Liniile importante în triunghi — bisectoare, mediană, înălțime, mediatoare, puncte de concurență

Liniile importante în triunghi sunt bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea; câte trei de același fel sunt concurente: bisectoarele în $I$ (centrul cercului înscris), medianele în $G$ (centrul de greutate), înălțimile în $H$ (ortocentrul), mediatoarele în $O$ (centrul cercului circumscris). Două formule de calcul des folosite: teorema medianei $m_a^2={\displaystyle \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}}$ și teorema bisectoarei ${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$.

Definiții și puncte de concurență

În triunghiul $ABC$ notăm $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Din vârful $A$ pornesc trei linii diferite (într-un triunghi oarecare): înălțimea $AD$, bisectoarea $AE$ și mediana $AM$.

În formulele de mai sus $A$ este aria triunghiului, iar $p={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$ semiperimetrul.

Proprietăți utile ale fiecărei linii

• Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale: $A_{ABM}=A_{AMC}$. Cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri de arii egale.
• Mediana corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuză, deci mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris: $R={\displaystyle \frac{i}{2}}$.
• Bisectoarele: unghiul dintre bisectoarele din $B$ și $C$ este $m(\mathrm{\angle }BIC)={90}^{\circ }+{\displaystyle \frac{m(\mathrm{\angle }A)}{2}}$.
• Înălțimea: aria se poate scrie cu oricare latură și înălțimea corespunzătoare, $A={\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}}={\displaystyle \frac{b\cdot h_b}{2}}={\displaystyle \frac{c\cdot h_c}{2}}$. În triunghiul dreptunghic, înălțimea pe ipotenuză este $h={\displaystyle \frac{c_1\cdot c_2}{i}}$.
• Mediatoarea: orice punct de pe mediatoarea segmentului $[BC]$ este egal depărtat de $B$ și $C$.

Cele trei mediane sunt concurente în $G$, care se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf:

Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

• În triunghiul isoscel $ABC$ ($AB=AC$), bisectoarea, mediana, înălțimea din $A$ și mediatoarea bazei $[BC]$ coincid. Deci $I,G,H,O$ se află pe aceeași dreaptă (axa de simetrie).
• În triunghiul echilateral de latură $l$, toate cele patru puncte coincid (centrul triunghiului), iar $h={\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{2}}$, $r={\displaystyle \frac{h}{3}}={\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{6}}$, $R={\displaystyle \frac{2h}{3}}={\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{3}}$.

Teorema medianei

Lungimea medianei $AM$ (cu $M$ mijlocul lui $[BC]$) se calculează din laturi:

Analog $m_b^2={\displaystyle \frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}}$ și $m_c^2={\displaystyle \frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}}$. Formula se obține aplicând teorema cosinusului în triunghiurile $ABM$ și $ACM$ și adunând relațiile.

Teorema bisectoarei

Dacă $[AD$ este bisectoarea unghiului $A$, cu $D\in (BC)$, atunci bisectoarea împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate:

Teorema se demonstrează ducând prin $C$ o paralelă la $AD$ și aplicând teorema lui Thales.

Greșeli frecvente

• Confuzia mediană / mediatoare: mediana pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse; mediatoarea este perpendiculara pe latură prin mijlocul ei și, în general, nu trece prin vârf.
• Inversarea raportului pe mediană: $G$ este la ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de vârf, nu de latură ($AG=2\cdot GM$).
• Teorema bisectoarei scrisă greșit, ${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$: segmentul alăturat lui $B$ corespunde laturii $AB$.
• Presupunerea că ortocentrul este mereu în interiorul triunghiului: la triunghiul obtuzunghic el este în exterior.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre mediană și mediatoare? Mediana unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Mediatoarea este dreapta perpendiculară pe o latură în mijlocul ei; medianele se intersectează în centrul de greutate, iar mediatoarele în centrul cercului circumscris.

Unde se intersectează bisectoarele unui triunghi? Bisectoarele sunt concurente într-un punct $I$, aflat la aceeași distanță de cele trei laturi; el este centrul cercului înscris în triunghi, cu raza $r={\displaystyle \frac{A}{p}}$.

Ce spune teorema medianei? Pătratul medianei este $m_a^2={\displaystyle \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}}$, adică mediana se calculează doar din lungimile laturilor. De exemplu, pentru laturile $a=6$, $b=5$, $c=7$, $m_a=2\sqrt{7}$.

Ce spune teorema bisectoarei? Bisectoarea unghiului $A$ împarte latura $BC$ în segmente proporționale cu laturile $AB$ și $AC$: ${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$.

Pagini conexe

• Aria triunghiului — toate formulele (înălțime, Heron, sinus, raze)
• Triunghiul dreptunghic — Pitagora, teorema catetei, înălțimea
• Teorema lui Thales și asemănarea
• Teorema cosinusului
• Unghiuri — complementare, suplementare, paralele cu secantă
• Perimetrul figurilor plane

Exersează: fișă triunghiul, clasa a 6-a, fișă triunghiul isoscel, echilateral și cercul, fișă teorema lui Thales și linia mijlocie și geometrie plană la Evaluarea Națională — probleme rezolvate. Calcul rapid: calculator aria triunghiului.