Geometrie în spațiu — formule arii și volume

Geometria în spațiu studiază pozițiile relative ale dreptelor și planelor și corpurile geometrice: cubul, paralelipipedul dreptunghic, prisma regulată, piramida regulată, trunchiul de piramidă, cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera. În această secțiune găsești, pentru fiecare corp, formulele de arie laterală, arie totală și volum, relațiile dintre elemente (muchii, apoteme, generatoare, diagonale, raze) și exemple rezolvate pas cu pas. Este materia de clasa a VIII-a și acoperă integral subiectul de geometrie în spațiu de la Evaluarea Națională; teoremele despre drepte perpendiculare și paralele cu un plan sunt necesare și pentru demonstrațiile din subiectul III.

Formulele esențiale

Cubul cu muchia $a$ : $A_{t} = 6 a^{2}, V = a^{3}, d = a \sqrt{3}$ .

Paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile $L, l, h$ : $A_{t} = 2 (L l + L h + l h),$ $V = L \cdot l \cdot h, d = \sqrt{L^{2} + l^{2} + h^{2}}$ .

Prisma regulată: $A_{l} = P_{b} \cdot h, A_{t} = A_{l} + 2 A_{b}, V = A_{b} \cdot h$ .

Piramida regulată cu apotema $a_{p}$ : $A_{l} = \frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2}, A_{t} = A_{l} + A_{b}, V = \frac{A_{b} \cdot h}{3}$ .

Trunchiul de piramidă regulată: $A_{l} = \frac{(P_{B} + P_{b}) a_{t}}{2}$ și

V = \frac{h}{3} (A_{B} + A_{b} + \sqrt{A_{B} \cdot A_{b}}) .

Cilindrul cu raza $R$ și înălțimea $h$ : $A_{l} = 2 π R h, A_{t} = 2 π R (R + h), V = π R^{2} h$ .

Conul cu raza $R$ , generatoarea $G$ și înălțimea $h$ ( $G^{2} = R^{2} + h^{2}$ ): $A_{l} = π R G, A_{t} = π R (R + G), V = \frac{π R^{2} h}{3}$ .

Trunchiul de con: $A_{l} = π G (R + r), V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ .

Sfera cu raza $R$ : $A = 4 π R^{2}, V = \frac{4 π R^{3}}{3}$ .

Pași de rezolvare

Desenează corpul și notează pe figură toate datele; identifică tipul bazei (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat).
Află elementele lipsă cu teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice caracteristice: înălțime–apotema bazei–apotema piramidei, respectiv înălțime–rază–generatoare la con.
Calculează aria bazei cu formulele din geometria plană ( $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ pentru triunghiul echilateral, $l^{2}$ pentru pătrat, $\frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{2}$ pentru hexagonul regulat).
Aplică formulele de arie laterală, arie totală și volum, în această ordine, refolosind rezultatele intermediare.
Pentru distanțe și unghiuri (de la un punct la un plan, între o dreaptă și un plan) folosește teorema celor trei perpendiculare și teoremele despre dreapta perpendiculară pe plan.

Greșeli frecvente

Confundarea apotemei bazei cu apotema piramidei sau a înălțimii cu generatoarea la con.
Uitarea împărțirii la 3 la volumul piramidei și al conului, sau adunarea a două arii ale bazei la piramidă (are o singură bază).
Amestecarea unităților de măsură: aria se exprimă în cm², volumul în cm³, iar 1 dm³ = 1 litru.

Întrebări frecvente

Ce corpuri apar la Evaluarea Națională? Cel mai des: cubul, paralelipipedul dreptunghic, prisma triunghiulară sau patrulateră regulată, piramida patrulateră regulată și tetraedrul regulat; cilindrul, conul și sfera apar mai rar, dar sunt în programă.

Cum demonstrez că o dreaptă este perpendiculară pe un plan? Arăți că este perpendiculară pe două drepte concurente din plan; atunci este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.

De unde vine formula volumului trunchiului? Din diferența dintre volumul piramidei mari și al piramidei mici tăiate, folosind raportul de asemănare al bazelor.

Capitolul aparține secțiunii Geometrie și trigonometrie; formulele din plan folosite pentru arii se găsesc în paginile de geometrie plană, iar ecuațiile necesare la aflarea elementelor în Ecuații.

Exersează: fișă de lucru printabilă — unghiuri în spațiu, unghi diedru și secțiuni, clasa a 8-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Exersează: fișă de lucru printabilă — probleme tip Evaluare Națională (Subiectul III), geometrie în spațiu, cu 8 probleme și barem.

La Evaluarea Națională: toate problemele de geometrie în spațiu din Subiectul III — enunțuri, figuri și rezolvări pas cu pas.

Toate formulele din această categorie

Dreaptă perpendiculară pe plan și teorema celor trei perpendiculare — exemple rezolvate Dreapta perpendiculară pe plan: criteriu, distanța de la un punct la un plan, teorema celor trei perpendicular... Dreaptă paralelă cu un plan Dreaptă paralelă cu un plan: definiție, criteriul de paralelism (paralelă cu o dreaptă din plan), pozițiile re... Cubul — formule arie, volum, diagonală + exemplu rezolvat Formule cub cu muchia a: At = 6a², V = a³, diagonala a√3, diagonala feței a√2. Cubul ca formă geometrică: 6 fe... Paralelipiped dreptunghic — formule: arie, volum, diagonală (cu exemple) Paralelipipedul dreptunghic: V = L·l·h, aria laterală 2(L+l)h, aria totală 2(Ll+lh+Lh), diagonala √(L²+l²+h²).... Prisma regulată dreaptă — formule arie laterală, totală, volum + exemple Formule prisma regulată dreaptă: Al = Pb·h, At = Al + 2Ab, V = Ab·h. Prisma triunghiulară, patrulateră, hexago... Piramida regulată — formule (triunghiulară, patrulateră, hexagonală) + exemple Formule piramida regulată: Al = Pb·ap/2, At = Al + Ab, V = Ab·h/3. Piramida triunghiulară, patrulateră și hexa... Trunchiul de piramidă — arie laterală, totală, volum, exemple rezolvate Trunchiul de piramidă: Al = (Pb + PB)·at/2, At = Al + AB + Ab, V = h(AB + Ab + √(AB·Ab))/3, legătura cu pirami... Cilindrul circular drept — arie laterală, totală, volum, exemple rezolvate Cilindrul circular drept: aria laterală Al = 2πRG, aria totală At = 2πR(G+R), volumul V = πR²h. Desfășurare, s... Conul circular drept — formule arie laterală, totală, volum + exemplu Formule con circular drept: Al = πRG, At = πR(R+G), V = πR²h/3, generatoarea G² = R² + h² — explicate, cu exem... Trunchi de con — formule arie laterală, arie totală, volum + exemplu Formule trunchi de con: Al = πG(R+r), At = Al + πR² + πr², V = πh(R² + Rr + r²)/3, G² = h² + (R−r)² — cu exemp... Sfera — aria, volumul, secțiunea plană, exemple rezolvate Sfera: aria A = 4πR², volumul V = 4πR³/3, secțiunea plană r² = R² − d², sfera înscrisă și circumscrisă cubului... Prisma triunghiulară regulată Prisma triunghiulară regulată: aria laterală 3lh, aria totală, volumul, înălțimea bazei, diagonala feței later... Prisma patrulateră regulată Prisma patrulateră regulată (baza pătrat): aria laterală 4lh, aria totală, volumul l²h, diagonala d = √(2l² + ... Piramida patrulateră regulată Piramida patrulateră regulată: apotema bazei l/2, apotema piramidei, muchia laterală, Al = 2l·ap, At, V = l²h/... Piramida triunghiulară regulată Piramida triunghiulară regulată: apotema bazei l√3/6, raza l√3/3, înălțime, Al, At, volum l²√3·h/12, tetraedru... Piramida hexagonală regulată Piramida hexagonală regulată: apotema bazei l√3/2, aria bazei 3l²√3/2, muchia laterală, Al = 3l·ap, At, volum ...

Actualizat la

Testează-te la Evaluarea Națională Grile din subiecte oficiale, cu scor instant și explicații →

Geometrie în spațiu: formule arii și volume pentru corpuri geometrice

Formulele esențiale

Pași de rezolvare

Greșeli frecvente

Întrebări frecvente

Toate formulele din această categorie

Formule conexe