Formule matematică clasa a 12-a — polinoame, integrale

Q: Cum calculez elementul neutru al unei legi de compoziție?

Pui condiția x*e=x pentru orice x și afli e ; apoi verifici și e*x=x dacă legea nu e comutativă. Ajută mult scrierea legii ca produs, de exemplu x*y=(x-2)(y-2)+2 , de unde e=3 .

În clasa a 12-a se studiază la algebră legile de compoziție, grupurile, inelele și corpurile și polinoamele, iar la analiză primitivele, integrala definită și aplicațiile ei (aria unei suprafețe, volumul unui corp de rotație). Este ultimul an înainte de Bacalaureat, deci mai jos ai pe fiecare capitol formulele esențiale și linkuri spre recapitularea completă pentru examen.

Capitolele urmează programa de clasa a 12-a în vigoare în 2026–2027. La M1 (mate-info) se adaugă subgrupurile, ordinul unui element și limitele de șiruri calculate cu ajutorul integralei.

Algebră

1. Legi de compoziție. Grupuri

O lege de compoziție \( * \) asociază fiecărei perechi \( (x,y) \) un element \( x*y \) din aceeași mulțime. Un grup este o mulțime cu o lege asociativă, cu element neutru și în care fiecare element are un simetric.

Asociativitate: \( (x*y)*z=x*(y*z) \); comutativitate: \( x*y=y*x \).
Element neutru: \( x*e=e*x=x \); simetricul lui \( x \): \( x*x'=x'*x=e \).
Exemplu: \( x*y=xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2 \) are elementul neutru \( e=3 \).
Morfism de grupuri: \( f(x*y)=f(x)\circ f(y) \); izomorfism = morfism bijectiv.
M1: într-un grup finit, ordinul unui subgrup (și al oricărui element) divide ordinul grupului (teorema lui Lagrange).

→ detalii: legi de compoziție, structuri algebrice. Biografie: Joseph-Louis Lagrange.

2. Inele și corpuri

\( (A,+,\cdot) \) este inel dacă \( (A,+) \) este grup abelian, înmulțirea este asociativă, are element neutru și este distributivă față de adunare.
Un corp este un inel în care orice element nenul este inversabil.
În \( \mathbb Z_n \): \( \hat a \) este inversabil \( \iff (a,n)=1 \); \( \mathbb Z_n \) este corp \( \iff n \) este prim.

3. Polinoame

Lucrezi cu polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (\( \mathbb Q,\ \mathbb R,\ \mathbb C,\ \mathbb Z_p \)).

Împărțirea cu rest: \( f=g\cdot q+r \), \( \operatorname{grad} r\lt \operatorname{grad} g \).
Bézout: restul împărțirii lui \( f \) la \( X-a \) este \( f(a) \); schema lui Horner dă câtul și restul.
Viète pentru \( aX^3+bX^2+cX+d \): \( x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} \), \( x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a} \), \( x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a} \).
\( x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2 \).
Un polinom cu coeficienți reali care are rădăcina \( a+bi \) are și rădăcina \( a-bi \).

→ detalii: polinoame. Biografie: François Viète.

Analiză matematică

4. Primitive

\( F \) este o primitivă a lui \( f \) dacă \( F'=f \); toate primitivele diferă printr-o constantă.

\( \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C \) (\( n\ne -1 \)); \( \int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C \).
\( \int e^x\,dx=e^x+C \); \( \int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \).
\( \int\sin x\,dx=-\cos x+C \); \( \int\cos x\,dx=\sin x+C \).
\( \int\dfrac{1}{x^2+a^2}\,dx=\dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{a}+C \); \( \int\dfrac{1}{x^2-a^2}\,dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C \).
\( \int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C \); \( \int u'e^{u}\,dx=e^{u}+C \).

→ detalii: primitiva unei funcții, tabel de integrale nedefinite. Calculator: integrale pas cu pas.

5. Integrala definită

Leibniz–Newton: \( \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) \).
Prin părți: \( \int_a^b f(x)g'(x)\,dx=\left.f(x)g(x)\right|_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)\,dx \).
Schimbare de variabilă: \( \int_a^b f(u(x))u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,dt \).
\( f \) impară pe \( [-a,a] \Rightarrow \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0 \); \( f \) pară \( \Rightarrow \int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f \).
Dacă \( f\le g \) pe \( [a,b] \), atunci \( \int_a^b f\le\int_a^b g \).

→ detalii: integrale definite. Biografii: Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac Newton.

6. Aplicații ale integralei definite

Aria subgraficului: \( \mathcal A=\int_a^b|f(x)|\,dx \).
Aria dintre două grafice: \( \mathcal A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx \).
Volumul corpului de rotație: \( V=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx \).
M1: limite de șiruri de integrale și sume de tip Riemann, de exemplu \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx \) pentru \( f \) continuă.

→ detalii: aplicații ale integralei definite. Volumele de rotație au fost calculate întâi de Arhimede.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Leibniz–Newton. \( \int_0^1(3x^2+2x)\,dx=\left.(x^3+x^2)\right|_0^1=2 \).

Exemplul 2 — integrare prin părți. \( \int_0^1 xe^x\,dx=\left.xe^x\right|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-(e-1)=1 \).

Exemplul 3 — arie. Aria dintre graficul lui \( f(x)=x^2 \), axa \( Ox \) și dreptele \( x=0 \), \( x=2 \) este \( \int_0^2 x^2\,dx=\dfrac{8}{3} \).

Exemplul 4 — volum de rotație. Pentru \( f(x)=\sqrt x \), \( x\in[0,1] \): \( V=\pi\int_0^1 x\,dx=\dfrac{\pi}{2} \).

Exemplul 5 — Viète. Polinomul \( X^3-6X^2+11X-6 \) are rădăcinile 1, 2, 3: suma lor este 6, suma produselor două câte două este 11, produsul este 6, iar \( x_1^2+x_2^2+x_3^2=36-22=14 \).

Greșeli frecvente

Uitarea constantei \( C \) la integrala nedefinită.
\( \int f\cdot g\ne\int f\cdot\int g \): pentru produse se folosește integrarea prin părți sau o substituție.
Calculul ariei fără modul, când funcția are și valori negative pe interval.
Găsirea elementului neutru doar din \( x*e=x \), fără verificarea lui \( e*x=x \) când legea nu este comutativă.

Ce intră la Bacalaureat

Proba de matematică a Bacalaureatului (E.c) durează 3 ore și are trei subiecte de câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Subiectul I verifică materia claselor IX–X, subiectul al II-lea algebra din clasele XI–XII (matrice, sisteme, legi de compoziție, polinoame), iar subiectul al III-lea analiza (derivate și integrale). Toate formulele de care ai nevoie sunt adunate pe pagina formule Bac matematică M1 și M2; exersează pe subiectele de Bac rezolvate.

Întrebări frecvente

Ce formule din clasa a 12-a trebuie să știu pentru Bac? Proprietățile legilor de compoziție (element neutru, simetric), relațiile lui Viète, teorema lui Bézout, tabelul de primitive, formula Leibniz–Newton, integrarea prin părți, aria cu integrala și volumul corpului de rotație.

Cum calculez elementul neutru al unei legi de compoziție? Pui condiția \( x*e=x \) pentru orice \( x \) și afli \( e \); apoi verifici și \( e*x=x \) dacă legea nu e comutativă. Ajută mult scrierea legii ca produs, de exemplu \( x*y=(x-2)(y-2)+2 \), de unde \( e=3 \).

De ce se pune modul la aria cu integrala? Pentru că integrala unei funcții negative este negativă, iar aria trebuie să fie pozitivă. Dacă \( f \) își schimbă semnul pe \( [a,b] \), împarți intervalul în bucăți pe care \( f \) are semn constant.

Formule pe clase

clasa a 5-a · clasa a 6-a · clasa a 7-a · clasa a 8-a · clasa a 9-a · clasa a 10-a · clasa a 11-a · clasa a 12-a

Toate formulele, pe domenii: algebră, geometrie și trigonometrie, analiză matematică — sau pagina principală formule matematice.

Formule matematică clasa a 12-a — grupuri, inele, polinoame, primitive și integrale