Unghiuri — tipuri, complementare, suplementare, opuse la vârf, paralele tăiate de o secantă

Un unghi este figura formată de două semidrepte cu aceeași origine (vârful unghiului) și se măsoară în grade: $1^{\circ }={60}^{\prime }$, $1^{\prime }={60}^{″}$. Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este ${90}^{\circ }$ și suplementare dacă suma este ${180}^{\circ }$; unghiurile opuse la vârf sunt congruente, iar la două drepte paralele tăiate de o secantă unghiurile alterne interne și cele corespondente sunt congruente.

Tipuri de unghiuri după măsură

Unghiul $\mathrm{\angle }AOB$ are vârful $O$ și laturile $[OA$ și $[OB$. Măsura lui se notează $m(\mathrm{\angle }AOB)$ și se citește cu raportorul.

Două unghiuri care au aceeași măsură se numesc congruente: $\mathrm{\angle }A\equiv \mathrm{\angle }B$. Suma unghiurilor formate în jurul unui punct este ${360}^{\circ }$.

Unghiuri complementare și suplementare

• Complementul unui unghi ascuțit de măsură $x$ este ${90}^{\circ }-x$. Doar unghiurile ascuțite au complement.
• Suplementul unui unghi de măsură $x$ (cu $x<{180}^{\circ }$) este ${180}^{\circ }-x$.
• Diferența dintre suplementul și complementul aceluiași unghi ascuțit este mereu ${90}^{\circ }$: $({180}^{\circ }-x)-({90}^{\circ }-x)={90}^{\circ }$.
• Calculul cu minute: ${90}^{\circ }={89}^{\circ }{60}^{\prime }$ și ${180}^{\circ }={179}^{\circ }{60}^{\prime }$, de exemplu ${90}^{\circ }-{37}^{\circ }{25}^{\prime }={89}^{\circ }{60}^{\prime }-{37}^{\circ }{25}^{\prime }={52}^{\circ }{35}^{\prime }$.

Unghiuri adiacente și bisectoarea unui unghi

• Două unghiuri sunt adiacente dacă au același vârf, o latură comună, iar celelalte două laturi sunt de o parte și de alta a laturii comune. Atunci $m(\mathrm{\angle }AOC)=m(\mathrm{\angle }AOB)+m(\mathrm{\angle }BOC)$.
• Două unghiuri adiacente suplementare (laturile necomune sunt semidrepte opuse) formează un unghi alungit: $m(\mathrm{\angle }AOB)+m(\mathrm{\angle }BOC)={180}^{\circ }$.
• Bisectoarea unui unghi este semidreapta interioară care îl împarte în două unghiuri congruente: dacă $[OM$ este bisectoarea lui $\mathrm{\angle }AOB$, atunci $m(\mathrm{\angle }AOM)=m(\mathrm{\angle }MOB)={\displaystyle \frac{m(\mathrm{\angle }AOB)}{2}}$.
• Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare (formează ${90}^{\circ }$), pentru că ${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-x}{2}}={90}^{\circ }$.

Unghiuri opuse la vârf

Când două drepte se intersectează, se formează patru unghiuri. Două unghiuri care au același vârf și laturile unuia sunt prelungirile laturilor celuilalt se numesc opuse la vârf.

Teoremă: unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Două unghiuri vecine (alăturate) sunt adiacente suplementare. Deci, dacă unul dintre cele patru unghiuri are $x$, celelalte au ${180}^{\circ }-x$, $x$ și ${180}^{\circ }-x$. În figura de mai jos, unghiurile 1 și 3, respectiv 2 și 4, sunt opuse la vârf.

Unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă

Dreptele $a\parallel b$ sunt tăiate de secanta $s$. Se formează 8 unghiuri, numerotate în figură:

Pe scurt: la paralele tăiate de o secantă există doar două măsuri. Toate unghiurile ascuțite sunt congruente între ele, toate cele obtuze la fel, iar un unghi ascuțit și unul obtuz sunt suplementare.

Reciproca (criteriu de paralelism): dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne interne congruente (sau corespondente congruente, sau interne de aceeași parte suplementare), atunci dreptele sunt paralele.

Unghiurile triunghiului

• Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este ${180}^{\circ }$ (se demonstrează ducând prin vârf o paralelă la latura opusă și folosind unghiurile alterne interne).
• Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el.
• Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt complementare.

Greșeli frecvente

• Confuzia complementar / suplementar: complementul lui ${40}^{\circ }$ este ${50}^{\circ }$, suplementul este ${140}^{\circ }$.
• Scăderea cu minute fără transformare: ${90}^{\circ }-{37}^{\circ }{25}^{\prime }$ nu este ${53}^{\circ }{25}^{\prime }$, ci ${52}^{\circ }{35}^{\prime }$ (se scrie ${90}^{\circ }={89}^{\circ }{60}^{\prime }$).
• Considerarea unghiurilor interne de aceeași parte a secantei ca fiind congruente: ele sunt suplementare.
• Aplicarea proprietăților pentru unghiuri alterne/corespondente când dreptele NU sunt paralele: congruența are loc numai dacă $a\parallel b$.

Întrebări frecvente

Ce sunt unghiurile complementare și suplementare? Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este ${90}^{\circ }$ (de exemplu ${30}^{\circ }$ și ${60}^{\circ }$) și suplementare dacă suma este ${180}^{\circ }$ (de exemplu ${70}^{\circ }$ și ${110}^{\circ }$).

Cum se calculează complementul unui unghi? Scazi măsura unghiului din ${90}^{\circ }$: complementul lui $x$ este ${90}^{\circ }-x$. Pentru suplement scazi din ${180}^{\circ }$. Dacă apar minute, transformi $1^{\circ }={60}^{\prime }$ înainte de scădere.

Unghiurile opuse la vârf sunt egale? Da, unghiurile opuse la vârf sunt întotdeauna congruente (au aceeași măsură), pentru că amândouă sunt suplementare cu același unghi vecin.

Ce sunt unghiurile alterne interne? Sunt două unghiuri aflate între cele două drepte, de o parte și de alta a secantei, cu vârfuri diferite. Dacă dreptele sunt paralele, unghiurile alterne interne sunt congruente.

Pagini conexe

• Elemente de geometrie — punct, dreaptă, semidreaptă, segment
• Liniile importante în triunghi — bisectoare, mediană, înălțime, mediatoare
• Patrulatere — unghiurile paralelogramului și ale trapezului
• Cercul — unghi la centru și arc de cerc
• Formule clasa a 6-a — toate formulele din an, pe capitole

Exersează: fișă de lucru unghiuri, clasa a 6-a, fișă drepte paralele și secantă și fișă triunghiul (suma unghiurilor, unghi exterior), toate cu răspunsuri.