la funcția putere și funcția radical; la M2 programa include și funcțiile exponențială și logaritmică.

\( a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} \); \( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \) (\( a\gt 0 \)).
Ecuație cu radicali: \( \sqrt{f(x)}=g(x)\iff f(x)=g^2(x) \) și \( g(x)\ge 0 \).
Logaritm (M2): \( \log_a b=x\iff a^x=b \), cu \( a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0 \); \( \ln x=\log_e x \), \( \lg x=\log_{10}x \).
\( a^x \) este crescătoare pentru \( a\gt 1 \) și descrescătoare pentru \( 0\lt a\lt 1 \).

→ detalii: puteri, radicali, funcția exponențială, logaritmi. Inventatorul logaritmilor: John Napier.

7. Polinoame cu coeficienți reali (M2)

Împărțirea cu rest: \( f=g\cdot q+r \), cu \( \operatorname{grad} r\lt \operatorname{grad} g \).
Teorema lui Bézout: restul împărțirii lui \( f \) la \( X-a \) este \( f(a) \); \( a \) este rădăcină \( \iff (X-a)\mid f \).
Schema lui Horner dă rapid câtul și restul împărțirii la \( X-a \).

→ detalii: polinoame.

8. Geometrie analitică (M2)

\( AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \); mijlocul: \( M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) \).
Panta: \( m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \); dreapta: \( y-y_0=m(x-x_0) \); paralele: \( m_1=m_2 \); perpendiculare: \( m_1m_2=-1 \).
Cercul de centru \( (a,b) \) și rază \( r \): \( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \).

→ detalii: geometrie analitică, panta unei drepte. Calculator: ecuația dreptei.

9. Funcții trigonometrice. Ecuații trigonometrice

Sinusul și cosinusul se definesc pe cercul trigonometric, pentru orice număr real. La M1 se adaugă formulele pentru sume, transformările sumă–produs, funcțiile inverse și ecuațiile trigonometrice.

\( \sin^2x+\cos^2x=1 \); \( \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \); \( \sin(\pi-x)=\sin x \), \( \cos(\pi-x)=-\cos x \).
M1: \( \sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b \), \( \cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b \).
M1: \( \sin 2x=2\sin x\cos x \), \( \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x \).
M1: \( \sin x=a\Rightarrow x\in\{(-1)^k\arcsin a+k\pi\mid k\in\mathbb Z\} \); \( \cos x=a\Rightarrow x\in\{\pm\arccos a+2k\pi\mid k\in\mathbb Z\} \), pentru \( a\in[-1,1] \).

→ detalii: formule trigonometrice, tabel trigonometric.

10. Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Teorema sinusurilor: \( \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R \).
Teorema cosinusului: \( a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \).
Aria: \( \mathcal A=\dfrac{ab\sin C}{2} \); Heron: \( \mathcal A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), \( p=\dfrac{a+b+c}{2} \).
Razele: \( r=\dfrac{\mathcal A}{p} \), \( R=\dfrac{abc}{4\mathcal A} \).
M1: teorema bisectoarei \( \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC} \); teoremele lui Menelaus și Ceva.

→ detalii: teorema sinusurilor, teorema cosinusului, aria triunghiului. Biografie: Heron din Alexandria.

Exemple rezolvate

Progresie aritmetică. Pentru \( a_1=2 \) și \( r=3 \): \( a_{10}=2+9\cdot 3=29 \) și \( S_{10}=\dfrac{(2+29)\cdot 10}{2}=155 \).

Ecuație trigonometrică. Soluțiile ecuației \( \sin x=\dfrac{1}{2} \) din intervalul \( [0,2\pi) \) sunt \( x=\dfrac{\pi}{6} \) și \( x=\dfrac{5\pi}{6} \), pentru că \( \sin(\pi-x)=\sin x \).

Ce intră la examen

Materia clasei a 9-a intră la Bacalaureatul la matematică de la finalul liceului, mai ales la subiectul I (progresii, funcția de gradul al doilea, trigonometrie). Lista completă a formulelor de examen este pe pagina formule Bac M1 și M2.

Întrebări frecvente

Ce s-a schimbat la matematică în clasa a 9-a din 2026? Elevii care au început liceul în septembrie 2026 învață după programa nouă. La M1 au apărut logica și inducția, proprietățile funcțiilor (inclusiv inversabilitatea), funcția radical și ecuațiile trigonometrice, iar vectorii nu mai sunt în clasa a 9-a. La M2, clasa a 9-a include acum și polinoamele, geometria analitică și funcțiile exponențială și logaritmică.

Care sunt cele mai importante formule din clasa a 9-a? Formulele progresiilor (\( a_n \), \( S_n \)), formulele funcției de gradul al doilea (\( \Delta \), rădăcinile, vârful, relațiile lui Viète), formula fundamentală a trigonometriei și teoremele sinusurilor și cosinusului.

Cum aflu valoarea minimă a unei funcții de gradul al doilea? Dacă \( a\gt 0 \), minimul este ordonata vârfului, \( -\dfrac{\Delta}{4a} \), atins în \( x=-\dfrac{b}{2a} \). De exemplu, pentru \( f(x)=x^2-4x+3 \), \( \Delta=4 \), deci minimul este \( -1 \), atins în \( x=2 \).