Numere complexe

Un număr complex se scrie în forma algebrică $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$. Numărul $a=\mathrm{Re}(z)$ este partea reală, $b=\mathrm{Im}(z)$ partea imaginară, conjugatul este $\overline{z}=a-bi$, iar modulul este $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului. Mai jos găsești puterile lui $i$, operațiile, ecuația de gradul 2 cu $\mathrm{\Delta }<0$, forma trigonometrică, formula lui Moivre și exemple rezolvate pentru Bac.

Forma algebrică a unui număr complex

Mulțimea numerelor complexe este $\mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{R}\}$, unde $i$ este unitatea imaginară, cu $i^2=-1$. Formal, $\mathbb{C}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, iar numărul $z=a+bi$ corespunde perechii $(a,b)$.

• $a=\mathrm{Re}(z)$ este partea reală, $b=\mathrm{Im}(z)$ este partea imaginară.
• $z\in \mathbb{R}\iff b=0$; $z$ este pur imaginar dacă $a=0$ și $b\ne 0$.
• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

Puterile lui $i$

Puterile lui $i$ se repetă cu perioada 4:

Pentru a calcula $i^n$, împarți $n$ la 4 și păstrezi restul: $i^n=i^r$, unde $r$ este restul. Suma a patru puteri consecutive este zero: $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$.

Egalitatea a două numere complexe

Două numere complexe sunt egale dacă au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară. Așa se rezolvă problemele de tipul „determinați $x,y\in \mathbb{R}$”.

Operații cu numere complexe

Fie $z_1=a_1+b_{1}i$ și $z_2=a_2+b_{2}i$.

În perechi: $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ și $(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)$ $=(a_1{a}_2-b_1{b}_2,a_1{b}_2+a_2{b}_1)$. Practic, înmulțești parantezele ca la numerele reale și înlocuiești $i^2$ cu $-1$. La împărțire amplifici fracția cu conjugatul numitorului, astfel încât numitorul devine real: $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$.

Conjugatul unui număr complex

Conjugatul lui $z=a+bi$ este $\overline{z}=a-bi$. Proprietăți:

• $z+\overline{z}=2a\in \mathbb{R}$ și $z-\overline{z}=2bi$
• $z\cdot \overline{z}=a^2+b^2=|z{|}^2$
• $\overline{z_1+z_2}={\overline{z}}_1+{\overline{z}}_2$, $\overline{z_1{z}_2}={\overline{z}}_1{\overline{z}}_2$, $\bar{\overline{z}}=z$
• $z\in \mathbb{R}\iff z=\overline{z}$

Modulul unui număr complex

Modulul este un număr real nenegativ și $|z|=0\iff z=0$. Proprietăți: $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$, $\left|{\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}\right|={\displaystyle \frac{|z_1|}{|z_2|}}$, $|z^n|=|z{|}^n$, $|\overline{z}|=|z|$ și $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$.

Interpretarea geometrică: planul complex

Numărului $z=a+bi$ îi corespunde punctul $M(a,b)$ din plan (afixul lui $M$ este $z$). Axa $Ox$ este axa reală, $Oy$ axa imaginară. Modulul $|z|$ este distanța $OM$, conjugatul $\overline{z}$ este simetricul lui $M$ față de axa reală, iar $|z_1-z_2|$ este distanța dintre punctele de afixe $z_1$ și $z_2$.

Ecuația de gradul 2 cu $\mathrm{\Delta }<0$

Ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ cu coeficienți reali și $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac<0$ nu are soluții reale, dar are două soluții complexe conjugate:

Relațiile lui Viète rămân valabile: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Detalii despre discriminant și formula rădăcinilor sunt la ecuația de gradul 2.

Forma trigonometrică

Orice $z=a+bi\ne 0$ se scrie

unde $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ și argumentul $t\in [0,2\pi )$ verifică $\cos t={\displaystyle \frac{a}{r}}$, $\sin t={\displaystyle \frac{b}{r}}$. Cadranul lui $t$ se citește din semnele lui $a$ și $b$. Pentru $z_1=r_1(\cos t_1+i\sin t_1)$ și $z_2=r_2(\cos t_2+i\sin t_2)$:

• $z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos (t_1+t_2)$ $+i\sin (t_1+t_2))$
• ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}(\cos (t_1-t_2)$ $+i\sin (t_1-t_2))$

Pași pentru trecerea în forma trigonometrică:

1. calculezi modulul $r=\sqrt{a^2+b^2}$;
2. scrii $\cos t=\frac{a}{r}$ și $\sin t=\frac{b}{r}$ și recunoști unghiul din tabelul valorilor uzuale;
3. verifici cadranul după semnele lui $a$ și $b$: de exemplu, pentru $-1+i$, $a<0$ și $b>0$, deci $t=\frac{3\pi }{4}$, nu $\frac{\pi }{4}$;
4. scrii rezultatul $z=r(\cos t+i\sin t)$.

Cazuri imediate: $1=\cos 0+i\sin 0$, $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$, $-1=\cos \pi +i\sin \pi$, $-i=\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}$.

Formula lui Moivre

Dacă $z=r(\cos t+i\sin t)$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, atunci:

Se folosește pentru puteri mari, de exemplu $(1+i{)}^n$ sau $(1+i\sqrt{3}{)}^n$: scrii numărul în forma trigonometrică, apoi înmulțești argumentul cu $n$.

Rădăcinile de ordin $n$ (M1)

Ecuația $w^n=z$, cu $z=r(\cos t+i\sin t)$, are exact $n$ soluții:

pentru $k=0,1,\dots ,n-1$. Rădăcinile de ordin 3 ale unității sunt $1$ și $\epsilon =-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$, cu ${\epsilon }^3=1$ și ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$ — relații foarte des cerute la Bac.

Greșeli frecvente

• Semnul lui $i^2$: $(3i{)}^2=9i^2=-9$, nu $9$.
• Partea imaginară include $i$? Nu: pentru $z=2-5i$, $\mathrm{Im}(z)=-5$, nu $-5i$.
• Modulul: $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$, nu $\sqrt{a^2-b^2}$ și nu $a+b$.
• Împărțirea: se amplifică cu conjugatul numitorului, nu cu numitorul însuși.
• Argumentul: $\mathrm{tg}t=\frac{b}{a}$ nu determină singur unghiul; verifică semnele lui $a$ și $b$.

Întrebări frecvente

Cât este i la puterea n? Puterile lui $i$ se repetă din 4 în 4: $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$, $i^{4k+2}=-1$, $i^{4k+3}=-i$. Împarți exponentul la 4 și folosești restul.

Cum se calculează modulul unui număr complex? Pentru $z=a+bi$, $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. De exemplu, $|3-4i|=\sqrt{9+16}=5$.

Cum se împarte un număr complex la altul? Amplifici fracția cu conjugatul numitorului: numitorul devine $a^2+b^2$, un număr real, apoi separi partea reală de cea imaginară.

Istoric: Leonhard Euler (1707–1783) — a introdus notația i pentru unitatea imaginară și formula care leagă exponențiala complexă de cosinus și sinus.

Istoric: Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — a reprezentat numerele complexe ca puncte în plan și a impus denumirea de „număr complex”.

Istoric: Simion Stoilow (1887–1961) — fondatorul școlii românești de analiză complexă, care studiază funcțiile de variabilă complexă.

Exersează: fișă de lucru printabilă — numere complexe, clasa a 10-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.