Trunchi de con — formule arie laterală, arie totală, volum + exemplu

Trunchiul de con are aria laterală $A_l=\pi G(R+r)$, aria totală $A_t=A_l+\pi R^2+\pi r^2$ și volumul $V={\displaystyle \frac{\pi h(R^2+r^2+Rr)}{3}}$, unde $R$ și $r$ sunt razele bazelor, $h$ înălțimea și $G$ generatoarea, legate prin relația $G^2=h^2+(R-r{)}^2$. Trunchiul de con se obține secționând un con circular drept cu un plan paralel cu baza și îndepărtând conul mic de la vârf. Mai jos găsești secțiunea axială, desfășurarea, legătura cu conul din care provine, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.

Elementele trunchiului de con

Un trunchi de con este porțiunea dintr-un con cuprinsă între bază și un plan paralel cu ea. Are două baze: baza mare, un disc cu centrul $O$ și raza $R$, și baza mică, un disc cu centrul $O^{\prime }$ și raza $r$. Segmentul $O{O}^{\prime }$ este înălțimea $h$, iar segmentele care unesc puncte corespunzătoare de pe cele două cercuri sunt generatoarele $G$. Se pot folosi formulele de la trunchiul de piramidă, ținând cont că bazele sunt cercuri.

Relația pentru generatoare

Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele $2R$ și $2r$, laturile neparalele $G$ și înălțimea $h$. Ducând din capătul bazei mici perpendiculara pe baza mare obținem un triunghi dreptunghic cu catetele $h$ și $R-r$ și ipotenuza $G$. Din teorema lui Pitagora:

De aici $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$ și $h=\sqrt{G^2-(R-r{)}^2}$. Aria secțiunii axiale este $A_s=(R+r)\cdot h$.

Formulele trunchiului de con

Formula volumului se mai scrie $V={\displaystyle \frac{h}{3}}(A_B+A_b+\sqrt{A_B{A}_b})$, exact ca la trunchiul de piramidă. Pentru $r=0$ regăsim volumul conului ${\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}$, iar pentru $r=R$ obținem volumul cilindrului $\pi R^{2}h$.

Desfășurarea trunchiului de con

Suprafața laterală se desfășoară într-un sector de coroană circulară: porțiunea dintre două arce concentrice cu același unghi la centru. Arcul mare are lungimea $2\pi R$, arcul mic $2\pi r$, iar distanța dintre ele este generatoarea $G$. Aria unei astfel de figuri este semisuma arcelor înmulțită cu „lățimea”:

Razele celor două arce sunt generatoarele conului mare și ale conului mic (vezi secțiunea următoare), iar unghiul sectorului este cel al desfășurării conului mare: $u={\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot R}{G_{con}}}$. La desfășurarea completă se adaugă cele două discuri ale bazelor (vezi și lungimea și aria cercului).

Legătura cu conul din care provine

Conul mic îndepărtat este asemenea cu conul mare. Raportul de asemănare este

unde $H$ este înălțimea conului mare. Raportul ariilor este $k^2$, iar raportul volumelor este $k^3$. Din $h=H-h_{mic}$ rezultă înălțimea și generatoarea conului inițial:

Volumul trunchiului este diferența volumelor: $V=V_{mare}-V_{mic}=V_{mare}(1-k^3)$. De exemplu, dacă planul taie conul la o treime din înălțime (măsurată de la vârf), $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$ și trunchiul păstrează ${\displaystyle \frac{26}{27}}$ din volumul conului.

Greșeli frecvente

• $G^2=h^2+R^2$ în loc de $G^2=h^2+(R-r{)}^2$. În triunghiul dreptunghic din trapez cateta orizontală este diferența razelor, nu raza.
• Termenul $Rr$ uitat din volum: $R^2+r^2$ nu ajunge, paranteza are trei termeni.
• Aria totală cu o singură bază. Trunchiul are două baze diferite: $\pi R^2$ și $\pi r^2$.
• Raportul volumelor egal cu $k$ în loc de $k^3$ când lucrezi cu conul din care provine trunchiul.

Întrebări frecvente

Care este formula volumului trunchiului de con? $V={\displaystyle \frac{\pi h}{3}}(R^2+r^2+Rr)$, unde $R$ și $r$ sunt razele bazelor, iar $h$ este înălțimea. Pentru $R=5$, $r=2$, $h=4$ obții $V=52\pi$.

Cum se calculează generatoarea trunchiului de con? Cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic din secțiunea axială: $G=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$. De exemplu, pentru $h=4$, $R=5$, $r=2$ rezultă $G=5$.

Cum calculez aria laterală a trunchiului de con? Înmulțești $\pi$ cu generatoarea și cu suma razelor: $A_l=\pi G(R+r)$. Dacă lipsește generatoarea, o afli întâi din $h$ și $R-r$.

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, conul, cilindrul, sfera, trunchiul de piramidă, cercul.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.