Cercul trigonometric: valori, semne, formule de reducere

Q: Ce rază are cercul trigonometric?

Raza este 1, iar centrul este în originea axelor. De aceea coordonatele punctului M asociat unghiului x sunt chiar x și x , fără alte calcule.

Q: Cum aflu semnul lui sin, cos și tg într-un cadran?

Sinusul are semnul ordonatei (pozitiv în cadranele I și II), cosinusul are semnul abscisei (pozitiv în I și IV), iar tangenta este pozitivă unde sinusul și cosinusul au același semn (I și III).

Q: Cum reduc un unghi la primul cadran?

Scrii unghiul ca 180^ - x , 180^ + x sau 360^ - x , cu x ascuțit, păstrezi funcția și pui semnul pe care îl are funcția inițială în cadranul unghiului dat. Exemplu: 210^ = - 30^ = -12 .

Q: De ce $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $?

Pentru că punctul M( x, x) se află pe cercul de rază 1 cu centrul în origine, a cărui ecuație este x² + y² = 1 (teorema lui Pitagora în triunghiul format de O , M și proiecția lui M pe Ox ).

Formule

Cercul trigonometric este cercul cu centrul în originea $O$ a sistemului de axe și raza 1. Unghiului $x$ îi corespunde pe cerc punctul $M (\cos x, \sin x)$ : abscisa lui $M$ este cosinusul, ordonata este sinusul, iar $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ . Din poziția punctului citești semnele pe cadrane și formulele de reducere la primul cadran.

Ce este cercul trigonometric

Este cercul $C (O, 1)$ din planul $x O y$ , pe care s-au fixat:

originea arcelor, punctul $A (1, 0)$ ;
sensul pozitiv (sensul trigonometric): invers acelor de ceasornic; unghiurile negative se măsoară în sensul acelor de ceasornic;
punctele de pe axe: $A (1, 0)$ , $B (0, 1)$ , $A^{'} (- 1, 0)$ , $B^{'} (0, - 1)$ , corespunzătoare unghiurilor $0^{\circ}$ , $90^{\circ}$ , $180^{\circ}$ , $270^{\circ}$ .

Pe cadrane, în paranteză: (semnul lui cos x, semnul lui sin x).

Pentru un unghi $x$ , punctul $M$ se obține rotind raza $O A$ cu unghiul $x$ . Atunci:

M (\cos x, \sin x), tg x = \frac{\sin x}{\cos x} (\cos x \neq 0), ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} (\sin x \neq 0)

Pentru că $M$ se află pe cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} = 1$ , rezultă imediat formula fundamentală $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ și faptul că $- 1 \leq \sin x \leq 1$ , $- 1 \leq \cos x \leq 1$ .

Grade și radiani

Lungimea cercului trigonometric este $2 π$ , de aceea un unghi se poate măsura și prin lungimea arcului pe care îl subîntinde (în radiani):

180^{\circ} = π rad, x rad = \frac{x \cdot 180^{\circ}}{π}, α^{\circ} = \frac{α \cdot π}{180} rad

De exemplu, $30^{\circ} = \frac{π}{6}$ , $45^{\circ} = \frac{π}{4}$ , $60^{\circ} = \frac{π}{3}$ , $90^{\circ} = \frac{π}{2}$ , $270^{\circ} = \frac{3 π}{2}$ , $360^{\circ} = 2 π$ .

Valorile principale pe cercul trigonometric

Coordonatele punctelor „speciale” de pe cerc dau direct cosinusul (prima coordonată) și sinusul (a doua coordonată):

Unghi	Radiani	$M (\cos x, \sin x)$	$tg x$
$0^{\circ}$	$0$	$(1, 0)$	$0$
$30^{\circ}$	$\frac{π}{6}$	$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^{\circ}$	$\frac{π}{4}$	$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$	$1$
$60^{\circ}$	$\frac{π}{3}$	$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$	$\sqrt{3}$
$90^{\circ}$	$\frac{π}{2}$	$(0, 1)$	nu există
$120^{\circ}$	$\frac{2 π}{3}$	$(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$	$- \sqrt{3}$
$135^{\circ}$	$\frac{3 π}{4}$	$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$	$- 1$
$150^{\circ}$	$\frac{5 π}{6}$	$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$
$180^{\circ}$	$π$	$(- 1, 0)$	$0$
$210^{\circ}$	$\frac{7 π}{6}$	$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$225^{\circ}$	$\frac{5 π}{4}$	$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$	$1$
$240^{\circ}$	$\frac{4 π}{3}$	$(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$	$\sqrt{3}$
$270^{\circ}$	$\frac{3 π}{2}$	$(0, - 1)$	nu există
$300^{\circ}$	$\frac{5 π}{3}$	$(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$	$- \sqrt{3}$
$315^{\circ}$	$\frac{7 π}{4}$	$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$	$- 1$
$330^{\circ}$	$\frac{11 π}{6}$	$(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Observă simetriile: punctele pentru $30^{\circ}$ , $150^{\circ}$ , $210^{\circ}$ , $330^{\circ}$ au aceleași coordonate în modul, diferă doar semnele. Tabelul complet (inclusiv ctg) este pe pagina tabel trigonometric.

Semnele funcțiilor trigonometrice pe cadrane

Axele împart cercul în patru cadrane. Semnul cosinusului este semnul abscisei lui $M$ , iar semnul sinusului este semnul ordonatei; tangenta și cotangenta au semnul raportului.

Cadranul	Unghiul $x$	$\sin x$	$\cos x$	$tg x, ctg x$
I	$(0^{\circ}, 90^{\circ})$	+	+	+
II	$(90^{\circ}, 180^{\circ})$	+	−	−
III	$(180^{\circ}, 270^{\circ})$	−	−	+
IV	$(270^{\circ}, 360^{\circ})$	−	+	−

Regulă de memorare: în cadranul I totul este pozitiv; în II doar sinusul; în III doar tangenta și cotangenta; în IV doar cosinusul.

Formule de reducere la primul cadran

Orice valoare trigonometrică se poate scrie cu ajutorul unui unghi ascuțit, folosind simetriile cercului. Pentru $x$ oarecare:

Unghiul	$\sin$	$\cos$	$tg$	Simetria
$- x$	$- \sin x$	$\cos x$	$- tg x$	față de axa $O x$
$π - x$	$\sin x$	$- \cos x$	$- tg x$	față de axa $O y$
$π + x$	$- \sin x$	$- \cos x$	$tg x$	față de originea $O$
$2 π - x$	$- \sin x$	$\cos x$	$- tg x$	față de axa $O x$
$\frac{π}{2} - x$	$\cos x$	$\sin x$	$ctg x$	față de prima bisectoare
$\frac{π}{2} + x$	$\cos x$	$- \sin x$	$- ctg x$	rotație cu $90^{\circ}$

Regula practică (consideră $x$ ascuțit):

La $π \pm x$ și $2 π - x$ funcția rămâne aceeași; la $\frac{π}{2} \pm x$ și $\frac{3 π}{2} \pm x$ sinusul devine cosinus și invers (tg devine ctg).
Semnul rezultatului este semnul funcției inițiale în cadranul în care se află unghiul dat.

Periodicitate: o rotație completă readuce punctul $M$ în aceeași poziție, deci $\sin (x + 2 k π) = \sin x$ , $\cos (x + 2 k π) = \cos x$ , $k \in Z$ . Tangenta și cotangenta au perioada $π$ : $tg (x + k π) = tg x$ . Pentru unghiuri mari scazi multipli de $360^{\circ}$ , de exemplu $\sin 750^{\circ} = \sin (2 \cdot 360^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Ecuații simple citite pe cerc

Pe cerc se vede imediat câte soluții are o ecuație într-un interval. Ecuația $\sin x = a$ , cu $- 1 < a < 1$ , are pe $[0, 2 π)$ exact două soluții, simetrice față de axa $O y$ : $x_{1}$ și $π - x_{1}$ . Ecuația $\cos x = a$ are soluțiile $x_{1}$ și $2 π - x_{1}$ , simetrice față de axa $O x$ . Soluțiile generale (pe $R$ ) se găsesc pe pagina de formule trigonometrice.

Greșeli frecvente

Coordonatele inversate: punctul este $M (\cos x, \sin x)$ , nu $(\sin x, \cos x)$ . Cosinusul se citește pe axa orizontală.
Semnul pus după unghiul ascuțit: $\cos 120^{\circ} = - \cos 60^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ; semnul se ia din cadranul lui $120^{\circ}$ (II), nu din cel al lui $60^{\circ}$ .
Confuzia grade–radiani: $\sin π = 0$ , dar „ $\sin 3, 14^{\circ}$ ” este alt număr; la calculator verifică modul DEG/RAD.
Sensul unghiurilor negative: $- 30^{\circ}$ este în cadranul IV, iar $\sin (- 30^{\circ}) = - \frac{1}{2}$ .

Poți verifica orice valoare cu calculatorul trigonometric. Pentru exersare: fișa de lucru trigonometrie clasa a 9-a și subiecte de trigonometrie de la Bacalaureat rezolvate. Formulele de bază pentru unghiuri ascuțite sunt la triunghiul dreptunghic.

Întrebări frecvente

Ce rază are cercul trigonometric? Raza este 1, iar centrul este în originea axelor. De aceea coordonatele punctului $M$ asociat unghiului $x$ sunt chiar $\cos x$ și $\sin x$ , fără alte calcule.

Cum aflu semnul lui sin, cos și tg într-un cadran? Sinusul are semnul ordonatei (pozitiv în cadranele I și II), cosinusul are semnul abscisei (pozitiv în I și IV), iar tangenta este pozitivă unde sinusul și cosinusul au același semn (I și III).

Cum reduc un unghi la primul cadran? Scrii unghiul ca $180^{\circ} - x$ , $180^{\circ} + x$ sau $360^{\circ} - x$ , cu $x$ ascuțit, păstrezi funcția și pui semnul pe care îl are funcția inițială în cadranul unghiului dat. Exemplu: $\sin 210^{\circ} = - \sin 30^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .

De ce $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ ? Pentru că punctul $M (\cos x, \sin x)$ se află pe cercul de rază 1 cu centrul în origine, a cărui ecuație este $x^{2} + y^{2} = 1$ (teorema lui Pitagora în triunghiul format de $O$ , $M$ și proiecția lui $M$ pe $O x$ ).

Verifică-te: 3 întrebări

Cât este $\cos 180^{\circ}$ ?

$0$
$- 1$
$1$

În ce cadran are $x$ sinusul pozitiv și cosinusul negativ?

Cadranul I
Cadranul II
Cadranul III

Formula de reducere corectă este:

$\sin (π - x) = - \sin x$
$\cos (π - x) = \cos x$
$\sin (π - x) = \sin x$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — unghi din cadranul II

Calculați $\sin 150^{\circ}$ , $\cos 150^{\circ}$ și $tg 150^{\circ}$ .

Rezolvare: $150^{\circ} = 180^{\circ} - 30^{\circ}$ , cadranul II (sinus pozitiv, cosinus negativ).

\sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \cos 150^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{2}, tg 150^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{3}

Exemplul 2 — unghi din cadranul III

Calculați $\sin 240^{\circ}$ și $\cos 240^{\circ}$ .

Rezolvare: $240^{\circ} = 180^{\circ} + 60^{\circ}$ , cadranul III, unde sinusul și cosinusul sunt negative: $\sin 240^{\circ} = - \sin 60^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 240^{\circ} = - \cos 60^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .

Exemplul 3 — radiani și unghi negativ

Calculați $\cos \frac{7 π}{4}$ și $\sin (- \frac{π}{3})$ .

Rezolvare: $\frac{7 π}{4} = 2 π - \frac{π}{4}$ (cadranul IV), deci $\cos \frac{7 π}{4} = \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Sinusul este funcție impară: $\sin (- \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exemplul 4 — semnul unei expresii

Stabiliți semnul numărului $E = \sin 100^{\circ} \cdot \cos 200^{\circ} \cdot tg 300^{\circ}$ .

Rezolvare: $100^{\circ}$ este în cadranul II, deci $\sin 100^{\circ} > 0$ ; $200^{\circ}$ este în cadranul III, deci $\cos 200^{\circ} < 0$ ; $300^{\circ}$ este în cadranul IV, deci $tg 300^{\circ} < 0$ . Produsul are semnul $(+) (-) (-) = +$ , deci $E > 0$ .

Exemplul 5 — unghi mai mare de 360°

Calculați $\sin 1140^{\circ}$ și $tg 765^{\circ}$ .

Rezolvare: $1140^{\circ} = 3 \cdot 360^{\circ} + 60^{\circ}$ , deci $\sin 1140^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . $765^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 45^{\circ}$ , deci $tg 765^{\circ} = tg 45^{\circ} = 1$ .

Exemplul 6 — ecuație pe cerc

Rezolvați ecuația $\sin x = \frac{1}{2}$ pentru $x \in [0, 2 π)$ .

Rezolvare: Pe cerc, ordonata $\frac{1}{2}$ este atinsă în două puncte, simetrice față de $O y$ : în cadranul I, $x_{1} = \frac{π}{6}$ , și în cadranul II, $x_{2} = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ . Soluțiile sunt ${\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}}$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Transformați în radiani $210^{\circ}$ și $315^{\circ}$ , apoi în grade $\frac{5 π}{6}$ și $\frac{4 π}{3}$ .
Calculați $\sin 135^{\circ}$ , $\cos 135^{\circ}$ și $tg 135^{\circ}$ .
Calculați $\sin 330^{\circ}$ și $\cos 330^{\circ}$ .
Calculați $\sin \frac{5 π}{3}$ și $\cos \frac{2 π}{3}$ .
Stabiliți semnul produsului $\cos 170^{\circ} \cdot \sin 260^{\circ}$ .
Arătați că $\sin^{2} 110^{\circ} + \cos^{2} 70^{\circ} = 1$ .
Rezolvați ecuația $\cos x = - \frac{1}{2}$ pentru $x \in [0, 2 π)$ .
Calculați $\cos 1^{\circ} + \cos 2^{\circ} + \cos 3^{\circ} + \dots + \cos 180^{\circ}$ .
Calculați $\sin 2025^{\circ}$ .

Răspunsuri

$\frac{7 π}{6}$ , $\frac{7 π}{4}$ ; $150^{\circ}$ , $240^{\circ}$ .
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $- 1$ .
$\sin 330^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $\cos 330^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ și $- \frac{1}{2}$ .
Ambii factori sunt negativi (cadranele II, respectiv III), deci produsul este pozitiv.
$\sin 110^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 70^{\circ}) = \sin 70^{\circ}$ , deci suma este $\sin^{2} 70^{\circ} + \cos^{2} 70^{\circ} = 1$ .
$x \in {\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}}$ .
$- 1$ : termenii se grupează $\cos k^{\circ} + \cos (180^{\circ} - k^{\circ}) = 0$ pentru $k = 1, \dots, 89$ , $\cos 90^{\circ} = 0$ , iar $\cos 180^{\circ} = - 1$ .
$2025^{\circ} = 5 \cdot 360^{\circ} + 225^{\circ}$ , deci $\sin 2025^{\circ} = \sin 225^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Cercul trigonometric — valori, semne pe cadrane și formule de reducere