Numere complexe

Forma algebrică a unui număr complex$$

$ℂ=ℝXℝ=\left\{\right(a,b)/a,b\in ℝ\}$

$z=a+bi,a,b\in ℝ,i^2=-1.$

a reprezintă partea reala a lui z iar b partea imaginară a lui z. a=Re(z), b=Im(z).

Operații cu numere cumplexe:

1. Egalitatea a două numere complexe:

$a_1+{ib}_1=a_2+i{b}_2\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=a_2\\ b_1=b_2\end{array}\right.$

2. Adunarea numerelor complexe:

Fie $z_1=\left(a_1,b_1\right)=a_1+i{b}_1,z_2=\left(a_2,b_2\right)=a_2+i{b}_2$

$z_1+z_2=\left(a_1+a_2,b_1+b_2\right)=a_1+a_2+i\left(b_1+b_2\right).$

3. Înmulțirea numerelor complexe:

$z_1·z_2=$ $\left(a_1,b_1\right)\left(a_2,b_2\right)=$ $\left(a_1{a}_2-b_1{b}_2,a_1{b}_2+a_2{b}_1\right)=$ $\left(a_1{a}_2-b_1{b}_2\right)+i\left(a_1{b}_2+a_2{b}_1\right)=\left(a_1+i{b}_1\right)\left(a_2+i{b}_2\right).$

4. Puterile lui i:

$i^2=\mathrm{-1},$
$i^3=\mathrm{-i},$
$i^4=1,$
$i^{4n}=1,$
$i^{4n+1}=i,$
$i^{4n+2}=\mathrm{-1},$
$i^{4n+3}=-i,n\in N.$

Numere complexe conjugate:

Fie $z=a+ib\in ℂ.$

Se numește conjugatul lui z, notat cu  $\stackrel{\_}{z}$, numărul complex a-bi.

Modulul unui număr complex:

Fie $z=a+ib\in ℂ.$

Se numește modulul lui z, notat cu $\left|z\right|$, numărul pozitiv $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$