Teorema sinusului — formulă, demonstrație, exemple rezolvate

Teorema sinusului afirmă că, în orice triunghi $ABC$, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este constant și egal cu diametrul cercului circumscris: ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R$, unde $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, iar $R$ este raza cercului circumscris. Se folosește când cunoști o latură și unghiul opus ei (sau două unghiuri și o latură) și vrei să afli restul elementelor triunghiului. Este una dintre formulele de bază din trigonometria de clasa a IX-a și apare constant la Bacalaureat, subiectul I.

Enunțul teoremei sinusului

Fie $ABC$ un triunghi oarecare, cu laturile notate după regula uzuală: $a=BC$ (opusă vârfului $A$), $b=CA$ (opusă lui $B$) și $c=AB$ (opusă lui $C$).

Teorema sinusului. În orice triunghi $ABC$ are loc relația $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,$$ unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului.

Forme echivalente, utile în calcule:

• $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$ — laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse;
• ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B}}$ — raportul a două laturi este egal cu raportul sinusurilor unghiurilor opuse;
• $\sin A={\displaystyle \frac{a}{2R}}$ — sinusul unui unghi se calculează din latura opusă și rază.

Demonstrație pe scurt

Cu înălțimea. Ducem înălțimea $CD\perp AB$. În triunghiurile dreptunghice $ADC$ și $BDC$ avem $CD=b\sin A$ și $CD=a\sin B$ (dacă unul dintre unghiuri este obtuz, folosim $\sin ({180}^{\circ }-x)=\sin x$). Egalând, $b\sin A=a\sin B$, adică ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}$. Analog, cu înălțimea din $A$, obținem ${\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}$.

Cu cercul circumscris (de unde apare $2R$). Fie $O$ centrul cercului circumscris și $A^{\prime }$ punctul diametral opus lui $B$, deci $B{A}^{\prime }=2R$. Unghiurile $A$ și $A^{\prime }$ sunt înscrise în cerc și subîntind același arc $BC$, deci $\mathrm{\angle }B{A}^{\prime }C=\mathrm{\angle }A$ (sau ${180}^{\circ }-A$, dacă $A$ este obtuz — sinusul este același). Triunghiul $BC{A}^{\prime }$ este dreptunghic în $C$, pentru că $B{A}^{\prime }$ este diametru, așa că $a=BC=B{A}^{\prime }\sin A^{\prime }=2R\sin A$. Rezultă ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}=2R$, și la fel pentru celelalte laturi.

Când se folosește teorema sinusului

Teorema sinusului rezolvă triunghiul (găsește toate laturile și unghiurile) atunci când printre datele cunoscute există o pereche latură – unghi opus:

• Cazul ULU / LUU (două unghiuri și o latură): al treilea unghi se află din $A+B+C={180}^{\circ }$, apoi fiecare latură necunoscută rezultă direct din ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}$. Soluția este unică.
• Cazul LLU (două laturi și unghiul opus uneia dintre ele) — cazul ambiguu. Dacă știm $a$, $b$ și $A$, calculăm $\sin B={\displaystyle \frac{b\sin A}{a}}$. Pot apărea trei situații:
  • $\sin B>1$ — nu există niciun triunghi;
  • $\sin B=1$ — $B={90}^{\circ }$, un singur triunghi (dreptunghic);
  • $\sin B<1$ — există două candidate, $B_1$ ascuțit și $B_2={180}^{\circ }-B_1$. Ambele sunt valide numai dacă $A+B_2<{180}^{\circ }$, ceea ce se întâmplă exact când $a<b$. Dacă $a\ge b$, unghiul $B$ este obligatoriu ascuțit (laturii mai mici i se opune unghiul mai mic) și soluția este unică.
• Nu se aplică direct când știi două laturi și unghiul dintre ele (LUL) sau trei laturi (LLL): acolo începi cu teorema cosinusului și abia apoi, dacă este nevoie, continui cu teorema sinusului.

Teorema sinusului în triunghiul dreptunghic

Dacă $\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$, atunci $\sin C=1$ și teorema devine ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}=c=2R$. De aici:

• $\sin A={\displaystyle \frac{a}{c}}$ — exact definiția sinusului în triunghiul dreptunghic: cateta opusă supra ipotenuză. Teorema sinusului este, așadar, generalizarea acestei definiții la un triunghi oarecare;
• $2R=c$, adică ipotenuza este diametrul cercului circumscris, iar centrul acestuia este mijlocul ipotenuzei.

Aplicații ale teoremei sinusului

• Raza cercului circumscris: $R={\displaystyle \frac{a}{2\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{2\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{2\sin C}}$.
• Aria triunghiului din două laturi și unghiul cuprins: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin C=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}bc\sin A={\displaystyle \frac{1}{2}}ca\sin B$. Înlocuind $\sin C={\displaystyle \frac{c}{2R}}$, rezultă și $S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$. Vezi toate formulele pentru arii.
• Aria dintr-o latură și două unghiuri: $S={\displaystyle \frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}}$.
• Compararea unghiurilor: din $a=2R\sin A$ și $b=2R\sin B$ rezultă că $a>b\iff \sin A>\sin B$, iar într-un triunghi acest lucru echivalează cu $A>B$: laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.

Greșeli frecvente

• Latura și unghiul nu se corespund. În ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}$, $a$ este latura opusă lui $A$, nu una dintre laturile care îl formează. Notația standard $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ evită confuzia.
• Uitarea celei de-a doua soluții în cazul LLU. Dacă $\sin B={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, atunci $B$ poate fi ${60}^{\circ }$ sau ${120}^{\circ }$; verifică de fiecare dată dacă a doua valoare este compatibilă cu $A+B<{180}^{\circ }$.
• Confuzia $R$ – $r$. În teoremă apare $R$, raza cercului circumscris, nu raza cercului înscris $r={\displaystyle \frac{S}{p}}$.
• $2R$, nu $R$. Raportul ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}$ este egal cu diametrul, nu cu raza. Deci $R={\displaystyle \frac{a}{2\sin A}}$.
• Valori trigonometrice greșite. Reține: $\sin {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\sin {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, $\sin {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, $\sin {90}^{\circ }=1$ și $\sin ({180}^{\circ }-x)=\sin x$. Vezi formulele trigonometrice.

Întrebări frecvente

Care este teorema sinusului? În orice triunghi $ABC$, ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R$: raportul dintre fiecare latură și sinusul unghiului opus este constant și egal cu diametrul cercului circumscris.

Când se folosește teorema sinusului? Când cunoști o latură și unghiul opus ei, plus încă un element (un unghi sau o latură). Tipic: două unghiuri și o latură (soluție unică) sau două laturi și unghiul opus uneia dintre ele (cazul ambiguu, posibil două soluții). Dacă știi două laturi și unghiul dintre ele sau toate cele trei laturi, folosești mai întâi teorema cosinusului.

Se aplică teorema sinusului în triunghiul dreptunghic? Da. Dacă $C={90}^{\circ }$, teorema se reduce la $\sin A={\displaystyle \frac{a}{c}}$ și $\sin B={\displaystyle \frac{b}{c}}$, adică la definiția sinusului ca raport dintre cateta opusă și ipotenuză, iar $2R=c$: ipotenuza este diametrul cercului circumscris.

Care este diferența dintre teorema sinusului și teorema cosinusului? Teorema sinusului leagă fiecare latură de sinusul unghiului opus și se folosește când știi o pereche latură – unghi opus; teorema cosinusului, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, se folosește când știi două laturi și unghiul dintre ele sau toate cele trei laturi. Tabelul de alegere este pe pagina teorema sinusului și a cosinusului — când o folosești pe fiecare.

Pagini înrudite

• Teorema cosinusului — $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, pentru cazurile LUL și LLL.
• Teorema sinusului și teorema cosinusului — comparație: când o folosești pe fiecare.
• Formule trigonometrice — valori uzuale, reducerea la primul cadran, formule de adunare.
• Triunghiul dreptunghic — Pitagora, teorema înălțimii și a catetei, funcții trigonometrice.
• Arii, înălțime, apotemă — toate formulele de arie ale triunghiului.
• Geometrie și trigonometrie — toate formulele capitolului.