Cilindrul circular drept — arie laterală, totală, volum, exemple rezolvate

Cilindrul circular drept are aria laterală $A_l=2\pi RG$, aria totală $A_t=2\pi R(G+R)$ și volumul $V=\pi R^{2}h$, unde $R$ este raza bazei, iar generatoarea este egală cu înălțimea: $G=h$. Cilindrul se obține rotind un dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale; bazele sunt două discuri congruente situate în plane paralele. Mai jos găsești desfășurarea, secțiunea axială, cilindrul echilateral, cilindrul înscris sau circumscris unui cub, exemple rezolvate și exerciții cu răspunsuri.

Elementele cilindrului

Bazele sunt două discuri cu centrele $O$ și $O^{\prime }$ și aceeași rază $R$. Dreapta $O{O}^{\prime }$ este axa cilindrului, iar lungimea segmentului $O{O}^{\prime }$ este înălțimea $h$. O generatoare $G$ este un segment $A{A}^{\prime }$ care unește un punct de pe cercul unei baze cu punctul corespunzător de pe cealaltă bază; toate generatoarele sunt paralele cu axa. La cilindrul circular drept generatoarea este perpendiculară pe baze, deci $G=h$. Se pot folosi formulele de la prisma regulată, ținând cont că bazele sunt cercuri.

Desfășurarea cilindrului

Dacă tăiem suprafața laterală de-a lungul unei generatoare și o întindem în plan, obținem un dreptunghi cu o latură egală cu lungimea cercului bazei, $2\pi R$, și cealaltă egală cu generatoarea $G$. La acesta se adaugă cele două discuri ale bazelor, fiecare de arie $\pi R^2$. De aici vin direct formulele ariilor.

Formulele cilindrului

Volumul se calculează ca la orice corp „prismatic”: aria bazei înmulțită cu înălțimea. Dacă știi diametrul $D$, înlocuiește $R={\displaystyle \frac{D}{2}}$. Pentru a afla raza din volum: $R=\sqrt{{\displaystyle \frac{V}{\pi h}}}$.

Secțiunea axială și cilindrul echilateral

Secțiunea cu un plan care conține axa $O{O}^{\prime }$ este un dreptunghi cu laturile $2R$ (diametrul bazei) și $G$. Aria ei este $A_s=2RG$, iar diagonala ei este $\sqrt{4R^2+G^2}$ — cea mai lungă „bară” care încape în cilindru.

Un cilindru este echilateral dacă secțiunea axială este pătrat, adică $G=2R$. Atunci formulele devin:

Cilindrul înscris sau circumscris unui cub ori unei prisme

Dacă un cilindru este înscris în cubul cu muchia $l$, bazele lui sunt cercurile înscrise în două fețe opuse: $R={\displaystyle \frac{l}{2}}$, $G=l$, deci $V={\displaystyle \frac{\pi l^3}{4}}$. Dacă cilindrul este circumscris cubului, cercurile bazelor trec prin vârfurile fețelor: $R={\displaystyle \frac{l\sqrt{2}}{2}}$ (jumătate din diagonala feței), $G=l$, deci $V={\displaystyle \frac{\pi l^3}{2}}$. Analog, pentru o prismă triunghiulară regulată cu latura bazei $l$ folosești $r={\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{6}}$ (cerc înscris) sau $R={\displaystyle \frac{l\sqrt{3}}{3}}$ (cerc circumscris).

Volum și capacitate: litri

Problemele cu vase, butoaie sau rezervoare cer capacitatea în litri. Reține: $1{\text{dm}}^3=1\text{l}$, $1{\text{m}}^3=1000\text{l}$, $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$. Cel mai simplu este să transformi toate lungimile în decimetri înainte de calcul. Mai multe pe pagina unități de măsură și transformări.

Cum rezolvi o problemă cu cilindrul

Notează datele și identifică raza (nu diametrul). Dacă lipsește un element, scrie formula care îl conține și rezolvă ecuația: din arie laterală afli $R$ sau $G$, din volum afli $h$, din secțiunea axială citești $2R$ și $G$. Abia apoi calculezi mărimea cerută, păstrând $\pi$ în rezultat dacă enunțul nu cere o aproximare. La final verifică unitățile: cm pentru lungimi, cm² pentru arii, cm³ sau litri pentru volum.

Greșeli frecvente

• Diametrul pus în locul razei. Dacă enunțul dă $D=10$ cm, atunci $R=5$ cm.
• Aria totală cu o singură bază. Cilindrul are două baze: $A_t=A_l+2\pi R^2$. Un vas fără capac are însă $A_l+\pi R^2$.
• Confuzia $2\pi R$ cu $\pi R^2$: prima este o lungime (cm), a doua o arie (cm²).
• Unități amestecate la litri: ${\text{cm}}^3$ se împart la 1000 pentru a obține litri.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre generatoare și înălțime? La cilindrul circular drept ele coincid ($G=h$); diferă doar la cilindrul oblic, unde generatoarea este înclinată față de baze.

Cum aflu raza dacă știu volumul și înălțimea? Din $V=\pi R^{2}h$ rezultă $R=\sqrt{{\displaystyle \frac{V}{\pi h}}}$. De exemplu, pentru $V=90\pi$ și $h=10$ obții $R=3$.

Ce este un cilindru echilateral? Un cilindru a cărui secțiune axială este pătrat, adică $G=2R$. Are $A_t=6\pi R^2$ și $V=2\pi R^3$.

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, sfera, trunchiul de piramidă, conul, cercul.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.

Istoric: Arhimede (c. 287 – 212 î.Hr.) — a comparat cilindrul cu sfera înscrisă în el: volumul și aria totală a sferei sunt două treimi din cele ale cilindrului.

Exersează: fișă de lucru printabilă — corpuri rotunde (cilindru, con, sferă), clasa a 8-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.