Arii și volume ale corpurilor geometrice — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 8-a)

La corpurile geometrice din clasa a 8-a calculezi aria laterală (suprafața fețelor laterale), aria totală (aria laterală plus bazele) și volumul. Regula de bază: la prismă și cilindru $V=A_b\cdot h$, iar la piramidă și con $V={\displaystyle \frac{A_b\cdot h}{3}}$. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate, de la ușor la nivel de Evaluare Națională.

Ce trebuie să știi

• Cub (muchia $l$): $A_l=4l^2$, $A_t=6l^2$; $V=l^3$
• Paralelipiped dreptunghic $L,\ell ,h$: $A_t=2(L\ell +Lh+\ell h)$; $V=L\cdot \ell \cdot h$
• Prismă dreaptă: $A_l=P_b\cdot h$, $A_t=A_l+2A_b$; $V=A_b\cdot h$
• Piramidă regulată: $A_l={\displaystyle \frac{P_b\cdot a_p}{2}}$, $A_t=A_l+A_b$; $V={\displaystyle \frac{A_b\cdot h}{3}}$
• Cilindru circular drept: $A_l=2\pi RG$, $A_t=2\pi R(R+G)$; $V=\pi R^{2}G$
• Con circular drept: $A_l=\pi RG$, $A_t=\pi R(R+G)$; $V={\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}$

• Diagonala cubului: $d=l\sqrt{3}$; diagonala paralelipipedului: $d=\sqrt{L^2+{\ell }^2+h^2}$.
• La piramida regulată, triunghiul dreptunghic „înălțime – apotema bazei – apotema piramidei” dă $a_p^2=h^2+a_b^2$.
• La con, generatoarea, raza și înălțimea formează un triunghi dreptunghic: $G^2=R^2+h^2$. La cilindru, $G=h$.
• Unități: $1{\text{dm}}^3=1\text{L}$, $1{\text{m}}^3=1000\text{L}$, $1\text{L}=1000{\text{cm}}^3$.
• Pentru teorie completă vezi formulele pentru arii și volume.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

1. Un cub are muchia de 6 cm. Calculează aria totală, volumul și lungimea diagonalei cubului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Aria totală: $A_t=6l^2=6\cdot 36$ $=216{\text{cm}}^2$.
2. Volumul: $V=l^3=6^3=216{\text{cm}}^3$.
3. Diagonala: $d=l\sqrt{3}=6\sqrt{3}\text{cm}$.

Răspuns: $A_t=216{\text{cm}}^2$, $V=216{\text{cm}}^3$, $d=6\sqrt{3}\text{cm}$.

2. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $L=8\text{cm}$, $\ell =6\text{cm}$ și $h=5\text{cm}$. Calculează aria totală, volumul și diagonala.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $A_t=2(L\ell +Lh+\ell h)$ $=2(48+40+30)$ $=2\cdot 118$ $=236{\text{cm}}^2$.
2. $V=L\cdot \ell \cdot h$ $=8\cdot 6\cdot 5$ $=240{\text{cm}}^3$.
3. $d=\sqrt{64+36+25}$ $=\sqrt{125}$ $=5\sqrt{5}\text{cm}$.

Răspuns: $A_t=236{\text{cm}}^2$, $V=240{\text{cm}}^3$, $d=5\sqrt{5}\text{cm}$.

3. Un cilindru circular drept are raza bazei $R=3\text{cm}$ și generatoarea $G=10\text{cm}$. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $A_l=2\pi RG$ $=2\pi \cdot 3\cdot 10$ $=60\pi {\text{cm}}^2$.
2. $A_t=2\pi R(R+G)$ $=2\pi \cdot 3\cdot 13$ $=78\pi {\text{cm}}^2$.
3. $V=\pi R^{2}G$ $=\pi \cdot 9\cdot 10$ $=90\pi {\text{cm}}^3$.

Răspuns: $A_l=60\pi {\text{cm}}^2$, $A_t=78\pi {\text{cm}}^2$, $V=90\pi {\text{cm}}^3$.

Nivel mediu

4. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 10 cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Baza este triunghi echilateral: $A_b={\displaystyle \frac{l^2\sqrt{3}}{4}}$ $={\displaystyle \frac{36\sqrt{3}}{4}}$ $=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.
2. $A_l=P_b\cdot h$ $=18\cdot 10$ $=180{\text{cm}}^2$.
3. $A_t=A_l+2A_b$ $=180+18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.
4. $V=A_b\cdot h$ $=9\sqrt{3}\cdot 10$ $=90\sqrt{3}{\text{cm}}^3$.

Răspuns: $A_l=180{\text{cm}}^2$, $A_t$ $=(180+18\sqrt{3}){\text{cm}}^2$, $V=90\sqrt{3}{\text{cm}}^3$.

5. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 10 cm și apotema de 13 cm. Calculează înălțimea, aria totală și volumul piramidei.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Apotema bazei (pătrat) este jumătate din latură: $a_b=5\text{cm}$.
2. În triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei: $h=\sqrt{a_p^2-a_b^2}$ $=\sqrt{169-25}$ $=12\text{cm}$.
3. $A_l={\displaystyle \frac{P_b\cdot a_p}{2}}$ $={\displaystyle \frac{40\cdot 13}{2}}$ $=260{\text{cm}}^2$, $A_b=100{\text{cm}}^2$, deci $A_t=360{\text{cm}}^2$.
4. $V={\displaystyle \frac{A_b\cdot h}{3}}$ $={\displaystyle \frac{100\cdot 12}{3}}$ $=400{\text{cm}}^3$.

Răspuns: $h=12\text{cm}$, $A_t=360{\text{cm}}^2$, $V=400{\text{cm}}^3$.

6. Un con circular drept are raza bazei de 6 cm și generatoarea de 10 cm. Calculează înălțimea, aria totală și volumul conului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Din $G^2=R^2+h^2$: $h=\sqrt{100-36}=8\text{cm}$.
2. $A_l=\pi RG=60\pi {\text{cm}}^2$, $A_b=\pi R^2=36\pi {\text{cm}}^2$, deci $A_t=96\pi {\text{cm}}^2$.
3. $V={\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}$ $={\displaystyle \frac{\pi \cdot 36\cdot 8}{3}}$ $=96\pi {\text{cm}}^3$.

Răspuns: $h=8\text{cm}$, $A_t=96\pi {\text{cm}}^2$, $V=96\pi {\text{cm}}^3$.

7. Diagonala unui cub are 12 cm. Calculează muchia, aria totală și volumul cubului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $l\sqrt{3}=12\Rightarrow l$ $={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}}}$ $={\displaystyle \frac{12\sqrt{3}}{3}}$ $=4\sqrt{3}\text{cm}$.
2. $A_t=6l^2=6\cdot 48$ $=288{\text{cm}}^2$.
3. $V=l^3=(4\sqrt{3}{)}^3$ $=64\cdot 3\sqrt{3}$ $=192\sqrt{3}{\text{cm}}^3$.

Răspuns: $l=4\sqrt{3}\text{cm}$, $A_t=288{\text{cm}}^2$, $V=192\sqrt{3}{\text{cm}}^3$.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

8. Un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile interioare de 60 cm (lungime), 30 cm (lățime) și 40 cm (înălțime).
a) Câți litri de apă încap în acvariu?
b) Se toarnă 54 L de apă. La ce înălțime ajunge apa?
c) Apoi se introduce în apă un cub de metal cu muchia de 10 cm, care stă pe fundul acvariului. Cu câți centimetri crește nivelul apei?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $V=60\cdot 30\cdot 40$ $=72000{\text{cm}}^3$ $=72{\text{dm}}^3$ $=72\text{L}$.
2. b) $54\text{L}=54000{\text{cm}}^3$. Aria fundului este $60\cdot 30=1800{\text{cm}}^2$, deci $h_{\text{apă}}$ $={\displaystyle \frac{54000}{1800}}$ $=30\text{cm}$.
3. c) Cubul are 10 cm înălțime, mai puțin decât 30 cm, deci este acoperit complet de apă și dislocă ${10}^3=1000{\text{cm}}^3$.
4. Creșterea nivelului: $\mathrm{\Delta }h={\displaystyle \frac{1000}{1800}}$ $={\displaystyle \frac{5}{9}}\text{cm}$ $\approx 0,56\text{cm}$ (apa ajunge la aproximativ 30,56 cm, sub marginea de 40 cm).

Răspuns: a) 72 L; b) 30 cm; c) ${\displaystyle \frac{5}{9}}\text{cm}$ $\approx 0,56\text{cm}$.

9. Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=12\text{cm}$ și muchia laterală $VA=2\sqrt{34}\text{cm}$. Fie $O$ centrul bazei și $M$ mijlocul lui $BC$.
a) Arată că înălțimea piramidei este $VO=8\text{cm}$.
b) Calculează aria totală și volumul piramidei.
c) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(VBC)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $OA$ este jumătate din diagonala pătratului: $OA={\displaystyle \frac{12\sqrt{2}}{2}}$ $=6\sqrt{2}\text{cm}$. În $\mathrm{△}VOA$ dreptunghic în $O$: $VO=\sqrt{V{A}^2-O{A}^2}$ $=\sqrt{136-72}=\sqrt{64}$ $=8\text{cm}$.
2. b) $OM={\displaystyle \frac{AB}{2}}=6\text{cm}$ (apotema bazei). Apotema piramidei: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}$ $=\sqrt{64+36}$ $=10\text{cm}$.
3. $A_l={\displaystyle \frac{P_b\cdot VM}{2}}$ $={\displaystyle \frac{48\cdot 10}{2}}$ $=240{\text{cm}}^2$, $A_b=144{\text{cm}}^2$, deci $A_t=384{\text{cm}}^2$. $V={\displaystyle \frac{144\cdot 8}{3}}$ $=384{\text{cm}}^3$.
4. c) $BC\perp OM$ și $BC\perp VO$, deci $BC\perp (VOM)$. Perpendiculara din $O$ pe $VM$ (cu piciorul $P$) este perpendiculară și pe $BC$, deci $OP\perp (VBC)$.
5. În $\mathrm{△}VOM$ dreptunghic în $O$: $OP={\displaystyle \frac{VO\cdot OM}{VM}}$ $={\displaystyle \frac{8\cdot 6}{10}}$ $=4,8\text{cm}$.

Răspuns: b) $A_t=384{\text{cm}}^2$, $V=384{\text{cm}}^3$; c) $d(O,(VBC))=4,8\text{cm}$.

10. Într-un cub cu muchia de 10 cm se așază cel mai mare cilindru circular drept care încape, cu bazele pe două fețe opuse ale cubului. Calculează volumul cilindrului și ce procent din volumul cubului ocupă acesta.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Baza cilindrului este cercul înscris în fața cubului: $R={\displaystyle \frac{10}{2}}=5\text{cm}$, iar $G=10\text{cm}$.
2. $V_{\text{cil}}=\pi R^{2}G$ $=\pi \cdot 25\cdot 10$ $=250\pi {\text{cm}}^3$; $V_{\text{cub}}=1000{\text{cm}}^3$.
3. ${\displaystyle \frac{V_{\text{cil}}}{V_{\text{cub}}}}$ $={\displaystyle \frac{250\pi }{1000}}$ $={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ $\approx \mathrm{0,785}$, adică aproximativ 78,5%.

Răspuns: $V=250\pi {\text{cm}}^3$ $\approx 785{\text{cm}}^3$, aproximativ 78,5% din volumul cubului.

Greșeli frecvente

• Uiți împărțirea la 3 la piramidă și con. Corect: $V={\displaystyle \frac{A_b\cdot h}{3}}$; fără „/3” obții volumul prismei, respectiv al cilindrului, cu aceeași bază și înălțime.
• Confunzi înălțimea piramidei cu apotema ei. Aria laterală folosește apotema $a_p$ (înălțimea unei fețe laterale), volumul folosește înălțimea $h$ a piramidei.
• Aria totală a prismei fără ambele baze. Corect: $A_t=A_l+2A_b$ la prismă și cilindru, dar $A_t=A_l+A_b$ la piramidă și con (o singură bază).
• Folosești diametrul în loc de rază. Dacă problema dă diametrul de 8 cm, atunci $R=4$ cm; $\pi \cdot 8^2$ dă o arie de 4 ori mai mare.
• Transformări greșite de unități. $1\text{L}=1{\text{dm}}^3$ $=1000{\text{cm}}^3$, nu 100 cm³; $1{\text{m}}^3=1000\text{L}$.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru printabile, cu răspunsuri: corpuri geometrice — arii și volume, prisma dreaptă, piramida regulată, corpuri rotunde.
• Probleme de examen: geometrie în spațiu la Evaluarea Națională, rezolvate. De exemplu, EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 6 (cubul cu muchia de 8 cm, volum 512 cm³) și EN 2024, Subiectul al III-lea, problema 6 (aria laterală a unei prisme triunghiulare regulate).
• Verifică rezultatele cu calculatorul de arii și volume.

Întrebări frecvente

Cum se calculează volumul unei piramide? Înmulțești aria bazei cu înălțimea piramidei și împarți la 3: $V={\displaystyle \frac{A_b\cdot h}{3}}$. De exemplu, pentru bază pătrat cu latura 6 cm și înălțime 5 cm, $V={\displaystyle \frac{36\cdot 5}{3}}$ $=60{\text{cm}}^3$.

Care este diferența dintre aria laterală și aria totală? Aria laterală cuprinde doar fețele laterale (sau suprafața laterală curbă), iar aria totală adaugă și bazele: două la prismă și cilindru, una la piramidă și con.

Ce este apotema piramidei? Este înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârf pe o muchie a bazei. Se află din $a_p^2=h^2+a_b^2$, unde $a_b$ este apotema bazei.

Câți litri are un decimetru cub? Exact un litru: $1{\text{dm}}^3=1\text{L}$ $=1000{\text{cm}}^3$, iar $1{\text{m}}^3=1000\text{L}$.