Trunchiul de piramidă — arie laterală, totală, volum, exemple rezolvate

Trunchiul de piramidă regulată are aria laterală $A_l={\displaystyle \frac{(P_b+P_B)\cdot a_t}{2}}$, aria totală $A_t=A_l+A_B+A_b$ și volumul $V={\displaystyle \frac{h}{3}}(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b})$, unde $A_B,P_B$ se referă la baza mare, $A_b,P_b$ la baza mică, $h$ este înălțimea, iar $a_t$ apotema trunchiului. Corpul se obține secționând o piramidă cu un plan paralel cu baza și îndepărtând piramida mică de la vârf.

Elementele trunchiului de piramidă

Trunchiul are două baze paralele și asemenea: baza mare (latura $L$, aria $A_B$, perimetrul $P_B$) și baza mică (latura $l$, aria $A_b$, perimetrul $P_b$). Înălțimea $h$ este distanța dintre plane, adică segmentul $O{O}^{\prime }$ care unește centrele bazelor. La trunchiul regulat fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente, iar înălțimea unui asemenea trapez este apotema trunchiului $a_t$. Muchiile laterale $m$ sunt egale.

Formulele trunchiului de piramidă

Aria laterală este suma ariilor celor $n$ trapeze: fiecare are aria ${\displaystyle \frac{(L+l)a_t}{2}}$, iar $n(L+l)=P_B+P_b$. Relația pentru $a_t$ vine din trapezul dreptunghic format de înălțime, apotema trunchiului și apotemele bazelor $a_B$, $a_b$. Relația pentru muchie vine din trapezul isoscel al unei fețe laterale.

Legătura cu piramida din care provine

Piramida mică îndepărtată este asemenea cu piramida inițială. Dacă $k={\displaystyle \frac{l}{L}}$ este raportul de asemănare (egal și cu raportul înălțimilor celor două piramide), atunci:

De exemplu, dacă planul taie piramida la jumătatea înălțimii, $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$, piramida mică are ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ din volum, iar trunchiul ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ din volumul piramidei.

Trunchi regulat patrulater, triunghiular și hexagonal

Aceleași formule se aplică bazei mici, înlocuind $L$ cu $l$.

Cum rezolvi o problemă cu trunchiul de piramidă

Începe prin a calcula, pentru ambele baze, aria, perimetrul și apotema, folosind tabelul de mai sus. Apoi desenează trapezul dreptunghic din interiorul trunchiului: are ca laturi înălțimea $h$, apotema trunchiului $a_t$ și apotemele bazelor. Din el afli elementul care lipsește cu teorema lui Pitagora. Pentru muchia laterală folosește trapezul isoscel al unei fețe laterale: proiecția muchiei pe baza mare a feței este ${\displaystyle \frac{L-l}{2}}$. Abia la final aplici formulele ariilor și volumului. Dacă problema pornește de la o piramidă tăiată, lucrează cu raportul de asemănare $k$: laturile și înălțimile se înmulțesc cu $k$, ariile cu $k^2$, volumele cu $k^3$.

Un truc de verificare util: volumul trunchiului trebuie să fie între $A_b\cdot h$ și $A_B\cdot h$, adică între volumul „prismei mici” și al „prismei mari” cu aceeași înălțime.

Greșeli frecvente

• Confuzia apotemă–înălțime: $a_t$ stă pe fața laterală, $h$ este perpendiculară pe baze; $a_t>h$.
• Diferența apotemelor bazelor: în $a_t^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$ intră diferența apotemelor, nu a laturilor.
• Uitarea termenului $\sqrt{A_B\cdot A_b}$ sau a factorului ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ la volum.
• Raportul volumelor este $k^3$, nu $k$ sau $k^2$.

Întrebări frecvente

Ce este apotema trunchiului de piramidă? Este înălțimea unei fețe laterale (trapez isoscel) la trunchiul regulat. Se calculează din $a_t^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$.

Pot calcula volumul ca diferență de piramide? Da: $V=V_{mare}-V_{mică}$. Rezultatul coincide cu formula ${\displaystyle \frac{h}{3}}(A_B+A_b+\sqrt{A_B{A}_b})$.

Ce formă au fețele laterale? La trunchiul de piramidă regulată, fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente; bazele sunt poligoane regulate asemenea.

Pagini conexe: geometrie în spațiu, toate formulele de arii și volume, piramida regulată, cilindrul, sfera, trunchiul de con.

Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.

Exersează: fișă de lucru printabilă — trunchiul de piramidă, clasa a 8-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.