Sfera — aria, volumul, secțiunea plană, exemple rezolvate

Sfera de rază $R$ are aria $A=4\pi R^2$, iar corpul mărginit de ea (bila) are volumul $V={\displaystyle \frac{4\pi R^3}{3}}$. Sfera este mulțimea punctelor din spațiu aflate la aceeași distanță $R$ de un punct fix $O$, numit centru. Pe această pagină găsești elementele sferei, secțiunea cu un plan ($r^2=R^2-d^2$), sfera înscrisă și circumscrisă cubului, emisfera, greșeli frecvente, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.

Elementele sferei

Centrul $O$ și raza $R$ determină sfera. Diametrul este o coardă care trece prin centru: $D=2R$. Sfera este doar suprafața; bila (globul) este sfera împreună cu interiorul ei — de aceea vorbim de „aria sferei” și de „volumul bilei”, deși la examen se spune adesea simplu „volumul sferei”. Sfera este un corp de rotație: se obține rotind un semicerc în jurul diametrului său. Un cerc mare este secțiunea printr-un plan care trece prin centru (de exemplu ecuatorul).

Formulele sferei

Observă că aria sferei este de patru ori aria cercului mare. Dacă raza se dublează, aria crește de $2^2=4$ ori, iar volumul de $2^3=8$ ori. Arhimede a arătat că bila înscrisă într-un cilindru echilateral are exact ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ din volumul cilindrului: ${\displaystyle \frac{4\pi R^3}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 2\pi R^3$.

Secțiunea plană a sferei

Un plan aflat la distanța $d$ de centru taie sfera după un cerc. Centrul acestui cerc este proiecția lui $O$ pe plan, iar raza $r$ se obține din triunghiul dreptunghic format de $R$, $d$ și $r$ (teorema lui Pitagora):

Dacă $d=0$, secțiunea este un cerc mare ($r=R$); dacă $d=R$, planul este tangent sferei (un singur punct comun); dacă $d>R$, planul nu intersectează sfera. Cu cât planul se depărtează de centru, cu atât cercul de secțiune devine mai mic — gândește-te la paralelele de pe un glob pământesc, care se micșorează spre poli.

Aria secțiunii este aria discului de rază $r$: $\pi r^2=\pi (R^2-d^2)$. Relația funcționează și invers: dacă știi raza secțiunii și distanța până la centru, afli raza sferei din $R^2=r^2+d^2$. Această situație apare des la subiectul al III-lea, combinată cu un cub sau o prismă.

Sfera înscrisă și circumscrisă cubului

Pentru diagonala cubului vezi pagina cubul.

Emisfera

Emisfera (semisfera) este jumătatea unei bile, tăiată de un plan prin centru. Suprafața curbă are aria $2\pi R^2$, aria totală (cu discul de bază) este $2\pi R^2+\pi R^2=3\pi R^2$, iar volumul este $V={\displaystyle \frac{2\pi R^3}{3}}$.

Cum rezolvi o problemă cu sfera

Aproape orice problemă cu sfera se reduce la aflarea razei. Dacă se dă aria, rezolvi $4\pi R^2=A$; dacă se dă volumul, rezolvi ${\displaystyle \frac{4\pi R^3}{3}}=V$ și extragi radicalul de ordinul trei; dacă se dă un cub, folosești $R={\displaystyle \frac{l}{2}}$ sau $R={\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{2}}$; dacă se dă o secțiune, aplici teorema lui Pitagora. După ce ai raza, calculezi mărimea cerută și verifici unitățile (cm² pentru arie, cm³ sau litri pentru volum).

Greșeli frecvente

• Diametrul în loc de rază: pentru $D=10$ cm, $R=5$ cm, iar $A=100\pi$, nu $400\pi$.
• Exponenți inversați: aria are $R^2$ (cm²), volumul are $R^3$ (cm³).
• Uitarea fracției ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ la volum sau scrierea ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^2$.
• Emisfera: aria totală este $3\pi R^2$, nu $2\pi R^2$ — nu uita discul de bază.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei sferei? $A=4\pi R^2$, adică de patru ori aria unui cerc mare. Cu diametrul: $A=\pi D^2$.

Cum aflu raza dacă știu volumul? Din $V={\displaystyle \frac{4\pi R^3}{3}}$ rezultă $R^3={\displaystyle \frac{3V}{4\pi }}$; de exemplu, $V=36\pi$ dă $R^3=27$, deci $R=3$.

Care este diferența dintre sferă și bilă? Sfera este suprafața (are arie), iar bila este corpul plin mărginit de sferă (are volum).

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, cilindrul, trunchiul de piramidă, cercul.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.

Istoric: Arhimede (c. 287 – 212 î.Hr.) — a descoperit aria și volumul sferei și a arătat că sfera are două treimi din volumul cilindrului circumscris.