Formule matematică clasa a 10-a — pe capitole

Q: Cât este \( i^{2026} \)?

Împarți exponentul la 4: 2026=4· 506+2 , deci i^2026=i²=-1 .

În clasa a 10-a se studiază puterile, radicalii și logaritmii, numerele complexe, funcțiile exponențială și logaritmică cu ecuațiile lor, combinatorica (permutări, aranjamente, combinări, binomul lui Newton), matematicile financiare și probabilitățile și geometria analitică a dreptei. Pe fiecare capitol ai mai jos formulele esențiale și linkuri spre explicații, calculatoare și biografii.

În 2026–2027, clasa a 10-a învață încă după programa din 2009, cu aceleași capitole la M1 (mate-info) și M2 (științe ale naturii); M1 adaugă forma trigonometrică a numerelor complexe și funcțiile trigonometrice inverse. Programa nouă de liceu ajunge la clasa a 10-a din anul școlar 2027–2028.

1. Mulțimea numerelor reale: puteri, radicali, logaritmi

Extinzi puterile la exponent rațional și real și introduci logaritmul ca operația inversă ridicării la putere.

\( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \); \( \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} \); \( \sqrt[n]{a^n}=|a| \) pentru \( n \) par.
\( \log_a b=x\iff a^x=b \) (\( a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0 \)); \( a^{\log_a b}=b \); \( \log_a 1=0 \), \( \log_a a=1 \).
\( \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \), \( \log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \), \( \log_a x^n=n\log_a x \).
Schimbarea bazei: \( \log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} \).

→ detalii: puteri, radicali, logaritmi. Biografie: John Napier.

2. Numere complexe

Numărul \( i \) cu \( i^2=-1 \) permite rezolvarea oricărei ecuații de gradul al doilea. La M1 se studiază și forma trigonometrică.

\( z=a+bi \); conjugatul \( \bar z=a-bi \); modulul \( |z|=\sqrt{a^2+b^2} \); \( z\cdot\bar z=|z|^2 \).
\( i^{4k}=1,\ i^{4k+1}=i,\ i^{4k+2}=-1,\ i^{4k+3}=-i \).
\( \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{z_1\cdot\bar z_2}{|z_2|^2} \); pentru \( \Delta\lt 0 \): \( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \).
M1: \( z=r(\cos t+i\sin t) \); Moivre: \( z^n=r^n(\cos nt+i\sin nt) \).

→ detalii: numere complexe. Biografii: Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss.

3. Funcții și ecuații

Studiezi funcțiile putere, radical, exponențială și logaritmică (la M1 și funcțiile trigonometrice inverse), injectivitatea și inversabilitatea lor, apoi rezolvi ecuațiile asociate.

\( a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x) \) (\( a\gt 0,\ a\ne 1 \)); \( a^{f(x)}=b,\ b\gt 0\Rightarrow f(x)=\log_a b \).
Substituția \( t=a^x\gt 0 \): \( 4^x-3\cdot 2^x+2=0\Rightarrow t^2-3t+2=0\Rightarrow x\in\{0,1\} \).
\( \log_a f(x)=b\iff f(x)=a^b \), cu condiția de existență \( f(x)\gt 0 \).
\( \sqrt{f(x)}=g(x)\iff f(x)=g^2(x),\ g(x)\ge 0 \); \( \sqrt[3]{f(x)}=g(x)\iff f(x)=g^3(x) \).
Inversa lui \( f(x)=a^x \) este \( f^{-1}(x)=\log_a x \); graficele lor sunt simetrice față de dreapta \( y=x \).

→ detalii: funcția exponențială, ecuații exponențiale, funcții injective, surjective, inversabile.

4. Metode de numărare

Numeri în câte moduri poți ordona sau alege elemente dintr-o mulțime finită.

Permutări: \( P_n=n! \), \( 0!=1 \).
Aranjamente: \( A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!} \) (contează ordinea).
Combinări: \( C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} \) (nu contează ordinea); \( C_n^k=C_n^{n-k} \); \( C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1} \).
\( C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^n=2^n \) (numărul submulțimilor).
Binomul lui Newton: \( (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k \), termenul general \( T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k \).

→ detalii: combinatorică, binomul lui Newton. Calculator: combinări, aranjamente, permutări. Biografii: Blaise Pascal, Isaac Newton.

5. Matematici financiare, statistică, probabilități

\( p\% \) din \( x \): \( \dfrac{p}{100}x \); scumpire cu \( p\% \): \( x\left(1+\dfrac{p}{100}\right) \); ieftinire: \( x\left(1-\dfrac{p}{100}\right) \).
Dobânda simplă pe \( n \) ani: \( D=S\cdot\dfrac{p}{100}\cdot n \); dobânda compusă: \( S_n=S_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \).
\( P(A)=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} \); \( P(\bar A)=1-P(A) \).
\( P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \).

→ detalii: matematici financiare (TVA, dobânzi), procente, probabilități. Calculator: procente. Un nume românesc al probabilităților: Octav Onicescu.

6. Geometrie analitică — dreapta în plan

\( AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \); mijlocul: \( M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) \).
Panta: \( m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \); dreapta printr-un punct: \( y-y_0=m(x-x_0) \).
Dreapta prin două puncte: \( \dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}=\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A} \).
Paralele: \( m_1=m_2 \); perpendiculare: \( m_1\cdot m_2=-1 \).
Distanța de la \( P(x_0,y_0) \) la \( ax+by+c=0 \): \( d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \).

→ detalii: ecuația dreptei, drepte paralele și perpendiculare, distanțe și arii. Calculator: ecuația dreptei. Biografie: René Descartes.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — logaritmi. \( \log_2 8+\log_3\dfrac{1}{9}=3+(-2)=1 \).

Exemplul 2 — numere complexe. \( \dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+2i+i^2}{2}=\dfrac{2i}{2}=i \).

Exemplul 3 — combinatorică. Dintr-o grupă de 5 elevi aleg 2 reprezentanți: \( C_5^2=10 \) moduri. Dacă aleg un președinte și un vicepreședinte (contează ordinea): \( A_5^2=20 \) de moduri.

Exemplul 4 — probabilitate. La aruncarea a două zaruri sunt \( 36 \) de cazuri posibile; suma 7 apare în 6 cazuri, deci \( P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \).

Exemplul 5 — ecuația dreptei. Prin \( A(1,2) \) și \( B(3,6) \): \( m=\dfrac{6-2}{3-1}=2 \), deci \( y-2=2(x-1) \), adică \( y=2x \).

Greșeli frecvente

\( \log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y \); proprietatea este pentru produs: \( \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \).
Uitarea condițiilor de existență la ecuațiile logaritmice și iraționale, care duce la soluții false.
\( |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \), nu \( a+b \) și nici \( \sqrt{a^2-b^2} \).
Folosirea combinărilor acolo unde contează ordinea (și invers).

Ce intră la examen

Capitolele din clasa a 10-a dau o mare parte din subiectul I de la Bacalaureatul la matematică: logaritmi, ecuații exponențiale, numere complexe, combinări, probabilități, procente și ecuația dreptei. Formulele de examen, pe capitole, sunt adunate pe pagina formule Bac M1 și M2.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre aranjamente și combinări? La aranjamente contează ordinea elementelor alese (de exemplu podiumul unui concurs), la combinări nu contează (de exemplu o echipă). De aceea \( A_n^k=k!\cdot C_n^k \).

Ce condiții pun la o ecuație logaritmică? Argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie strict pozitiv, iar baza pozitivă și diferită de 1. Rezolvi ecuația, apoi păstrezi doar soluțiile care respectă aceste condiții.

Cât este \( i^{2026} \)? Împarți exponentul la 4: \( 2026=4\cdot 506+2 \), deci \( i^{2026}=i^2=-1 \).