Perimetrul figurilor plane — formule și exemple

Q: Care este formula perimetrului dreptunghiului?

P = 2(L + l) , unde L este lungimea și l lățimea. De exemplu, un dreptunghi de 12 cm pe 7 cm are perimetrul 2 · 19 = 38 cm.

Q: Cum se calculează perimetrul rombului dacă știu diagonalele?

Afli latura cu Pitagora din jumătățile diagonalelor, l = √((d_1/2)² + (d_2/2)²) , apoi P = 4l . Pentru diagonalele 12 cm și 16 cm, l = 10 cm și P = 40 cm.

Q: Care este perimetrul cercului?

Perimetrul cercului se numește lungimea cercului și este L = 2π r . Pentru r = 5 cm, L = 10π 31,4 cm.

Formule

Perimetrul unei figuri plane este suma lungimilor tuturor laturilor ei și se exprimă în unități de lungime (cm, m), nu în unități de arie. Cele mai folosite formule: pătrat $P = 4 l$ , dreptunghi $P = 2 (L + l)$ , triunghi $P = a + b + c$ , iar pentru cerc „perimetrul” se numește lungimea cercului: $L = 2 π r$ .

Tabel: formulele perimetrului

Figura	Perimetrul	Notații
Triunghi oarecare	$P = a + b + c$	$a, b, c$ laturile
Triunghi isoscel	$P = 2 l + b$	$l$ laturile congruente, $b$ baza
Triunghi echilateral	$P = 3 l$	$l$ latura
Pătrat	$P = 4 l$	$l$ latura
Dreptunghi	$P = 2 (L + l)$	$L$ lungimea, $l$ lățimea
Paralelogram	$P = 2 (a + b)$	$a, b$ laturi alăturate
Romb	$P = 4 l$	$l = \sqrt{{(\frac{d_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{d_{2}}{2})}^{2}}$
Trapez	$P = B + b + l_{1} + l_{2}$	$B, b$ bazele, $l_{1}, l_{2}$ laturile neparalele
Poligon regulat cu $n$ laturi	$P = n \cdot l$	$l$ latura
Cerc	$L = 2 π r = π d$	$r$ raza, $d$ diametrul

Semiperimetrul se notează $p = \frac{P}{2}$ și apare, de exemplu, în formula lui Heron pentru aria triunghiului.

Perimetrul triunghiului

P = a + b + c, P_{isoscel} = 2 l + b, P_{echilateral} = 3 l

La triunghiul dreptunghic, dacă lipsește o latură, o afli întâi cu teorema lui Pitagora: $i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$ . De exemplu, catetele 6 cm și 8 cm dau ipotenuza 10 cm și $P = 24$ cm.

Perimetrul pătratului

P = 4 l, l = \frac{P}{4}, d = l \sqrt{2}

Dacă se dă aria, $l = \sqrt{A}$ ; dacă se dă diagonala, $l = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d \sqrt{2}}{2}$ .

Perimetrul dreptunghiului

P = 2 (L + l) = 2 L + 2 l, L + l = \frac{P}{2}

Semiperimetrul $L + l$ este cheia problemelor de tip „perimetrul este 50 cm și lungimea este cu 5 cm mai mare decât lățimea”.

Perimetrul paralelogramului

P = 2 (a + b)

Laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente, deci sunt suficiente două laturi alăturate.

Perimetrul rombului

P = 4 l, l^{2} = {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{d_{2}}{2})}^{2}

Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci latura este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $\frac{d_{1}}{2}$ și $\frac{d_{2}}{2}$ .

Perimetrul trapezului

P = B + b + l_{1} + l_{2}, P_{isoscel} = B + b + 2 l

La trapezul isoscel, înălțimile duse din capetele bazei mici determină pe baza mare două segmente de lungime $\frac{B - b}{2}$ ; latura neparalelă se află cu Pitagora: $l = \sqrt{h^{2} + {(\frac{B - b}{2})}^{2}}$ .

Perimetrul poligonului regulat

P = n \cdot l

Poligonul regulat are toate laturile congruente: triunghiul echilateral $P = 3 l$ , pătratul $P = 4 l$ , pentagonul regulat $P = 5 l$ , hexagonul regulat $P = 6 l$ . La hexagonul regulat latura este egală cu raza cercului circumscris, deci $P = 6 R$ .

Lungimea cercului (perimetrul cercului)

L = 2 π r = π d, ℓ_{arc} = \frac{π r n^{\circ}}{180^{\circ}}

Perimetrul unui semicerc (arcul plus diametrul) este $π r + 2 r$ ; perimetrul unui sector de cerc este $2 r + ℓ_{arc}$ . Mai multe formule pe pagina cercul — lungime și arie.

Greșeli frecvente

Scrierea perimetrului în ${cm}^{2}$ : perimetrul este o lungime, se scrie în cm (aria se scrie în ${cm}^{2}$ ).
Adunarea unor laturi exprimate în unități diferite: transformă întâi totul în aceeași unitate (de exemplu 2 dm = 20 cm), vezi transformări de unități.
La dreptunghi, $P = L + l$ în loc de $2 (L + l)$ : fiecare latură apare de două ori.
La romb, adunarea diagonalelor în loc de laturi: perimetrul rombului nu este $2 (d_{1} + d_{2})$ , ci $4 l$ , cu $l$ aflat din diagonale.
La semicerc, uitarea diametrului: conturul închis are și segmentul de lungime $2 r$ .

Întrebări frecvente

Ce este perimetrul? Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor unei figuri plane, adică lungimea conturului ei. Se măsoară în unități de lungime: mm, cm, dm, m, km.

Care este formula perimetrului dreptunghiului? $P = 2 (L + l)$ , unde $L$ este lungimea și $l$ lățimea. De exemplu, un dreptunghi de 12 cm pe 7 cm are perimetrul $2 \cdot 19 = 38$ cm.

Cum se calculează perimetrul rombului dacă știu diagonalele? Afli latura cu Pitagora din jumătățile diagonalelor, $l = \sqrt{(d_{1} / 2)^{2} + (d_{2} / 2)^{2}}$ , apoi $P = 4 l$ . Pentru diagonalele 12 cm și 16 cm, $l = 10$ cm și $P = 40$ cm.

Care este perimetrul cercului? Perimetrul cercului se numește lungimea cercului și este $L = 2 π r$ . Pentru $r = 5$ cm, $L = 10 π \approx 31, 4$ cm.

Pagini conexe

Arii figuri plane — formulele ariilor pentru aceleași figuri
Patrulatere — proprietățile paralelogramului, rombului, trapezului
Cercul — lungime și arie
Unghiuri — tipuri, complementare, suplementare, paralele
Formule arii și volume — toate formulele din gimnaziu

Exersează: fișă elemente de geometrie, clasa a 5-a, fișă patrulatere, clasa a 7-a și arii și perimetre la Evaluarea Națională — probleme rezolvate.

Verifică-te: 3 întrebări

Care este perimetrul unui dreptunghi cu dimensiunile 8 cm și 5 cm?

40 cm
26 cm
13 cm

Un romb are diagonalele de 6 cm și 8 cm. Perimetrul lui este:

20 cm
28 cm
24 cm

Lungimea unui cerc cu raza de 3 cm este:

$9 π$ cm
$3 π$ cm
$6 π$ cm

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (triunghi isoscel). Un triunghi isoscel are baza 10 cm și laturile congruente de 13 cm. Calculați perimetrul.

Rezolvare. $P = 2 \cdot 13 + 10 = 36$ cm.

Exemplul 2 (dreptunghi, sumă și diferență). Un dreptunghi are perimetrul 50 cm, iar lungimea este cu 5 cm mai mare decât lățimea. Aflați dimensiunile și aria.

Rezolvare. $L + l = 25$ și $L - l = 5$ , deci $L = 15$ cm, $l = 10$ cm. Aria: $15 \cdot 10 = 150 {cm}^{2}$ .

Exemplul 3 (pătrat din diagonală). Diagonala unui pătrat are $6 \sqrt{2}$ cm. Aflați perimetrul.

Rezolvare. $l \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \Rightarrow l = 6$ cm, $P = 24$ cm.

Exemplul 4 (romb). Diagonalele unui romb au 12 cm și 16 cm. Calculați perimetrul.

Rezolvare. Jumătățile diagonalelor sunt 6 cm și 8 cm, deci $l = \sqrt{36 + 64} = 10$ cm și $P = 40$ cm.

Exemplul 5 (trapez isoscel). Un trapez isoscel are bazele de 20 cm și 8 cm și înălțimea de 8 cm. Calculați perimetrul.

Rezolvare. $\frac{B - b}{2} = \frac{20 - 8}{2} = 6$ cm, $l = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ cm. $P = 20 + 8 + 2 \cdot 10 = 48$ cm.

Exemplul 6 (triunghi dreptunghic). Catetele unui triunghi dreptunghic au 6 cm și 8 cm. Aflați perimetrul.

Rezolvare. Ipotenuza: $\sqrt{36 + 64} = 10$ cm, $P = 6 + 8 + 10 = 24$ cm.

Exemplul 7 (cerc și semicerc). Un cerc are raza 5 cm. Aflați lungimea cercului și perimetrul unui semicerc cu aceeași rază.

Rezolvare. $L = 2 π \cdot 5 = 10 π \approx 31, 4$ cm. Semicercul: $π \cdot 5 + 2 \cdot 5 = 5 π + 10 \approx 25, 7$ cm.

Exemplul 8 (hexagon regulat). Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază 4 cm. Aflați perimetrul hexagonului.

Rezolvare. La hexagonul regulat $l = R = 4$ cm, deci $P = 6 \cdot 4 = 24$ cm.

Exerciții

Exerciții propuse

Calculați perimetrul unui dreptunghi cu dimensiunile 12 cm și 7 cm.
Un pătrat are aria $49 {cm}^{2}$ . Aflați perimetrul lui.
Un triunghi echilateral are perimetrul 27 cm. Aflați latura.
Un romb are latura de 2,5 dm. Exprimați perimetrul în centimetri.
Un paralelogram are laturile alăturate de 8 cm și 5 cm. Calculați perimetrul.
Un trapez dreptunghic are bazele de 10 cm și 4 cm și înălțimea de 8 cm. Calculați perimetrul.
Calculați lungimea cercului cu diametrul de 14 cm (folosiți $π \approx 3, 14$ ).
Lungimea unui dreptunghi este triplul lățimii, iar perimetrul este 64 cm. Aflați dimensiunile.

Răspunsuri

$P = 2 (12 + 7) = 38$ cm.
$l = 7$ cm, $P = 28$ cm.
$l = 9$ cm.
$P = 10$ dm $= 100$ cm.
$P = 26$ cm.
Latura oblică: $\sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ cm, $P = 10 + 4 + 8 + 10 = 32$ cm.
$L = 14 π \approx 43, 96$ cm.
$2 (3 l + l) = 64 \Rightarrow l = 8$ cm, $L = 24$ cm.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Perimetrul figurilor plane — formule pentru triunghi, pătrat, dreptunghi, romb, trapez, cerc